捕捉问题本质，追求极简解法，发展核心素养

黄晨旭

［摘  要］ 解题能力反映了学生的数学综合素养，究竟该如何捕捉问题的本质，追求极简解题方法呢？研究者以“用不同方法解一道题”的分析为例，分别从如下三方面谈一些思考：注重审题效率，突破解题经验束缚；尊重个体差异，适当时机加以引导；紧扣知识本质，发展数学核心素养.

［关键词］ 本质；解题；核心素养

一题多解在数学训练中常有出现，旨在用不一样的技巧与方法来解决同一个问题，它对拓展数学思维，揭露知识本质，促进知识的融会贯通具有重要意义. 同一道题的多种解法也有繁简之别，追求极简解法可更好地暴露知识本质，让学生在简捷明了、条理清晰的思路中发展学力，提升核心素养.

展示试题

原题如图1，已知平面直角坐标系内的直线y=x-2和y轴在点A处相交，且和反比例函数于第一象限内相交于点B（m，2）.

问题：（1）请写出该反比例函数的关系式；

（2）若将直线y=x-2向上平移，于第一象限与反比例函数相交于点C，获得△ABC的面积为18，请写出平移之后直线的函数关系式.

解法分析

此题为中考复习课上的一道题，师生双边互动与交流，针对其中的第二问呈现出如下三种解法.

第一种：从经验出发，解题方法容易理解，但比较烦琐.

解法1：如图2所示，设点C（a，b），关于直线y=x-2可取x=0，解得y=-2，由此可确定点A（0，-2），那么AO=2. 分别过点C，B作CD，BE与y轴垂直. 所以S=S+S-S=18，即（4+a）（b-2）+×4（2+2）-a（b+2）=18，经整理，有b-a=7. 将点C代入y=中，可得ab=8. 由此可确定点C（1，8），据此获得平移之后的直线解析式是y=x+7.

分析不少学生首先想到了这种解题方法，交流发现，这部分学生认为题设条件中△ABC的面积无法直接应用，结合已有的解题经验，若无法直接应用图形面积时，则考虑从“割”或“补”的角度来转化面积. 这种解题思路涉及梯形、三角形面积以及点坐标的表示等，因此计算量较大，过程比较烦琐，但这种思路比较自然且符合学生的解题习惯.

第二种：从技巧出发，解法简捷，但不容易想到.

解法2：如图3，作CD与y轴平行，和直线AB相交于点D，再过点B作y轴的垂线，点E为垂足. 根据S=18这个条件，有S+S=18，因此CD·BE=18. 易得BE=4，由此可知CD=9，因此可确定直线AB是向上平移了9个单位，那么平移之后直线的函数关系式就是y=x+7.

分析当看到学生的这种解题思路时，笔者不禁被惊艳到，这种解法简捷了很多，尤其是借助CD将△ABC一分为二之后，在不求分割出来的三角形面积的基础上借助整体思想发现CD·BE=18，由此获得CD的长，问题也随之解决.

为了弄清学生的想法，笔者特地访谈了如此解题的学生，该生表示他是在一本课外辅导书上看到可以用整体思想来解决类似这种三角形面积问题的，不成想用到本题中还真的成功了.

众生听后一致认为：方法虽好，但技巧性比较强，一般情况下不容易想到这种思路.

第三种：紧扣问题本质，解题方法自然且简捷.

解法3：如图4，假设经平移之后直线与y轴于点D处相交，连接BD，并过点B作BE垂直于y轴，点E为垂足. 根据直线CD∥AB，可知S=S=18，因为BE=4，所以AD=9. 因为OA=2，所以OD=7，由此可确定平移之后的直线解析式是y=x+7.

