思维导图在高中数学解题教学中的应用实践

陈丽红

摘 要：思维导图是一种图形化的工具，可以帮助学生整理和梳理知识，更好地理解和记忆知识点.在高中数学解题教学中，思维导图可以起到很大的作用.本文将介绍思维导图在高中数学解题教学中的应用实践.

关键词：高中数学；解题；应用实践

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0032-03

思维导图是一种以图形方式展现知识结构和思维模式的工具，可以帮助学生更好地理清知识点之间的关系，提高思维的逻辑性和条理性.在高中数学解题教学中，思维导图的应用可以帮助学生更好地理解数学知识、掌握解题方法、提高解题效率［1］.本文将探讨思维导图在高中数学解题教学中的应用实践，旨在为教师和学生提供一种有效的教学工具，促进高中数学解题教学的提升.

1 巧用思维导图，解决集合问题

例1 已知集合M=-2，-1，0，1，2，N=xx2-x-6≥0，则M∩N= （  ）.

A．-2，-1，0，1   B．0，1，2

C．-2D．2

答案：C.

详解 方法1 因为N=xx2-x-6≥0=-8

，-2∪3，+8

，而M=-2，-1，0，1，2，所以M∩N=-2．

故选C．

方法2 因为M=-2，-1，0，1，2，将-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N=-2．

故选C．

2 巧用思维导图，解决平面向量最值问题

例2 已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA·PD的最大值为（  ）.

A．1+22 B．1+222

C．1+2 D．2+2

答案：A

详解 如图1所示，OA=1，OP=2，则由题意可知：∠APO=

45°，由勾股定理可得PA=OP2-OA2=1.

当点A，D位于直线PO异侧时，设∠OPC=α，0≤α≤π4，则PA·PD=|PA|·|PD|cosα+π4=1×2cosαcosα+π4=2cosα22cosα-22sinα=cos2α-sinαcosα=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin2α-π4，∵

0≤α≤π4，∴-π4≤2α-π4≤π4.

∴当2α-π4=-π4时，PA·PD有最大值1.

当点A，D位于直线PO同侧时，如图2所示，设∠OPC=α，0≤α≤π4，

则PA·PD=|PA|·|PD|cosα-π4=1×2cosαcosα-π4=2cosα22cosα+22sinα=cos2α+sinαcosα=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin2α+π4，

∵0≤α≤π4，∴π4≤2α+π4≤π2.

∴当2α+π4=π2时，PA·PD有最大值1+22.

综上可得，PA·PD的最大值为1+22.

故选A.

3 巧用思维导图，解决三角形面积问题

例3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+π+bcos5π6-A=0，a=15，若点M满足BM=25BC，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（  ）.

A．3037 B．30314 C．225314 D．135314

答案：D

详解 由正弦定理及诱导公式，可得：

asinB+π+bcos5π6-A=0

-sinAsinB+sinB-32cosA+12sinA=0，

∵sinB>0，

化简得：sinA+3cosA=0tanA=-3，

又A∈0，π，则A=2π3.

又BM=25BC，则 BM=6，MC=9.

因∠MAB=∠MBA，则∠MAC=2π3-B，∠MCA=π3-B，则在△MAC中，MCsin∠MAC=MAsin∠MCA9sin2π3-B=6sinπ3-B，解得tanB=35.

所以sin∠AMC=sin2B=2tanB1+tan2B=5314.

所以在△MAC中，边AM对应高h=6×5314=1537，

所以在△MAC面积S=12×9×1537=135314．

思维导图

4  巧用思维导图，解决数列问题例4 记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8= （  ）．

A．120  B．85  C．-85  D．-120

答案：C.

详解 方法1 设等比数列an的公比为q，首项为a1，若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，与题意不符，所以q≠1；

由S4=-5，S6=21S2可得，a11-q41-q=-5，a11-q61-q=21×a11-q21-q①，

由①可得，1+q2+q4=21，解得：q2=4，

所以S8=a11-q81-q=a11-q41-q×1+q4=-5×1+16=-85．

故选C.

方法2 设等比数列an的公比为q，因为S4=-5，S6=21S2，所以q≠-1，否则S4=0，从而，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列，

所以有-5-S22=S221S2+5，解得：S2=-1或S2=

54，

当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6，即为-1，-4，-16，S8+21，易知，S8+21=-64，即S8=-85；

当S2=54时，S4=a1+a2+a3+a4=（a1+a2）（1+q2）=1+q2S2>0，与S4=-5矛盾，舍去．

故选C．

5 巧用思维导图，解决圆锥曲线问题

例5 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=-23F2B，则C的离心率为．

答案：355

详解 依题意，如图3所示，设AF2=2m，则BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，在Rt△ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，则（a+3m）（a-m）=0，故a=m或a=-3m （舍去），所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，则AB=5a，故cos∠F1AF2=AF1AB=4a5a=45，所以在

△AF1F2中，cos∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45，整理得5c2=9a2，故e=ca=355.

6 结束语

思维导图可以帮助学生整理知识、建立清晰的思维框架，促进系统思维和创造性思维，提高解题效率和准确性，培养综合分析和解决问题的能力，并养成良好的解题习惯和方法，从而提高学习效果.数学教师在教学中需要注重知识获取，同时要注重理论与实践相结合.在课堂教学中，教师应该着重思考如何有效提高学生对数学的兴趣，可以运用思维导图等工具来帮助学生更好地理解数学知识.通过这样的方式，可以减轻教学压力，促进师生之间良好的互动关系，最终提高学生的数学素养.

参考文献：

［1］金忠莲.思维导图在高中数学教学中的应用[J].数理化解题研究，2023（15）：17-19.

［责任编辑：李 璟］