APOS理论与变式教学理论深度融合的实践与研究

［摘 要］ APOS理论与变式教学理论对概念教学均具有指导意义，如何将两者有机地融合在一起，进一步提升概念教学的成效呢？研究者以“函数的概念”教学为例，将APOS理论的四个阶段作为教学主线，把变式有机地融合在各个阶段中，形成相互促进的教学策略.

［关键词］ APOS理论；变式；概念

概念是数学的灵魂，在教学中占有重要地位. 近年来，对概念教学的研究方兴未艾，尤其是各种新兴教学手段的涌现，令不少教师眼花缭乱. 采取怎样的教学手段实施概念教学可取得最佳的教学成效呢？事实证明，将APOS理论与变式教学理论深度融合，不仅能深刻揭露概念的内涵与外延，还能发展学生的数学思维，提升学生的数学学科核心素养.

核心概念的界定

1. APOS理论

APOS理论是由美国数学教育学家杜宾斯基提出的，属于建构主义理论的一个分支，主要针对数学概念教学而言. APOS理论主张概念教学以学习者自主探究为主，学习者亲历发现、分析与思考概念的过程，形成深刻认识. APOS理论认为，概念学习并不是被动接受的过程，而是个体主观能动地经历活动、过程、对象与图式四个阶段. 这四个阶段并非独立存在的个体，而是逐层递进、相伴相依的群体.

第一阶段：活动.

活动的关键在于带领学生初步认识与了解研究对象，学生对外部不熟悉的信息进行加工、转化，形成自己能理解的内容. 在此过程中，最常规的操作方法就是借助学生熟悉的生活材料创设情境，吸引学生积极主动地参与教学活动，教师在必要时给予适当引导，帮助学生更好地感知概念原型与概念之间的联系.

第二阶段：过程.

过程阶段是指学生对活动过程的调整、思考，对知识达到熟练的程度，并在脑海中组建一套操作体系，经归纳、总结、压缩等处理，抽象出共同特征形成概念. 此为量变到质变的过程. 在该阶段中，学生无须接受活动的刺激，就能凭借自己的大脑实施活动. 对学优生而言，过程阶段可将已有活动与其他活动相组合，将具体实操转化为抽象思维，有效促进逻辑思维能力的发展.

第三阶段：对象.

对象阶段在于获得可以心理操作的对象，想要获得这个对象，学生需要压缩活动与过程阶段，将它们作为整体进行应用. 到对象阶段时，学生脑海中就会对概念形成一种静态的结构关系，便于学生从整体的角度理解概念本质. 在此过程中，学生还能对概念赋予形式化的符号，并以此作为研究对象开展活动.

第四阶段：图式.

此为APOS理论的最后环节，是新旧知识整合补充，构建新图式结构的过程. 新图式对某些（类）问题纳入其中会呈现出不同的反馈，学生亲历概念持续建构的整个流程，形成高阶思维与心理表征，此为发展数学学科核心素养的基础.

2. 变式教学理论

变式是指改变问题的表征形式，变化问题的非本质属性（本质属性不改变），学生从中获得研究对象的本质与规律的一种教学方法. 变式主要包含概念性变式与过程性变式两类. 概念性变式所研究的对象一般是静态、独立的问题；过程性变式关注的是数学学习对象动态的、层次性递进的过程. 变式教学具备开阔思维、灵活思维、深化思维等作用，还彰显教学活动的探究性，是促进学生更好掌握概念的基本方法.

融合的意义

概念本身具有过程与对象二重性特征，它不仅是一种静态的知识结构，还是一个动态的操作过程. 因此，在实施概念教学时，应动静结合才能取得预期的效果. APOS理论与变式教学理论虽然都能增加概念教学实效，但在实际应用时，鲜有教师将这两个理论整合在一起实施教学. 实践发现，将这两种理论深度融合在一起实施概念教学，可有效激发学生对概念的探索欲，揭露概念的内涵与外延. 笔者以“函数的概念”教学为例，探讨这两种理论融合在一起的具体措施.

例谈实施措施

函数是几何与代数的结合，与学生的生活有着密切联系. APOS理念与概念的形成过程具有一致性，将变式教学理论有机地融合到APOS理论的应用中，可进一步增强学生对概念的理解.

1. 活动阶段——初步建构概念

活动1 一辆高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.

问题1：这半小时之内，列车行进的路程S与运行时间t之间存在什么关系？是不是函数关系？理由是什么？

问题2：该列车运行一小时就前进了350 km，对吗？

问题3：请用规范的数学语言来描述路程S与时间t之间存在怎样的对应关系.

（学生独立思考、合作交流，教师展示典型结论，并引导学生点评. ）

设计意图 该活动主要突出列车行驶过程中时间与路程的关系，学生从“变量说”的角度出发，可顺利解决第一个问题；第二个问题属于前一个问题的完善，意在引发学生感知数学的严谨性；第三个问题着重引发学生对自变量t的变化范围产生关注，并用标准化的语言进行描述，以训练学生的表达能力.

活动2 已知某公司确定的工资标准是每人每天350元，工资周付，要求工人每周工作最多6天，最少不低于1天.

问题1：工人每周可获取多少工资？

问题2：工人工资w与天数d之间存在什么关系？属于函数关系吗？说明理由.

问题3：尝试准确表达工资w与天数d的关系.

追问：以上两个活动可以表示成一样的函数关系吗？为什么？（要求学生独立思考，自主回答. ）

设计意图 学生经历过活动1的探索，对此类问题已经具备一定的独立思考能力. 活动2的设计一方面夯实学生对此类问题的认识基础，另一方面强化学生对值域、定义域的认识.

活动3 图1是某市某天的空气质量指数（简称AQI）变化图.

