问题导学引领探究活动 深度学习提升学科素养

吴愉

摘 要：本文以“正弦函数、余弦函数的性质”的教学为例，采用“设问-学生回答-再设问-再回答”的模式，阐述如何以问题为导向引导学生复习旧知，同时发现问题，进行探究活动，从而解决问题.

关键词：问题教学；探究活动；深度学习；学科素养

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0005-03

根据新课程理念的要求，教师在课堂教学中要从深度学习的视角去探索知识概念的相互关系.从高中数学学科的角度去看，深度学习是依托数学的教学内容，在教师的引领下，以发展学生的数学思维能力和数学学科素养为目标，围绕具有挑战性的主题展开探究活动，让学生积极参与课堂，先独立思考，后小组合作探究，以达到主动学习的目的.

1 创设问题情境，点燃学生学习兴趣点

概念课要从学生认知发展的角度出发，依托数学核心素养，从数学生活的情境入手，创设有效有趣的问题，点燃学生学习的兴趣，让课堂生动起来.因此本节课设置问题如下：

问题1：类比研究一般函数的性质，你觉得正弦函数、余弦函数应该研究哪些性质？

问题2：根据以往研究函数的经验，为了对函数性质进行研究，先要研究函数的什么？

问题3：如何绘制正弦函数、余弦函数的图象？五点法作图的步骤是什么呢？

通过设置问题，启发引导学生回顾已学知识，回忆正弦函数、余弦函数在0，2π的图象，进而回忆其在R上的图象.在点燃学生学习兴趣的同时，培养他们的逻辑推理数学核心素养，进而引出本节课所要探究的内容：正弦函数、余弦函数的性质.

2 问题引领探究，突破学生学习疑难点

探究活动的开展需要学生积极参与课堂.因此在课堂教学过程中，教师可以精心设计问题，采用“设问-学生回答-再设问-再回答”的模式，启发引导学生去发现问题，提出问题，在教师的引领下探究问题，进而解决问题，对正弦函数、余弦函数的性质：周期性以及周期函数的概念进行更深入的学习，突破学生学习疑难点.

问题4：上述问题中，我们类比研究函数的性质，我们知道研究正弦函数、余弦函数的性质：单调性、对称性和奇偶性，请同学们观察正弦函数的图象的特点，它还有什么特征呢？

学生1：通过正弦函数的图象作图过程中，可以发现，横坐标每经过2π个单位长度，点的纵坐标就会相同.

教师：很好，刚才观察图象，我们从形的角度定性地分析了图象的周而复始的规律.

问题5：如何从数的角度定量地分析这一特征呢？

学生2：诱导公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z），当k=1时，即sin（x+2π）=sinx，即

2π，4π与0，2π的图象相同，当k=-1时，即sin（x-2π）=sinx，即

-2π，0与0，2π的图象相同，当k取不同整数时，图象会重复的出现.

教师：数学上用周期性来刻画这种重复性的特征.

问题6：请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答相关问题，周期函数是怎么定义的？什么是周期？什么是最小正周期？

问题7：由周期函数的定义，y=sinx的周期是多少？

追问1：若sinπ6+π3=sinπ6，sinπ3+π3=sinπ3，sin4π3+π3=sin4π3，…，那么能说y=sinx的周期是π3吗？为什么？

学生3：不是，Ax∈R，sinx+π3=sinx不成立.

教师：定义是对定义域中的每一个x而言，只有个别或少数值满足fx+T=fx，不能说T是

fx的周期.

追问2：若函数fx的周期为T，则kT，k∈N*也是fx的周期吗？为什么？

问题8：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小正周期？

追问3：y=2，x∈R是不是周期函数？若是，其最小正周期是什么？

教师：并不是所有周期函数都有最小正周期.同学们，还能不能举出其他的例子？

问题9：余弦函数是否为周期函数？若是，请说出其周期和最小正周期.

问题10：我们知道4π是正弦函数的一个周期，我们能说正弦函数的周期是4π吗？

教师：我们现在谈正弦函数、余弦函数的周期时，如果不加解释，一般指的是最小正周期.

问题11：知道一个函数的周期，对学习函数的图象与性质有什么帮助？

教师：借助函数的周期性，有助于从局部认识整体，比如借助周期性，正弦函数、余弦函数的图象可从0，2π发展到R上.

3 开展深度学习，提升学生学习素养点

在新课标、新教材、新高考的教育背景下，教育教学应该站在学生的角度，发展学生的思维，提升学生数学核心素养，培育学生的勇于奋斗的求知精神和积极进取的学习意识，进而达到提升其素养的目的.那么，怎样在课堂教学中落实素养，从哪些方面着手提升学生的素养呢？笔者依托深度教学，发挥育人价值，通过让学生独立思考、自主探索、小组合作、讨论交流、师生共探、归纳提升，进行深度学习，并将素养的发展目标分解到相应的数学教学环节中.

