高中数学常用思想方法及应用研究

毛志渊

摘 要：高中数学不仅是学生学习数学知识的重要阶段，也是学生思维能力和逻辑推理能力得到培养和提高的关键时期.在高中数学课程中，“函数”不仅是数学的基础概念，也是后续学习和应用数学的重要工具，其蕴藏着丰富的数学思想方法.本文以“函数”为例，探讨了高中数学中常用的思想方法.

关键词：高中数学；数学思想；函数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0023-03

《2022年版普通高中数学课程标准》强调了数学思维能力的培养和数学方法的掌握对于学生长远发展的重要性［1］.教学过程中，教师不仅要让学生理解数学的形式和层面，更要让学生通过自主探索、逻辑推理、概念总结和结论总结等学习过程，积累并学习使用数学思想方法，使其充分掌握数学的本质，从而轻松解决数学问题.本文梳理了“函数”部分常见的数学思想方法，以期帮助学生建立完整的知识脉络.

1 建模思想

建模思想指的是利用数学知识和技巧，将实际问题进行抽象化和数学化处理，建立数学模型来描述和解决现实生活中的问题.建模思想要求学生能够从实际问题中抽象出数学模型，进行数学建模和分析，从而得出解决问题的方法和结论.这种思想培养了学生的数学建模能力和实际问题解决能力，使他们能够更好地应用数学知识解决实际问题.建模思想在高中数学教育中的重要性不言而喻.通过建模，学生可以将抽象的数学理论与实际生活相结合，使数学知识更具有实际意义.此外，建模思想还培养了学生的问题解决能力、创造力和逻辑思维能力，为他们未来的学习和工作打下了坚实的基础.因此，高中数学中的建模思想不仅是教育教学的一种方法，更是培养学生综合素质的重要途径.

例1 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图1所示）．

图1 打水漂示意图现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为（参考数据：ln 0.6≈-0.511，ln 0.9≈-0.105）（  ）.

A．4   B．5   C．6   D．7

解析 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n-1.

由100×0.9n-1<60，得0.9n-1<0.6，

则（n-1）ln 0.9

即n-1>ln0.6ln0.9≈-0.511-0.105≈4.87，则n>5.87.

∴至少打6次，选C.

2 分类讨论思想

分类讨论思想是指在数学问题的解决过程中，根据问题的特点和条件将问题进行分类讨论，从而找到问题的解决方法.在高中数学中，分类讨论思想常常应用于代数、几何和概率等方面的问题解决中.具体来说，分类讨论思想包括以下几个方面：（1）将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题，从而分步解决问题；（2）根据问题的条件和特点，将问题进行分类讨论，找到每个类别的解决方法；（3）将各个类别的解决方法进行综合分析，找到整体的解决方案；（4）对所得的解决方案进行验证和推理，确保解决方案的正确性和完整性.通过分类讨论法，我们可以将复杂的问题分解为几个相对简单的子问题，逐一进行深入分析和求解.此外，分类讨论法也有助于我们更好地理解和把握问题的实质，提高解题的准确性和效率.因此，无论是在数学学习，还是在实际问题的解决中，分类讨论法都是一种十分必要和有效的思维工具.

例2 设a∈R，函数f（x）=cos（2πx-2πa）.x

）内恰有6个零点，则a的取值范围是（  ）.

A.2，94∪52，114  B.74，2∪52，114

C.2，94∪114，3D. 74，2∪114，3

解析 ∵x2-2a+1x+a2+5=0最多有2个根，所以cos2πx-2πa=0至少有4个根，由2πx-2πa=π2+kπ，k∈Z可得x=k2+14+a，k∈Z，

由0

（1）x

当-6≤-2a-12<-5，fx有5个零点，即94

当-7≤-2a-12<-6，fx有6个零点，即114

（2）当x≥a时，f（x）=x2-2（a+1）x+a2+5，

Δ=4（a+1）2-4a2+5=8a-2，

当a<2时，Δ<0，fx无零点；

当a=2时，Δ=0，fx有1个零点；

当a>2时，令f（a）=a2-2a（a+1）+a2+5=-2a+5≥0，则2

所以若a>52时，fx有1个零点.

