让学生经历定理学习的完整过程

［摘 要］ 研究者以一节评优课“共面向量定理”为例，阐述备课过程，以及教学过程和教学反思过程.研究者基于理解数学、理解学生、理解教学备课，以定理发现、定理确定、定理挖掘、定理运用和定理图式五个过程教学，从备课过程、教学过程和学生学习过程三个角度反思教学，为定理教学课的教学设计和教学实施提供一定的参考.

［关键词］ 共面向量；三个理解；数学定理教学；教学反思

教材内容解析

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书（数学）（苏教版）选修2-1》第3章第1单元第2节，是空间向量的基础内容. 一方面，这节课帮助学生在学过空间向量概念及运算的基础上研究空间向量的内涵，另一方面促使学生在学过平面向量概念、向量共线定理和平面向量基本定理的基础上进一步理解向量自由移动及平移不变的本质. 本节课为后续学习空间向量基本定理、坐标表示、数量积，以及运用空间向量解决立体几何中的位置关系和度量问题奠定基础. 本节课是定理教学课，设置一课时.

教学重点：共面向量定理的证明和应用.

教学难点：共面向量条件的探讨和共面向量定理的证明.

学生学情分析

其一，学生理解空间向量的概念，掌握方向相同且模相等的向量是同一向量，深知空间向量是自由的（平移不变），为本节课学习做好了知识储备. 其二，学生学过向量共线定理和平面向量基本定理. 向量共线定理的本质是将一个非零向量作为基底表示一维空间的所有向量，平面向量基本定理的实质是将两个不共线的非零向量作为基底表示二维空间的所有向量. 借鉴和类比这两个基本定理，为本节课学习提供了研究方法. 其三，高二学生具有一定的抽象思维和探究问题能力，能利用相互联系和相互转化的思想探究新问题，能利用类比方式获得新知，为本节课学习提供了研究能力.

教学目标设置

（1）类比共线向量，学生提出共面向量的概念；通过对空间向量共面的探讨，学生提出“空间中三个向量何时共面”这一问题，并展开探究，给出共面向量定理的证明；学生利用平面向量基本定理证明直线与平面平行和四点共面等简单问题.

（2）培养学生类比和转化等数学思维能力.

（3）提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生数学抽象、数学运用等数学学科核心素养.

教学过程摘录

1. 创设情境，引出课题

导入语：数学概念的推广会带来更好的性质与应用，从中能体验数学在结构上的和谐性，感悟由此产生的影响. 为了解决平面上有关点、直线的位置关系和度量的问题，我们引进了平面向量及其运算，进一步扩宽了视野. 上节课我们将向量由平面向空间推广，并建立了相应的运算法则. 今天我们继续来研究空间向量的有关性质及应用［1］.

观察图1所示的长方体，请回答：

（1）你能找出一个与共线的向量吗？

（2）你能用，表示吗？

（3）三个向量，，具有怎么样的关系？

说明 教师基于学情，创设数学情境，利用长方体这一基本模型，设置目标明确、针对性强的三个问题.第（1）问引导学生复习共线向量的概念和向量共线定理，强调向量是自由的（平移不变）；第（2）问引导学生复习平面向量基本定理，也为第（3）问的解答埋下了伏笔；第（3）问引导学生从位置关系和向量关系进行回答，引出共面向量的概念，也为探讨共面向量定理做铺垫. 问题设置均从学生的最近发展区出发，起点低但有梯度，拾级而上，从而自然而然地引出新的课题——共面向量.

2. 问题引领，理解概念

师：类比共线向量的概念，你们能给共面向量定义吗？

生1：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.

师（追问）：空间中任意两个向量都共面吗？

生1：共面. 因为向量是自由的，所以空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内.

师（追问）：那么空间中任意三个向量都共面吗？

生1：不共面.

师（追问）：为什么？

生2（补充）：从长方体同一顶点出发，分别沿着三条棱方向的向量不可能共面.

师：非常好！要说明一个命题不成立，可给出反例，使之满足条件但不具备结论. 请问空间中三个向量可能共面吗？

生（思考）：可能.