3.1 独立思考，自主探索

在研究正弦函数与余弦函数的性质时，我们已经根据三角函数的作图过程中图象周而复始的规律，研究函数的周期性，并懂得了正弦函数和余弦函数的周期为2π.类比一般函数的研究方法，三角函数还存在其他的性质.教师可组织学生先观察图象，让他们独立思考，自主探索，去发现正弦、余弦函数的性质[1].

问题12：观察正弦函数、余弦函数的图象，你能看出他们有何奇偶性吗？

学生4：观察正弦曲线与余弦曲线，可以发现，正弦曲线关于0，0对称，余弦曲线关于y轴对称，所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

问题13：除了观察正弦函数、余弦函数的图象，你们还有没有其他方法来证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？

学生5：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx.

教师：数无形时少直观，形少数时难入微，数形结合是解决函数问题的一种常用手段.由“形”到“数”，由“数”到“形”，加深对概念的理解，促进学生数学思维能力和表达能力的提高.

通过设置这一教学环节，训练学生思维能力，提升学生的直观想象、逻辑推理数学核心素养.

3.2 小组合作，讨论交流

通过前面的设问，我们知道要研究三角函数，可研究正弦函数、余弦函数的性质.

问题14：观察正弦曲线，完成下表1中正弦函数性质部分的内容.表1 正弦、余弦函数的性质表

内容正弦函数余弦函数定义域

值域（最值点x）周期性

奇偶性单调递增区间

单调递减区间对称轴

对称中心

师生活动：教师安排填表任务并组织学生进行小组合作学习，学生之间相互讨论交流，完成表格的填写.在学生分组讨论时，教师巡视课堂，启发学生积极思考，用心观察，充分调动学生的学习主动性.讨论结束，教师请小组派代表展示讨论结果.

学生6：（展示小组讨论结果以及思维过程）

①定义域：R，值域：-1，1，x=π2+2kπk∈Z，ymax=1，

x=-π2+2kπk∈Z，ymax=-1.

②周期性：y=sinx的周期为2π;

奇偶性：y=sinx为奇函数.

③单调性：单调递增区间：［-π2+2kπ，π2+2kπ］（k∈Z），

单调递减区间：［π2+2kπ，3π2+2kπ］（k∈Z）；

④对称性：对称轴：x=π2+kπk∈Z，对称中心：kπ，0k∈Z;

教师：很好，有没有补充说明的？汇总各小组在小组合作交流中碰到的疑惑，教师进行点评指导.

教师：在刚才的环节中，我们是通过观察正弦函数的图象，数形结合定性的得出正弦函数的性质的结论，那么能不能从另一个角度定量分析正弦函数的性质.

追问1：如何理解直线x=π/2是正弦函数y=sinx的对称轴？又如何理解点π，0是正弦函数y=sinx的对称中心呢？

学生7：直线x=π/2是正弦函数y=sinx的对称轴，即对于任意的x，有sinx=sinπ-x;π，0是正弦函数y=sinx的对称中心，即对于任意的x，有sinx=sin（2π-x）.

教师：非常好，正弦函数的对称轴和对称中心，可以根据函数的对称性特点，加以解释；其次正弦函数的对称轴是其取最大值和最小值的时候，正弦函数的对称中心是其取到零点的时候.

追问2：为什么对称轴和对称中心“+kπ”就可以，而单调区间和最值要“+2kπ”呢？

学生8：对称轴和对称中心每隔π个单位，会重复出现，而单调区间和最值要每隔2π个单位，才会重复出现.

前面的研究，我们已经了解正弦函数的相关性质，那么余弦函数的性质又如何呢？教师可以让学生尝试归纳，并进行合作探究，引导学生阅读教科书，规范认识余弦函数的性质，并精准规范地表达，促进学生对知识有更深层次的理解.

4 教学反思

在课堂教学过程中，问题导学是一种行之有效的教学手段，它以问题为核心，教师根据教学目标和学生的认知水平，进行核心问题的设计，学生依据问题，结合已有的知识和技能展开独立的思考和自主探究，尝试解决问题.学生也可以采用小组合作、讨论交流的方式进行探究活动，通过讨论，将研究成果进行分享.教师根据学生的学习反馈，设计有挑战性的学习问题，引导学生思考和解决问题，培养他们的创新思维，从而实现深度学习，进而提升学生数学核心素养.

5 结束语

问题导学可以有效引领探究活动，促进学生深度学习，进而提升学生素养.因此，在实际的课堂教学过程中，教师要不断地调整教学策略，关注学生的个性差异，因材施教，创造有利于学生发展的教学环境，从而实现立德树人的根本任务.

参考文献：

［1］吴景峰.新授课深度学习的六个触动点[J].中学数学教学参考，2023（09）：28-31.

［责任编辑：李 璟］