关于圆问题的多解探讨与教学思考

沈奕

［摘  要］ 圆问题的多解在中考或模拟考中十分常见，很容易造成漏解或错解，多解成因分析是解题探究的重点，需要探讨点、线、图形的位置关系等. 文章结合实例开展圆中多解探讨，探讨点在圆弧上的位置、圆心与弦的位置、圆内三角形的形状、直线与圆的位置关系四大情形，同时开展教学探讨，提出相应的教学建议.

［关键词］ 圆；多解；点；直线；位置关系

圆类问题中常见多解情形，解析时需要深入分析问题条件，确定多解成因，再构建几何模型，分别求解. 下面结合问题具体探究.

关于圆中多解的讨论

圆问题多解的情形众多，常见的涉及了动点、直线、弦、圆心的相关位置关系，以及图形的形状等. 下面举例探究，结合实例分析思路，探讨解题过程.

1. 讨论点在优弧或劣弧上

圆中问题常见点在圆的弧上，若未设定在圆弧上的具体位置，则会造成多解，即点可以在圆的优弧上，也可以在劣弧上，求解时分别构建模型.

例1  如图1所示，AB，AC分别与☉O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是______.

思路分析：问题设点P是圆上异于点B和C的动点，要求∠BPC的度数. 点P可以位于优弧上，也可以位于劣弧上，从而造成∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角.

过程解析：分别连接BP1，BP2，CP1，CP2，如图1的虚线所示.

情形1：当点P位于优弧上时，即点P1，此时为∠BP1C为锐角. AB，AC与☉O相切于点B，C两点，则OC⊥AC，OB⊥AB. 由于∠A=50°，则在四边形ABOC中，∠COB=130°. 在☉O中，∠BP1C为圆周角，于是可推得∠BP1C=65°.

情形2：当点P位于劣弧上时，即点P2，此时∠BP2C为钝角. 由于四边形BP1CP2为☉O的内接四边形，∠BP2C=65°，可推得∠BP2C=115°.

综上可知，∠BPC的度数为65°或115°.

评析  上述求解圆中角度问题时，讨论了圆弧上点的位置，即位于优弧或劣弧，再结合模型，利用圆的内接四边形、圆周角、圆心角的相关性质求解. 对于点在圆弧中的位置，要关注其中的关键点，从优弧、劣弧两个情形出发来讨论.

2. 讨论圆心与弦的位置

圆中问题有时还需讨论圆心与弦的位置，圆具有对称性，关于圆心均可找到长度相等的两条弦. 即圆心可以位于弦的一侧，也可位于另一侧，此时就需要分开构建模型，具体讨论.

例2  图2是一下水管道的截面图. 已知排水管的直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm. 一场大雨过后，水面宽为80 cm，试求水面上升多少.

思路分析：圆具有对称性，题目设定水面宽度为80 cm，但未表明是在圆心的上方，还是圆心的下方，故需要分两种情形讨论.

过程解析：作半径OD⊥AB交AB于点C，连接OB，如图2所示，由垂径定理可得BC=AB=30 cm，在Rt△OBC中，OC==40 cm.

情形1：当水位上升到圆心以下，此时A′B′=80 cm，则OC′==30 cm，故水面上升的高度为40-30=10 cm.

情形2：当水位上升到圆心之上，此时A″B″=80 cm，水面上升的高度为40+30=70 cm.

综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.

评析  上述围绕圆的对称性开展了圆心与弦位置关系的讨论，结合圆的对称特性，把握垂径定理灵活求解是解题的关键. 利用垂径定理作图分析时分两步进行：第一步，过圆心作垂线，构建直角三角形；第二步，利用勾股定理推导解析，求解线段长.

3. 讨论圆内三角形的形状

圆与三角形综合常见于圆中问题中，圆上点的位置会影响三角形的形状，则需要讨论圆内三角形的形状，确定模型，再结合相关知识开展分析推导.

例3  半径为5的☉O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D. 若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______.

思路分析：本题目设定△OBD为直角三角形，但未表明具体的直角，则需要对其加以讨论，有两种情形，即∠ODB=90°和∠DOB=90°. 若∠ODB=90°，则可以推出△ABC是等边三角形；若∠DOB=90°，则可以推出△BOC为等腰直角三角形.

过程解析：如图3（1），当∠ODB=90°时，即CD⊥AB，所以AD=BD，可求得AC=BC. 由于AB=AC，则△ABC是等边三角形，故∠DBO=30°. 因为OB=5，故BD=OB=，则BC=AB=5.

如图3（2），当∠DOB=90°，则∠BOC=90°，可推得△BOC是等腰直角三角形，则BC=OB=5.

