构造图形巧解三角题

赵峰

摘 要：本文通过构造三角形和单位圆，从几何直观的角度来巧妙地解决三角函数中的求值、证明不等式以及最值问题.

关键词：三角函数；构造图形；三角形；单位圆；几何背景

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0008-03

几何直观是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理的思维基础[1-2]. 作为一线教师，要善于引导学生去探索和发现三角函数问题的几何背景，这有助于培养学生的直观想象，而对于问题的解决来说，就会变得简单而自然.

1 构造三角形求三角函数的值

例1 求值：tan20°+4sin20°.

解 构造Rt△ABC，如图1所示，使∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1. 在BC上取点D使∠DAC=20°，则CD=tan20°，AD=1cos20°.

又S△ACD=12AC·CD=12tan20°，S△ADB=12AD·AB·sin40°=2sin20°，

而S△ABC=S△ACD+S△ADB.

所以12tan20°+2sin20°=32，即tan20°+4sin20°=3.

例2 求值：cos20°·cos40°·cos80°.

解 构造△ABC， 其中AB=AC，∠BAC=20°.

如图2，在CB延长线上取D，E两点， 使BD=BA，DE=DA， 则

∠ADB=12∠ABC=40°， ∠AED=12∠ADB=20°.

所以cos20°·cos40°·cos80°=AE2DE·AD2BD·BC2AB.

另一方面， 由ΔABC∽ΔEAC， 可知AC2=BC·AE， 代入上式立得cos20°·cos40°·cos80°=18.

例3 求值：cosπ7+cos3π7+cos5π7.

解 构造△ABC， 其中AB=AC，∠CAB=π7.如图3所示，取AB上的D点和AC上的E点， 使∠BDC=3π7，∠CED=2π7.则△EAD，△DEC，△CDB，△BAC都是等腰三角形， 它们各自的一个底角分别是π7，2π7，3π7， 且AE=ED=DC=CB.

设AE=a， 则由AB=AD+DB=2AE·cosπ7+2CD·cos3π7，

AC=AE+EC=AE+2ED·cos2π7，

AB=AC，

得a+2acos2π7=2acosπ7+2acos3π7，

化简得cosπ7+cos3π7-cos2π7=12，即cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.

2 构造三角形巧证三角恒等式

例4 求证：sin20°+sin40°=sin80°.

证明 构造等边△ABC，D在BC上，∠BAD=40°， 如图4所示.

在△ABD中， 由正弦定理得BD=AB·sin40°sin80°.

在△ACD中， 同理可得CD=AC·sin20°sin100°.

因为BD+CD=AB=AC，sin80°=sin100°，所以sin20°+sin40°=sin80°.

例5 求证：sin380°+sin320°=3sin20°·sin280°.

证明 构造△ABC， 其中AB=AC，∠BAC=20°.

作射线BE（如图5所示）， 使得∠CBE=20°，BE交AC于D.

作AE⊥BD于E，∠ABE=60°，∠BAE=30°.

记AB=AC=b，BC=a， 则由ΔABC∽ΔBCD， 得CDBC=BCAB，即

a2=b·（b-AD）.

在直角△AEB中，BE=12AB=12b，AE=ABcos30°=32b.

在直角△AED中，AE2+DE2=AD2， 即

32b2+12b-a2=b-a2b2，

化简得a3+b3=3ab2.由正弦定理知ab=sin20°sin80°，所以

sin380°+sin320°=3sin20°·sin280°.

3 构造单位圆巧证三角不等式

例6 已知0＜x＜y＜z＜π2，求证：π2+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z.

证明 如图6所示，在单位圆上第一象限找三个点A，B，C，使得∠xOA=x，∠xOB=y，∠xOC=z，作矩形AENM，矩形BFQP，矩形CGHD，则

S矩形AENM=2sinx（cosx-cosy），

S矩形BFQP=2siny（cosy-cosz），

S矩形CGHD=2sinzcosz，

而S矩形AENM+S矩形BFQP+S矩形CGHD<12S单位圆，将以上三式代入整理即可得证.

例7 求证：13

证明 如图7所示，构造半径为1、圆心角为20°（即π9）的扇形OAB[3].

因为S△OAB

在扇形OAB的基础上继续延拓：构造半径为1、圆心角为20°的扇形BOC、扇形COD.则AC⊥OB于E，∠BEC=90°，∠BED>90°DE13.

综上，有13

4 构造单位圆求三角函数的值

例8 已知sinα+sinβ=14，cosα+cosβ=13，求tan（α+β）的值.

解 构造单位圆，如图8所示，设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则线段AB的中点为Mcosα+cosβ2，sinα+sinβ2，即M16，18.

又∠AOM=∠BOM，故∠xOM=∠xOA+∠AOM=α+β-α2=α+β2，结合三角函数的定义得tanα+β2=NMON=1816=34，所以tan（α+β）=2×341-342=247.

5 构造单位圆巧解三角函数的最值

例9 （2018年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.

解 在单位圆内考虑目标函数的几何解释，化归为圆的内接三角形面积问题.由题意知，f（x）=2sinx（1+cosx），如图9所示，考虑单位圆上的三个点A（-1，0），B（cosx，sinx），C（cosx，-sinx），x∈（0，π2］.

则BC=2sinx，hA=cosx-（-1）=cosx+1，x∈（0，π2］.

所以f（x）=BC·hA=2S△ABC.

因为圆的内接三角形以正三角形的面积最大，

所以f（x）max=2（S△ABC）max=f（π3）=332.

又f（x）是奇函数，所以f（x）min=-f（x）max=-332.

6 结束语

三角函数、三角不等式和三角函数值一般都具有几何背景.在解题时，如果能挖掘出试题的几何背景，利用其几何解释来处理，会达到事半功倍的解题效果.这样的解题教学不仅体现了“数形结合”思想，还发展了学生“直观想象”的核心素养，对培养学生的逻辑思维能力和直观想象能力是有帮助的.

参考文献：

［1］陈辉.关注学生的最近发展区 找准核心素养的生长点[J].数理化解题研究，2021（24）：2-3.

[2] 程汉波，徐章韬.寻找代数问题背后的直观[J].数学通报，2023，62（5）：26-29，55.

[3] 李鸿昌.2018年全国卷Ⅰ理科第16题的多解与变式探究[J].数学通讯，2018（23）：29-32.

［责任编辑：李 璟］