分析这种解题方法与前面两种解题思路相比，显得更加自然、简单，也不会像第二种解法给人一种“高不可攀”的感觉. 但观察整个班级学生的解题思路，很少有学生想到这种解法，这是为什么呢？

为了寻求答案，笔者与学生进行了交流，发现不少学生对于题设条件中的“平行”这个条件没有引起重视，甚至有部分学生直接忽略了这个条件. 其实从本质上来说，本题的本源就是关于直线AB的平行移动问题. 当直线AB向上平移之后，它与双曲线的交点C也会随之上移，那么△ABC的面积就随之变大，若直线AB上移的距离是确定的，就能明确△ABC的面积.

从本质上来看，本题源自直线的平移，若想用最简单的方法来解决问题，最佳方案就是从“平行”着手分析. 真可谓解铃还须系铃人，一旦探寻出问题的本质，那么解题也就游刃有余了.

教学思考

1. 注重审题效率，突破解题经验束缚

审题是学生获取条件信息的重要途径，也是初步形成解题思路的金钥匙. 2022年版的新课标再次强调了要注重对学生阅读能力的培养，要关注学生审题能力的发展. 事实证明，学生的数学审题能力在很大程度上决定了解题能力的强弱. 当学生面临一道题时，首当其冲就是读题审题，因为问题呈现的方式具有多样性，那么在审题时就要从多方面着手，如从题型上来说，存在全貌与留有空缺的情况，也有辨析正误或说明理由的，还有先总结再分类的，等等. 因此，我们应注重对学生审题的引导.

若说审题考验的是学生的细致程度，那么解题则是考验学生的知识储备、解题经验与习惯等. 解题经验是指学生在解题实践中逐渐形成的知识与技能，对解题具有直接影响. 如本题，学生根据以往的解题经验，第一步想到的是怎样应用“△ABC的面积”这个条件，当发现无法直接应用时，自然而然地想到了割补法.

从学生的解题思路来看，他们目标明确，就是奔着问题的结论而去，但正是这种解题经验的束缚，导致不少学生直接无视了题设条件中的“平行”. 因此，注重审题效率，突破解题经验的束缚是有效提升解题效率的基础.

2. 尊重个体差异，适当时机加以引导

受智力与非智力因素的综合影响，每个学生都有独特的个性特征与思维方式，对同一个问题的理解难免存在差异. 作为教师，应尊重学生的个体差异性，允许学生呈现出个性化的解题思路与方法，这是促进课堂动态生成的关键.

新课标强调数学教学要将学生放在课堂的首位，教师需做好组织与引导工作. 在以学生为主体的课堂背景下，教师的主要作用在于引导、点拨与启发. 本节课中，教师顺应学生的思维特征，将典型的解题方法展示出来一一分析，且没有提出解法的“对错”与“好坏”，而是通过加强沟通与交流的方式，充分了解学生的想法，适当进行点拨，让每个学生自主辨析不同解法的利弊，促使每个学生都自然而然地趋向于最简解法.

3. 紧扣知识本质，发展数学核心素养

数学家希尔伯特提出：数学宝藏是无穷尽的，当解决了一个问题后，会有更多新的问题崛起. 当学生解决了一个优秀的问题之后，必然会引发新的思考，这是拓展教学的核心. 因此，教师所提出的每一个问题都是精挑细选而非盲目提供的. 想要从真正意义上掌握解题技巧，发展数学核心素养，最好的方式就是紧扣问题的本质.

没有一个数学问题是孤立的. 想要发现其本质，就要在严谨审题的基础上，挖掘问题的线索，不论是知识点上的明线，还是思想方法上的暗线，都是辅助解题的关键. 本题的解题，大部分学生都直奔结论而去，完全忽略了本题的本质为“平行”这个条件. 一旦看清这个本质，那么解题就会变得简捷明了.

总之，对于同一道题，从不同的角度去分析与思考会呈现出不同的解法，根据解题经验想到的解法未必是最简捷的. 因此，追求自然极简解法的关键在于捕捉问题本质，充分利用好题设条件，这也是提升解题能力，发展核心素养的基本途径.