基于核心素养的数学解题教学探讨

张燕

摘 要：本文以2023年高考数学新课标Ⅰ卷22题为例，对基于核心素养的高中数学解题教学进行探讨.

关键词：高中数学；解题教学；数学核心素养

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0020-03

解题教学是数学教学中非常重要的组成部分，是学生将数学知识与数学实践进行联系的重要方式.所以，以培养学生核心素养为目的来开展解题教学是提升学生数学核心素养的重要措施.

解题教学中，试题选择具有非常重要的作用.通过良好的选题能够更好地实现培养学生的“四基”、提升学生的“四能”，进而实现对学生核心素养的提升.所以在选题过程中，需要充分结合所学知识内容，选择合适的例题来进行解题教学.本文选用了2023年新课标1卷的解析几何试题来进行解析几何的解题教学.

1 试题呈现

（2023年高考新课标1卷22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到（0，12）的距离，记点P的运动轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形ABCD的周长大于33[1].

2 问题分析

问题（1）引导：根据题意，假设点P的坐标为（x，y），点P到x轴的距离就可以表示为d=|y|，点P到点（0，12）的距离可以表示为d=（x-0）2+（y-1/2）2，这样就可以对方程进行表示：|y|=x2+（y-1/2）2，整理可得W：y=x2+14.

问题（2）引导：根据问题（1）可以知道矩形ABCD的三个顶点在y=x2+14上，就可以将这三个顶点的坐标进行表示：

假设三个顶点的坐标分别为：A（a，a2+14），B（b，b2+14），C（c，c2+14），并将三个顶点的横坐标大小关系确定为a＜b＜c，可以很轻易地确定这个四边形的四条边所在的直线斜率存在，且不为0，如图1所示.

因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率和直线BC的斜率的关系为：kAB·kBC=-1.

令kAB=b2+1/4-（a2+1/4）b-a=a+b=m＜0，kBC=b+c=n＞0

由kAB·kBC=-1可得mn=-1，即m=-1n，

同时假设|m|＞|n|，则kBC-kAB=b+c-（a+b）=c-b=n-m=n+1n.

根据矩形的对称性，设矩形的周长为C，则矩形的周长可以表示为C=2（|AB|+|BC|）

所以

12C=|AB|+|BC|=（b-a）1+m2+（c-b）1+n2≥（c-a）1+n2=（n+1n）1+n2.这样就将矩形ABCD的周长大于33的问题转化为判断（n+1n）1+n2与332的关系.同时（n+1n）1+n2＞0明显成立.

令f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0，求导可得f ′（x）=2（x+1x）2（2x-1x），

令f ′（x）=0解得x=22，

所以可以知道函数f（x）=（x+1x）2（1+x2），x＞0在（0，22）上单调递减；在（22，+∞）上单调递增.

所以f（x）min=f（22）=274，

所以12C≥274=332，即C≥33，

当C=33时，n=22，m=-2，且（b-a）1+m2=（b-a）1+n2，与m=-1n矛盾，所以C＞33.

3 其他思路

上述问题（2）是利用矩形相邻两个边垂直的关系，通过直线相邻边直线的斜率关系，对三个顶点的坐标进行设置，从而实现对矩形周长进行表示，实现问题的证明.那么，通过设置一个点的坐标是否能够对问题进行证明呢？

解法1 如图2所示，假设点A，B，D在E上，且AB⊥AD，

假设点A的坐标为（a，a2+14），根据AB⊥AD假设直线AB的斜率为k，则直线AD的斜率为-1k，根据对称性，设|k|＜1.

直线AB的方程为y=k（x-a）+a2+14，

与y=x2+14联立可得x2-kx+ka-a2=0，

△=k2-4（ka-a2）=（k-2a）2＞0，所以k≠2a

所以|AB|=1+k2|k-2a|，同理|AD|=1+1k2|1k+2a|，

所以

|AB|+|AD|=1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）

≥1+k2|k+1k|=（1+k2）3k2，

令m=k2，因为|k|＜1，所以m∈（0，1］.

设f（m）=（1+m）3m2=m2+3m+1m+3，

求导可得f ′（m）=2m+3-1m2=（2m-1）（m+1）2m2，

令f ′（m）=0，则m=12，

所以函数f（m）在（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，

所以f（m）min=f（12）=274，

所以|AB|+|AD|≥332，

又因1+k2|k-2a|+1+1k2|1k+2a|≥1+k2（|k-2a|+|1k+2a|）取等号的条件是k=1与最终取等时k=22矛盾.所以|AB|+|AD|＞332，即C＞33，

解法2 从一般到特殊.如图3所示，将函数y=x2+14的图象平移14个单位后，矩形ABCD平移后形成的矩形A′B′C′D′，这样就可以将原问题转化为矩形A′B′C′D′的周长大于33.

平移后，设点A′，B′，C′的坐标分别为A′（t1，t21），B′（t0，t20），C′（t2，t22） ，且t0≥0

所以kA′B′=t1+t0，kB′C′=t2+t0，所以（t1+t0）（t2+t0）=-1，

|A′B′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|，|B′C′|=1+（t2+t0）2|t2-t0|

因为t1＜t0＜t2，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+（t1+t0）2|t1-t0|+1+（t2+t0）2|t2-t0|，

令t2+t0=tanθ，则t1+t0=-cotθ，θ∈（0，π2），

所以t2=tanθ-t0，t1=-cotθ-t0，

所以|A′B′|+|B′C′|=1+cot2θ（2t0+cotθ）+1+tan2θ（tanθ-2t0），

整理可得：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（1sinθ-1cosθ）+sinθcos2θ+cosθsin2θ=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ所以当θ∈（0，π4］时，

|A′B′|+|B′C′|≥cos3θ+sin3θsin2θcos2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ≥21sinθcosθ=22sin2θ≥22当θ∈（π4，π2）时，由t1＜t0＜t2可知tanθ-t0＞t0＞-cotθ-t0，

所以tanθ2＞t0＞-cotθ2，且t0≥0，所以0≤t0≤tanθ2，

所以：

|A′B′|+|B′C′|=2t0（cosθ-sinθ）sinθcosθ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ＞sinθ（cosθ-sinθ）（sinθcosθ）sin3θcos2θ+cos3θ+sin3θsin2θcos2θ

=1cosθ+cosθsin2θ=2sin2θsin2θ·2cos2θ=2（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ

≥2［（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ］/3≥2（2/3）3=332

所以，当且仅当cosθ=33时等号成立，所以矩形ABCD的周长大于33.

4 结束语

在解题教学过程中，教师要通过有效的措施引导学生产生共鸣，并给予学生充分的体验和体会，从而令其能够在解题教学的过程中更好地学习解题的思路和方法，实现提升学生的数学核心素养的目标.

参考文献：

［1］沈新权.关注理性思维，检测核心素养：2023年数学新高考Ⅰ卷评析[J].高中数理化，2023（13）：1-4.

［责任编辑：李 璟］