积极设问互动 提升数学素养

何卫华

［摘  要］ 习题教学是巩固知识、强化技能的重要途径.在习题教学中，教师要对学生思维误区做好充分的预设，通过由此及彼的设问帮助学生厘清问题的来龙去脉，建构个体完善的认知体系，提高学生举一反三的能力，提升学生的数学素养.

［关键词］ 习题教学；认知体系；数学素养

素质教育强调在教师讲授基本数学知识的基础上，重视培养学生学习能力，发展学生数学思维，提高学生数学素养，以此提高教师教学质量和学生学习成效. 由此及彼的设问是指在教师的启发和引导下，让学生通过对现有解答过程的联想与思考以及对变式问题的深入探究，实现知识的融会贯通，培养举一反三的能力. 由此及彼的设问不仅可以提高学生参与课堂的积极性，还可以凸显问题的本质，让学生通过联想与思考将相关知识串成线、织成网，开阔视野，使其思维逐步走向纵深. 本文以一道练习题为例，探讨如何通过合理设问互动来提升学生的数学素养.

案例分析

例1  已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3），求当y>0时，自变量x的取值范围是（      ）

A. -1

C. x>3          D. x<-1或x>3

设计意图  教师设计此题旨在帮助学生巩固和深化二次函数相关知识. 从知识梳理的角度来看，通过由此及彼的设问让学生将图象、函数值和自变量对应起来，突出三者之间的联系与转化，感悟数形结合的魅力，提高学生解决问题的能力.

教学分析：求函数值y>0时自变量x的取值范围，若从“数”的角度去分析，就是研究不等式“x2-2x-3>0”的解的问题；若从“形”的角度去思考，就是观察图象在x轴上方时，所对应的自变量x的取值范围. 对于同一个题目，不同的学生可能会应用不同的解题方法，教师要做好充分的预设，以便教学过程中能够敏锐捕捉各种生成性资源，并及时调整教学策略，以此提高教学有效性. 在求解例1时，学生虽然还没有掌握解一元二次不等式的方法，但他们有着丰富的解一元二次方程和解一元一次不等式（组）的经验，为此教师要启发学生通过迁移来解决问题. 而数形结合思想是本课教学的重点，教学中要重视呈现数形结合的魅力，让学生学会用数形结合的思想方法分析和解决问题. 另外，学生常常因为漏看或错看而引发错误，因此教师应关注学生的易错点，通过合理设问让学生关注解题细节，以此培养学生思维的严谨性，提高解题准确率.

教学片段

教师课件呈现例1，先让学生独立思考，然后重点呈现学生的思维过程，并根据学生的反馈调整教学方案，以达到巩固和深化二次函数相关知识的目的.

环节1：自主探究，形成方案

师：谁来说一说你的解题思路？

生1：根据已知易求得二次函数的解析式为y=x2-2x-3，由y>0得x2-2x-3>0，通过解不等式可以得到答案. 不过我不太知道这个不等式该如何求解，所以没有进行到最后.

师：是个不错的思路，不过生1在解题的过程中遇到了一点小麻烦，你能帮助他解决这个问题吗？

生2：一元二次不等式如何解我们还没有学过，不过我们有解一元一次不等式的经验，如果能够将它转化为一元一次不等式就比较容易解决了，不过我不知道如何转化.

师：思路不错. 大家不妨结合一元二次方程的经验想一想，看看该如何转化呢？（学生积极思考）

生3：解方程x2-2x-3=0时应用因式分解法，这里不妨也尝试因式分解法，由x2-2x-3=（x-3）（x+1），故（x-3）（x+1）>0，根据“同号为正”，得x-3>0，

x+1>0 或x-3<0，

x+1<0， 解得x>3或x<-1.

师：很好，结合解一元二次方程和解一元一次不等式的经验顺利地解决了问题. 生3的答案中用到了“或”，这个该如何理解呢？（教师引导学生关注细节）

生4：可以从“同号为正”这句话来理解，必须保证两个数同时为正或同时为负，这里成立的条件是并列关系，而非递进关系，所以理应用“或”来连接.

