探索知识形成过程 提升数学抽象素养

［摘 要］ 抽象是数学学科的特性之一，其贯穿数学知识产生、发展和应用的过程. 在日常教学中，教师应结合教学实际设计一些有价值的探究活动，引导学生探寻知识的由来，使学生体验数学抽象过程、积累数学活动经验，发展学生的数学能力，提升学生的数学抽象素养.

［关键词］ 抽象过程；形成过程；抽象素养

众所周知，数学知识是在生产、生活中抽象而来的，可以说没有抽象就没有数学研究对象. 抽象是数学学科的显著特征，其决定在数学教学中要重视学生数学抽象思维能力的培养，这是学生理解知识、应用知识的关键. 不过，学生抽象思维能力的培养难以靠讲授来实现，它需要学生在学习过程中慢慢体验、慢慢感悟. 在实际教学中，教师应重视引导学生经历数学知识形成、发展和应用的过程，深入挖掘蕴含其中的数学思想方法，以此锻炼学生的思维品质，提高学生的数学抽象能力. 笔者教学“二项式定理”时，从培养学生数学抽象思维的角度出发，精心设计探究活动，促使学生在探索中深刻理解知识的同时，掌握数学研究方法，发展数学抽象素养.

教学片段

探索1 利用数学知识估算.

师：无论是在生活中，还是在学习中，我们经常会遇到一些开方问题，那么你能用数学知识估算吗？（学生积极思考、交流）

生1：可以先估算整数部分，因为13=1，23=8，所以的整数部分为1. 对于小数部分该如何估算，我还没有想好.

师：通过刚才的探索我们已经知道的整数部分为1，不妨设=1+x，0<x<1，则2=（1+x）3=1+3x+3x2+x3≈1+3x，所以x≈，≈. （笔者呈现分析过程）

师：仿照上述过程，估算和（n≥2，n∈N*）.

生2：的整数部分为1，设=1+y，0<y<1，则2=（1+y）2020，不过（1+y）2020的展开式是什么呢？如果知道它的展开式，那么就能估算了.

生3：对！我估算时也遇到了同样的问题. 设=a+b，则2=（a+b）n. 如果知道（a+b）n的展开式，那么问题就能获解了.

设计意图 从学生熟悉的内容出发，创设二项式展开问题引发认知冲突，凸显学习二项式定理的必要性，以此激发学生的学习动机，点燃学生的探究热情.

探索2 求（a+b）（c+d）和（a+b）·（c+d）（e+f）的展开式.

笔者引导学生通过列表的形式来呈现展开式（如表1、表2所示）.

表1 （a+b）（c+d）的展开式

[第一个括号 第二个括号 项 a c ac d ad b c bc d bd ]

设计意图 在教学中，笔者从学生的已有知识和经验出发，通过旧知回顾为新知探索架设思维“阶梯”，使深度学习自然而然地发生. 在解决问题时，笔者刻意引导学生用列表的方式呈现展开式，以此借助表格的直观性使学生体会多项式乘法规律——二项式定理，体验数学抽象过程.

探索3 探究（a+b）3的展开式.

设计意图 对于（a+b）3的展开式学生并不陌生，学生可以根据立方和公式直接给出答案. 不过这里所关注的不是结果，而是知识探索过程. 在教学中，笔者引导学生类比前面的探索结果和方法，根据计算结果总结展开式中的项数、系数，以及项的特点，由此为二项定理的抽象做铺垫.

探索4 探究（a+b）6的展开式.

在解决该问题时，笔者启发学生根据探索3的经验猜想结果. 从教学反馈来看，学生能够根据经验顺利猜出展开式中的项数，以及项的特点，不过学生在猜想每一项前面的系数时犯难了. 笔者及时给予启发和引导，让学生从计算原理的角度对展开过程进行分析，用组合数表示展开式中的各项系数.

设计意图 随着幂的次数逐渐增加，让学生意识到单纯利用多项式乘法法则难以高效解决问题，由此增加学生探索定理的迫切感. 在此过程中，笔者根据内容特点和学生的认知规律，引导学生在由浅入深的逐层探究中发现蕴含其中的规律，培养和提升学生的数学抽象素养.

探索5 探究（a+b）n的展开式.

该探究是本节课的教学重点，也是教学难点，不过有了前面的铺垫，学生在知识上、方法上、心理上已经做好了充分的准备. 在该探索中，学生仿照（a+b）6的展开式的探究方法，得到（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn（n∈N*）.