问题1：观察图示，是否能确定这一天内任一时刻t h的AQI的值I？

问题2：此处的I为t的函数吗？说明理由.

追问1：中午12时的AQI的值是多少？该值是唯一的吗？

追问2：数集A=｛t0≤t≤24｝中的任意值t，可用什么方法探寻与之对应的值I？

（小组合作，几何画板演示，揭露对应关系. ）

设计意图 该活动探究的是某一时刻所对应的AQI的值，在此之前学生所了解的函数基本是用解析式呈现的，对用图象描述相应关系的接触较少，尤其在无法确定值域的情况下，令学生感到困惑.

活动4 r=×100%为恩格尔系数，国际上常以此来研究某个地区人民的生活质量. 如表1所示，此为我国某地区居民恩格尔系数变化情况.

问题1：表中的恩格尔系数r是年份y的函数吗？若是，能否仿照之前的方法准确刻画这个函数？

问题2：若数集B=｛r0≤r≤1｝，将其对应关系描述成“任意一个年份y，在数集B中都有唯一且确定的恩格尔系数r与它对应”. 这种说法合理吗？

设计意图 基于上述三个活动，学生对于借助表格理解对应关系已经有了一定基础，但仍有一些困惑. 教师借此机会引发学生思考，让学生对值域的合理性有更明确的认识.

综上四个活动，都以学生的生活背景为原材料设计问题，引发学生对函数中的“对应关系与定义域”产生明确的认识. 随着追问的提出与解决，学生对函数的概念形成了初步了解，并学会从集合的角度来描述值域与定义域，凸显了数学学科的严谨性. 学生也从中感知到知识间密不可分的关系，整个教学活动为接下来的教学奠定了基础.

2. 过程阶段——辨析概念

问题1：回顾以上探究活动，尝试总结它们的共同点.

问题2：如何表述函数的概念？

问题3：函数的解析式一定是y=f（x）吗？

问题4：类比初中阶段所了解的函数概念，是否有新的发现？

设计意图 问题1带领学生体会用集合及对应关系来刻画函数，经历从特殊到一般的过程，体验创造的愉悦；问题2的提出，意在引导学生用逻辑清晰及规范化的语言来表达相应的信息；问题3是教学重点与难点，y=f（x）为抽象的数学符号，学生需要理解其实际含义；问题4是对初中“变量说”的进一步深化，让学生理解“对应说”，以扩大学生的研究范围.

此环节，教师通过问题驱动与变式引导的方式，促使学生回顾活动阶段中的内容，以提取准确有效的信息，让学生自主产生用集合表示函数的意识，此为对函数概念产生初步了解的过程，为接下来的归纳总结奠定基础.

3. 对象阶段——巩固、应用概念

要求学生分别说一说正比例函数y=kx（k≠0）、反比例函数y=（k≠0）、一次函数y=kx+b（k≠0）、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的定义域、值域以及对应关系. 在此基础上，要求学生谈一谈图2所表示的y为x的函数关系有哪些.

设计意图 带领学生重新认识已经接触过的简单函数，并通过图象回顾函数的定义，深化学生对“定义域、值域与对应关系”三要素的理解.

关于区间概念的教学，教师可提供一张表格，要求学生根据区间的概念，自主从定义、区间名称、符号与数轴等方面展开分析，体会集合与区间的关系，感知数学独有的简约美. 当学生对概念有了充分了解后，教师可择取一些具有代表意义的例题与学生共同探索.

例1 若函数f（x）=+.

（1）求该函数的定义域；

（2）求f（-3）与f

的值；

（3）若a>0，则f（a）与f（a-1）的值分别是多少？

设计意图 学生接触得比较多的是函数的解析式，对于函数的定义域（让解析式有意义的实数集合）并没有特别强调. 此例意在促使学生学会从隐含条件出发解决问题，理解当明确自变量与解析式时，该如何求得函数值.

对象阶段的教学，教师结合概念与非概念变式，带领学生将函数的概念提炼为具体的思维. 此环节，教师首先带领学生从熟悉的正比例、反比例、一次函数与二次函数出发，深化学生对函数三要素的理解；其次通过设计例题促使学生学会应用建构的函数概念来解决实际问题，让概念一一对应的形态根植于学生的认知结构.

4. 图式阶段——拓展、总结概念

例2 已知函数f（x）=5x2+2x.

（1）求f（a）+f（-a）的值；

（2）f（x）的值域是什么？

变式题1：已知函数f（x）=5x2+2x，当x>5时，值域是什么？当x∈｛-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4｝时，值域是什么？

变式题2：已知函数f（x）=5x2+2x，值域为［-2，13］，定义域是什么？若值域为｛-4，-2，4，8｝，则定义域是什么？

设计意图 将函数的概念有机地融入变式题组内，促使学生形成良好的心理图式，进一步深化学生对函数概念的认识，并引导学生应用函数的概念来解决实际问题.

师：本节课的学习给你带来了什么收获与感悟？

设计意图 此为课堂小结部分，引导学生从概念的本质、内涵、要素等方面出发，回顾整个学习过程，从关键词的角度进一步完善函数的概念，建构完整的知识网络.

图式阶段为前三个阶段的融合，涉及的变式题有分解与逆向两种. 在该阶段中，学生已经能将新建构的概念纳入认知体系内，随着对概念的反复应用，学生对概念的理解更加深刻. 该阶段相对灵活，教师需要结合学情设计一些梯度明显的小问题与变式题来启发学生的思维，提升学生的解题能力.

总之，APOS理论与变式教学理论有机地融合于概念教学，不仅让课堂教学更加井然有序，还让学生的思维环环相扣，在循序渐进的问题中逐渐深入. 因此，这是一种值得探索的教学方式，对促进学生全面发展具有重要价值与意义.