设计意图  教学中，教师将解题的主动权交给学生，让学生尝试用自己习惯的解题方法解决问题. 从教学反馈来看，部分学生在解决函数问题时，还是习惯从“数”的角度去分析，尝试通过解不等式来解决问题. 当学生在解一元二次不等式思路受阻时，教师启发学生将解一元二次方程及解一元一次不等式（组）的经验迁移至一元二次不等式中，使学生在解决问题的同时感受数学知识间的内在联系，提高学生解题信心. 解题后，教师让学生进一步理解“或”字，以此感受数学语言的严谨性，培养学生良好的学习习惯.

环节2：数形结合，开阔视野

师：刚刚大家从“数”的角度出发，通过解不等式的方法求得了自变量x的取值范围. 如果换个角度出发，尝试从“形”的角度去思考，不知道大家能否获得相关的数量信息呢？

在教师的启发下，学生画出函数y=x2-2x-3的图象（如图1），并结合图象总结自己的发现.

生5：如图1，若y>0，相应的函数图象应在x轴的上方，而x轴的上方又分为了两段，它们互不影响，并列存在. 从左向右看，第一段对应的x值小于-1，第二段对应的x值大于3，所以x>3或x<-1.

师：非常好！生3通过解不等式得到了不等式解集，而生5利用图象得到了不等式解集. 对比以上两种方法，你认为哪种方法更简捷呢？

生（齐声）：利用图象.

师：非常好，数形结合是解决函数问题的重要方法，我们要学会从图象中获得有价值的信息.

设计意图  数形结合是一种重要的数学思想方法，其在解决函数问题中有着重要的应用价值. 教学中，教师要有意识引导学生借助函数图象寻找解决问题的突破口，以此培养学生数形结合的意识，积累解题经验. 在此过程中，教师引导学生对比分析，在巩固知识的基础上，培养学生的最优意识，提高解题效率.

环节3：自主改编，深化理解

师：在此基础上，如果让你把原题变一变，你想怎么变呢？

生6：可以将“y>0”改为“y<0”.

师：非常好，此时自变量x的取值范围是什么呢？

生7：结合图1可知，若y<0，相应的函数图象在x轴的下方，此时横坐标介于-1和3之间，所以自变量x的取值范围是-1

设计意图  教师鼓励学生将题目“变一变”，以此调动学生参与课堂的积极性. 同时，通过变式探究让学生体会类比在分析和解决问题中的价值，提高学生的数学素养.

环节4：课堂小结，升华认知

师：结合图1，你能否直接给出方程x2-2x-3=0的解呢？

生8：方程的解也就是二次函数y=0时对应的x值，即x=3或x=-1.

师：很好，通过以上学习，你有哪些心得体会？

生8：同一问题往往有不同的解决办法，我们要学会从不同角度去观察、分析，寻找最优解决方案，以此提高解题效率.

生9：我感受到了数形结合与转换的无穷魅力.

生10：函数、方程与不等式密切联系，通过合理转换可以提高解题效率.

……

设计意图  通过由此及彼的设问引导学生将方程的解与函数图象联系起来，在强化学生数形结合意识的同时，让学生感悟数学知识之间的内在联系，帮助学生建构完善的认知体系，提高学生的数学迁移能力.

教学思考

学生知识的建构源于师生和生生间的相互启发、相互补充和相互促进，它是一个不断积累、不断完善的过程. 教学中，教师要提供机会让学生去发现、去探索、去感悟，让学生成为课堂教学的参与者、促进者，充分发挥学生的主体作用，提升课堂教学品质.

数学知识间是密切联系的，教学中教师要适当地“等一等”，启发学生通过“想一想”“试一试”等活动主动去发现、去联想，从而通过知识的迁移建构个体完善的认知体系，实现知识的融会贯通. 例如，在解一元二次不等式受阻时，教师启发学生联想一元二次方程和一元一次不等式的解题经验，最终学生结合“同号为正”的性质解决了问题. 又如，教师以图象为载体，让学生思考方程的解，这样既突出了一元二次方程与相应二次函数之间的联系，又凸显了数形结合思想的价值. 如此，通过知识间的联系与转化，促进了由此及彼目标的达成，提升了教学有效性.

总之，在数学教学中，教师要尊重学生、信任学生，善于通过“起点低、小坡度”的问题诱发学生思考，让学生在问题的解决过程中学会思维、学会提问、学会分析，以此培养学生良好的学习习惯，提升学生的数学素养.