师：你们认为我们接下来应该研究什么问题？

生3（思考）：空间中三个向量满足什么条件才能共面？

说明 问题的巧妙设计以及师生的一问一答，引导学生类比共线向量的概念得到共面向量的概念，并顺其自然地提出本节课的难点——共面向量定理. 教师将指导学生“学会”转为引导学生“会学”，重视“知识”激励学生“思维”. 教师适时追问，利用问题引领学生思考，并引导学生提出新的有价值的问题，促使学生深度探究，提高学生的数学学习能力.

3. 活动探究，证明定理

师：我们现在按照生3提出的问题继续探究.

问题1 在平面向量中，b与a（a≠0）共线的充要条件是b=λa（λ∈R），其含义是用a可以表示b. 类比到空间向量，若p，a，b共面，则p，a，b满足什么条件？

（留两分钟让学生思考，但学生没有给出答案，教师启发学生回答.）

师：p，a，b共面，意味着三者可以平移到同一个平面内，此时在同一个平面内三个向量p，a，b具有怎么的线性关系？

生4：根据平面向量基本定理可知，用平面内的一组基底可以表示平面内的任一向量，但是不知道哪两个向量能构成基底.

师：如果p，a，b三个向量共线，那么它们肯定是共面的. 如果我们设a，b不共线，那么——

生4：如果a，b不共线，那么a，b可以构成基底.由平面向量基本定理可得p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

师：非常好！如果空间中三个向量共面，那么它们可以平移到同一个平面内，从而转化为平面向量共面问题，利用平面向量基本定理即可解决.那么反过来又会怎么样呢？

问题2 a，b不共线，如果存在有序实数组（x，y），使p=xa+yb，那么p，a，b共面吗？

（学生思考……）

师（提示）：首先a，b共面，其次用a，b表示p，证明p，a，b三个向量共面.

教师和学生一起作图说明：在空间中任取一点M，作=a，=b，由向量共线定理可知=xa，过点A′作=yb（如图2所示），则=+=xa+yb=p. 所以，，，都在平面MAB内，即p，a，b共面. 综上所述，可得共面向量定理.

共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb. 这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.

师：定理中为什么要求向量a，b不共线？

生5：如果a，b共线，那么p，a，b共面不一定能表示成p=xa+yb（x∈R，y∈R）.

师：说得非常好！如果没有“向量a，b不共线”这个条件，则“p与a，b共面”与“p=xa+yb”就不再是充要条件.

师：定理中没有指出有序实数组是否唯一，你们认为是唯一的吗？

生6：是唯一的.

师（追问）：为什么？你能证明吗？

生6：利用“同一法”证明.设存在有序实数组（x，y）也满足p=xa+yb，则xa+yb=xa+yb，即（x-x）a+（y-y）b=0. 由于a，b不共线，则x=x，y=y.故（x，y）是唯一的.

师：生6回答得非常好！大家发现，向量共面定理与平面向量基本定理在描述形式上很类似，你们认为两者有什么区别和联系？

（学生思考一会）

生7（举手）：平面向量基本定理仅指出平面内三个向量，其中一个向量可用另外两个不共线的向量线性表示；而共面向量定理不仅包含上述含义，还指出如果一个向量可用两个不共线的向量线性表示，那么说明这三个向量必定共面.

师：说得好！平面向量基本定理只回答了必要性，而向量共面定理则回答了充分必要性.

说明 本环节主要探究共面向量定理的证明，包含定理发现、定理确认、定理挖掘和定理图式. 共面向量定理的必要条件，用平面向量基本定理即可证明，而充分条件则需要作图进行验证. 教学过程先易后难，循序渐进，促进学生数学学习理性精神的提升.

4. 例题示范，应用定理

师：前面我们证明了共面向量定理，并将共面向量定理与平面向量基本定理进行了比较，接下来我们利用共面向量定理解决立体几何中的问题.

例1 如图3所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE. 求证：MN∥平面CDE.

说明 设置本例的意图是运用共面向量定理证明立体几何中的线面平行. 在实际教学中，学生容易想到这样两个思路：一是通过线线平行证明线面平行，二是通过面面平行证明线面平行. 这两个思路都是利用综合法解决立体几何中的位置问题.面对此题，教师可引导学生寻找平面CDE中的一组基底，利用这组基底表示，先证明向量共面，再说明直线不在平面内，从而证得线面平行. 求解后比较综合法和向量法，让学生深刻体会向量以算代证的算法化思想.