设计意图 数学学习是一个不断发展、不断抽象、不断完善的过程，较低层次的抽象是高层次抽象的基础. 因此，在探究（a+b）n的展开式时，促使学生以已有知识和经验为新知识的生长点，仿照（a+b）6的展开式的探究方法自主发现规律并总结结果，从而培养学生的抽象素养.

探究6 结合二项式定理（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*），回答以下问题.

（1）二项展开式一共有多少项？（n+1项）

（2）二项展开式的次数有何特点？（每一项的次数都是n；a按降次数排列，次数由n降到0；b按升次数排列，次数由0升到n.）

（3）二项式系数是什么？（C，k=0，1，…n）

（4）二次展开式的通项是什么？（T=Can-kbk，0≤k≤n，k∈N*，这是展开式的第k+1项.）

设计意图 笔者引导学生解决问题，归纳总结二项展开式的特征，提高学生数学归纳、数学推理和数学抽象的能力. 通过对二项展开式的深度探究，为后续应用做好了充足准备.

探究7 如何灵活利用二项式定理解决问题？

此环节，笔者从学生的认知规律出发，结合教学实际设计例题，让学生的解题能力和思维能力在由浅入深、由简入繁的探究中逐步提升.

例1 求（b+a）n的展开式.

变式题：求（x-1）4的展开式.

例2 求（2x+1）5的展开式的第4项系数.

变式题：求（2x+1）5的展开式中x3的系数.

例3 求

1+x+

的展开式中x2的系数.

问题给出后，笔者先让学生独自求解例1、例2及两道变式题，然后让学生通过互评完善解答过程. 对于例3，部分学生因式子烦琐而出现了畏难情绪. 为了帮助学生克服畏难情绪，笔者鼓励学生以小组合作的方式探索例3. 在学生互动交流的过程中，笔者给予引导和点拨，学生通过相互启发、相互补充，给出了三种解法：

解法1 因为

1+x+

=

1+x+

1+x+

…

1+x+

，共10个因式相乘，含x2的项是从2个括号中取x，从8个括号中取1得到的，所以含x2的项为C·x2=45x2，故x2的系数为45.

解法2 因为

1+x+

=

（1+x）+

，所以其展开式的通项为T=C（1+x）10-k

=C（1+x）10-kx（0≤k≤10，k∈N）. 因为0≤k≤10，k∈N，当k=0时，则含x2的项为（1+x）10中含x2的项，即Cx2=45x2，故x2的系数为45.

解法3 设从10个括号中取a个1，b个x，c个，于是有1axb

=xb-2015c. 令a+b+c=10，

b-2015c=2，其中a，b，c∈N，解得a=8，

b=2，

c=0.所以含x2的项为Cx2=45x2. 故x2的系数为45.

设计意图 提供例题是巩固知识、强化技能的必经之路，也是发散数学思维、提升数学能力的重要手段. 因此，在课堂教学中，笔者利用好例题，充分发挥其积极作用，促使学生在例题探索中深刻理解知识、应用知识. 在例3的探索过程中，学生给出了多种解题思路，体现不同层次的学生对二项式定理的理解程度. 教学中通过集中展示、对比分析，帮助学生积累丰富的解题经验，有利于学生数学学习能力的提升和数学抽象素养的落实.

教学思考

数学抽象是重要的数学思想方法. 数学抽象一般有三个阶段：第一阶段为简约阶段，即通过化繁为简、化特殊为一般的转化，把握事物的本质属性；第二阶段为符号阶段，即去掉具体内容，利用概念、符号、图形、关系等将事物的本质属性用简约化的语言表达出来；第三阶段为普适阶段，即通过探索、推理、验证等过程建立数学模型，并利用数学模型解决相关问题. 可见，数学抽象形成于数学知识产生、发现和应用的过程中. 因此，教师要精心设计各个教学环节，创造机会让学生去发现、去探索、去提炼，潜移默化地培养学生的抽象素养.

数学概念具有高度抽象性，它是培养学生数学抽象素养的好素材. 在概念教学中，教师不要急于将概念呈现给学生，而应创设有效情境引导学生亲身经历概念抽象的过程，以此培养学生数学抽象素养. 例如，在本节课教学中，笔者通过环环相扣的问题，引导学生在逐层探索中认识二项式定理，教会学生抽象方式，提高学生的自主探究能力.

总之，培养学生数学抽象素养时，切勿急于求成，而应引导学生经历数学知识发现、发展和应用的过程，理解问题的抽象方式，落实数学学科核心素养.