综上，要使f（x）在区间（0，+8

）内恰有6个零点，则应满足

7452或114

则可解得a的取值范围是2，94∪52，114.答案为A.

3 数形结合思想

数形结合思想是指在数学学习和问题解决中，将代数和几何两个方面相结合，通过数学符号和图形的相互关联，更全面地理解和解决问题.在高中数学中，数形结合思想常常应用于几何证明、函数图象、方程解析等方面的问题解决中.数形结合思想主要包括以下几个方面：（1）利用代数方法解决几何问题：通过建立代数方程或不等式来描述几何问题中的关系，从而利用代数方法解决几何问题.例如，利用坐标系和代数方程求解几何图形的交点或面积等问题.（2）利用几何图形辅助解决代数问题：通过几何图形的性质和特点，辅助理解和解决代数问题.例如，通过观察函数的图象特点来推导函数的性质或解方程.（3）将代数和几何相结合进行证明：在几何证明中，常常需要结合代数方法来论证结论的正确性.通过代数和几何的相互印证，增强证明的严谨性和可信度.（4）利用概率统计的图形表示：在概率统计中，通过图形化表示数据分布、概率分布等信息，直观地理解和分析问题，从而更好地应用数学方法解决实际问题.数形结合思想的必要性在于其能够综合代数和几何两个方面的知识和方法，使问题的解决更加全面和深入.通过数形结合，我们可以在代数的抽象性和几何的直观性之间建立联系，帮助我们更清晰地理解问题、发现问题的本质，并提高问题解决的准确性和效率.因此，在高中数学学习和实际问题解决中，运用数形结合思想是一种十分必要和有效的思维方式.

例3 若定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（  ）.

A．[-1，1]∪[3，+∞）

B．[-3，-1]∪[0，1]

C．[-1，0]∪[1，+∞）

D．[-1，0]∪[1，3]

解析 因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0.又f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，画出函数f（x）的大致图象如图2所示，则函数f（x-1）的大致图象如图3所示．

当x≤0时，要满足xf（x-1）≥0，

则f（x-1）≤0，得-1≤x≤0.

当x>0时，要满足xf（x-1）≥0，

则f（x-1）≥0，得1≤x≤3.

故满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3]．

例4 函数f（x）＝4-x2，x≤2，log3（x-1），x>2，g（x）＝kx-3k，若函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（  ）.

A．（22-6，0）   B．（23-6，0）

C．（-2，0） D．（25-6，0）

解析 作出函数4-x2，x≤2，log3（x-1），x>2，的图象，如图4所示.

设与y＝4-x2相切的直线为l，

且切点为P（x0，4-x20），

因为y′＝-2x，所以切线的斜率为k＝-2x0，

则切线方程为y-4+x20＝-2x0（x-x0），

因为g（x）＝kx-3k过定点（3，0），且在切线l上，

代入切线方程求得x0＝3-5或x0＝3+5（舍去），

所以切线的斜率为k＝25-6，因为函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，

由图象知，实数k的取值范围为（25-6，0）．

4 结束语

在高中数学教学中，注重数学思维方法的引导是新课程改革的核心内容，也是帮助学生提升关键数学能力的主要手段.教师需要积极寻找有效的策略，使数学思维方法在教学中得到有效的渗透，从而帮助学生掌握数学的核心思想，提升他们的问题解决能力.这样，学生在面对数学学习中的困难时，能够更好地做出判断，找到解决问题的有效方法.

参考文献：

［1］汪静思.锻炼数学思维，掌握数学方法：谈高中数学思想方法的渗透[J].数理天地（高中版），2023（19）：65-67.

［责任编辑：李 璟］