综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5.

评析  上述求解弦BC的长时，先对三角形的直角情形进行了讨论，确定了直角；然后展开推导，解析时利用了三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识. 正确作出图形，构建多解模型是解题的关键.

4. 讨论直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系也会造成多解，常见的有相切的不同情形，相交点个数不同情形等，探究解析时要重点关注直线与圆的位置关系，探讨具体情形，再分别构建模型解析.

例4综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O点放置在AC的中点上，DE与直角边AC重合，如图4（1）所示，∠C=90°，BC=6，AC=8，OD=3，量角器交AB于点G，F，现将量角器DE绕点C旋转，如图4（2）所示.

（1）点C到边AB的距离为_____；

（2）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；

（3）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，求BK的长.

思路分析：本题目为圆的综合题，涉及直线与圆的位置关系，需要关注位置关系，有针对性地讨论分析，再构建模型解析. 其中第（3）问涉及半圆O与Rt△ABC的直角边相切，需要讨论具体相切情形，开展多解探讨.

过程解析：（1）过点C作CH⊥AB于点H，如图5（1）所示，已知∠ACB=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理可得AB==10. 又知CH⊥AB，则AB·CH=AC·BC，所以CH==，即点C到边AB的距离为.

（2）由于点O为AC的中点，OC=AC=4，当CD⊥AB时，点O到AB的距离最小，所以OH=CH-OC=，即点O到AB距离的最小值为.

（3）半圆O与Rt△ABC的直角边相切，分两种情形.

①当半圆O与BC相切时，如图5（2），设切点为K，连接OK，则∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==，则BK=BC-CK=6-.

②当半圆O与AC相切时，如图5（3），设切点为K，连接OK，则∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==；在Rt△BCK中，BK==.

综上所述，BK的长为6-或.

评析  上述第（3）问探究了直线与圆的位置关系，涉及相切，探究时分两种情形，即半圆O与BC相切和半圆O与AC相切. 对于其中的线段长的解析，需注意提取其中的特殊模型，充分利用相似性质、勾股定理来推导.

关于圆问题多解的教学思考

上述结合实例深入探讨了圆问题的多解，涉及了点在圆弧上的位置、圆心与弦的位置、圆内三角形的形状、直线与圆的位置关系四大情形. 解析问题时具体探讨了破解思路，呈现解题过程，开展解后评析，可有效提升学生的解题能力.

1. 关注多解情形，分类具体探讨

多解是圆问题的特殊情形，其成因是关键条件不确定，教学探究时要关注问题的多解情形，分情形梳理. 上述所探究的情形涉及了点、线、图形的位置关系、形状等，实际上多解的情形还包括弦所对圆周角、点与圆的位置关系等. 教学探究时教师要引导学生深入分析，探讨多解情形，结合具体问题构建知识网络. 可分三步进行：第一步，分析多解问题成因；第二步，从点、线、图形的位置关系视角来总结归纳； 第三步，梳理关键点、所涉知识点，形成知识网络.

2. 精选典型问题，强化深入分析

“实例强化分析”是解题探究的重要环节，在该环节教师应帮助学生梳理解题的思路过程，避免漏解，生成解题策略. 如上述四种情形解析时结合实例分三步进行：第一步，展开思路分析，结合问题条件，分析是否存在多解，确定需要分类的情形；第二步，进行过程解析，具体探究解题的过程，引导学生按照“整合条件—分析推导—思路构建—求解答案”的流程进行解题；第三步，解后评析，该步要注意引导学生反思过程，总结结论，积累经验.

3. 渗透思想方法，提升综合素养

圆问题多解探究时涉及了众多的数学思想，解题过程实则为在思想方法的指导下进行分析探讨，教学探究时要注意渗透思想方法，开展数学思想教学，提升学生的综合素养. 上述问题涉及了数形结合、分类讨论、模型构造等思想. 具体表现为通过数形结合分析条件，挖掘隐含信息，确定分类情形；再结合分类讨论思想展开多解情形探讨，同时探讨时注意引入模型构造思想，作辅助线，构建解题模型，通过模型解析来降低思维难度. 另外，教学探讨时，还可以针对具体的思想方法开展指导，让学生深刻理解思想内涵，掌握使用方法.

结束语

圆问题的多解成因分析及讨论是教学探究的关键，具体探究时教师应引导学生注意针对性分析多解情形，结合实例探究解析，总结方法策略. 教学中教师要注意精选问题，让学生体验解题过程，采用思路引导、思维启发的方法，帮助学生梳理知识，内化吸收，生成自我的解题策略.