例2 设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系=x+y+z（其中x+y+z=1），试问：P，A，B，C四点是否共面？

说明 在解决例2前，让学生思考下列问题：对于空间任意一点O，满足向量关系=x+y（其中x+y=1）的三点P，A，B是否共线？要证明三点共线，可利用共线定理证明同一顶点出发的两个向量共线，又具有公共点，所以三点共线. 接着引导学生类比联想到四点共面这个问题，让学生深知解决此问题的策略可由证明三点共线的方法类比迁移而来.

5. 课堂总结，归纳提升

（1）本节课我们学习了哪些知识和方法？

（2）本节课涉及哪些数学思想？你还有哪些问题？

教学反思

笔者从教学设计、教学过程、学生学习心理三个方面反思这节课.

笔者认为，可以基于章建跃教授的“三个理解”（理解数学、理解学生、理解教学）备课. 理解数学是指教师清楚数学知识产生的背景、形成过程和方法，把握数学知识的逻辑体系、结构和与相关知识的联系. 备课时，教师要理解共面向量定理是对空间向量学习的进一步深化，因为向量是自由的（平移不变），所以空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决. 理解学生，即认识学生的思维特征和认知规律，了解学生的知识储备、能力基础和思维障碍等. 备课时，教师要充分分析学生的已有知识. 由于学生之前学过向量概念、共线定理和平面向量基本定理，具备一定的数学抽象思维能力，但也有可能存在共面向量定理的充分条件的证明障碍.理解教学，是指教师清楚教学本质与功能，掌握一定的教学方法和教学艺术，清楚学生的认知规律和教学的基本原则，能够把教与学作为有机的、统一的、相互促进的整体来处理. 备课时，基于理解数学和理解学生，以及共面向量和共线向量类似，向量共面定理和平面向量基本定理类似，教学中教师可采用类比方式来处理. 学生在证明共面向量定理的充分条件时遇到了困难，教师通过分解困难，引领学生拾级而上.

本节课是数学定理教学课. 数学定理教学是中学数学教学中的重要内容，其主要任务是：使学生了解定理的背景，明确定理的条件与结论，掌握定理的证明方法，明确定理的应用范围并能运用定理解决问题，了解有关定理之间的内在联系并建立定理体系［2］. 教师创设数学问题情境，将抽象的数学定理还原为层层递进的数学问题. 通过问题串、数学探究活动引导学生交流、思考定理的产生和证明；设计问题引导学生思考向量共面定理与平面向量基本定理的区别和联系，加深学生对共面向量定理本质的理解，形成严格的定理体系；通过运用共面向量定理解决简单的立体几何问题，促使学生掌握共面向量定理的运用方法，认识共面向量定理的作用和价值.

王富英等学者认为：数学定理的学习过程可分为定理发现、定理确定、定理挖掘、定理应用和定理图式五个阶段，每个阶段都有不同的特征，教师充分认识这些特征有助于解决学生定理学习过程中的认知差异和认知困难等［3］. 定理发现是一种类比发现，教师先提出（或学生自主发现）共面向量的类比对象为共线向量，再分化共线向量和共面向量的相似属性，接着引导学生猜想向量共线定理和共面向量定理的相似结论，最后验证结论是否成立.定理确定指定理证明，教师引导学生利用已知定理或基本事实进行证明. 定理挖掘主要有两个方面：一是剖析共面向量定理的结构特点及条件结论；二是挖掘共面向量定理隐藏的含义——若不共线的两个向量能表示第三个向量，则说明这三个向量共面.定理运用是指将静态的陈述性知识转化为动态的程序性知识，教师要安排好习题和练习题，既有基础练习又有综合练习，培养学生活用和逆用定理的能力. 定理图式指的是将共面向量定理与向量共线定理、平面向量基本定理相联系，形成定理体系，构建知识的网络结构. 教师要充分认识学生定理学习的五个阶段，便于在教学中根据学生的学习特点和心理素质，制定切实的教学方案，更好地提高教学有效性.

参考文献：

［1］ 殷玲，蒋孝国. 基于“三个理解”挖掘内隐性课程资源［J］. 中国数学教育，2021（12）：38-41.

［2］ 李求来，昌国良. 中学数学教学论［M］. 长沙：湖南师范大学出版社，2006.

［3］ 王富英，冯静，吴立宝. 数学定理学习的心理过程［J］. 内江师范学院学报，2019，34（02）：31-37.