一类多项式型迭代方程的高阶强凸解

张中月 赵侯宇

【摘   要】   利用Schauder不动点定理和 Banach压缩映像原理讨论了一类多项式型迭代函数方程的高阶强凸解的存在性、唯一性和稳定性。即一类多项式型迭代函数方程[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x），?x∈R]在一定条件下有高阶强凸解，且解是唯一的，该解连续依赖于给定的函数[F。]

【关键词】   迭代函数方程；高阶强凸；不动点

Higher Order Strongly Convex Solutions to a

Polynomial-like Iterative Functional Equation

Zhang Zhongyue， Zhao Houyu*

（Chongqing Normal University， Chongqing 401331， China）

【Abstract】    By the Schauder′s fixed point theorem and the Banach contraction principle， the paper finds that higher order strongly convex solutions to polynomial iterative functional equation are existing， unique and stable. That is， under some conditions， the polynomial iterative functional equation has the higher order strongly convex solutions. [λ1f（x）+λ2f2（x）+…+][λnfn（x）=F（x），?x∈R]. And the solution is an unique one which depends on the given function[ F.]

【Key words】      iterative functional equation; higher order strongly convex; fixed point

〔中图分类号〕 O13                                    〔文献标识码〕  A                   〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）02- 0011 - 05

[收稿日期]   2023-10-21

[基金项目]   国家自然科学基金项目（12271070）

[作者简介]   张中月（1999- ），女，重庆师范大学数学科学学院硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统。

[通讯作者]   赵侯宇（1982- ），男，博士，重庆师范大学数学科学学院教授，研究方向：微分方程与动力系统。

0     引言

迭代根问题是动力系统理论中的重要问题，1980年Rice RE等［1］考虑了方程[f（f（z））=az2+bz+c]， 证明了右端函数是二阶多项式时，在复域上不存在函数[f]满足该方程。那么右端函数是什么样子，才会存在[f]满足类似的方程。这个问题的一个自然推广为一类多项式型迭代函数方程

[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x），?x∈R]        （1）

其中[f（x）]为未知函数，[fi]表示[f]的第[i]次迭代，[i=1，2，…，n]， [λ1，λ2，…，λn]是实数，[F（x）]是一个给定的函数。方程（1）在不同的条件下已有许多结果，1990年张伟年［2］考虑了可微解的存在性、唯一性及稳定性。随后，司建国等［3］得到了在有限闭区间[I=[a，b]]上[C2]自映射的结果，其中[F（a）=a，F（b）=b]。 1999年，利用Schroder变换，司建国和王新平［4］研究了原点附近的局部解析解。随后，张伟年等［5］、徐冰等［6］讨论了多项式型迭代方程的单调解和凸解。Ng和赵侯宇［7］研究了周期解和连续解并给出两个例子来解释他们的结果。2021年，李蔓蓉和赵侯宇［8］利用不动点方法讨论了方程（1） 的强凸解存在唯一性。

高阶强凸函数是指在一定阶数上满足高阶强凸性质的函数，在一些特殊的优化问题中也会使用高阶强凸函数的假设条件。本文中，假设[X]是一个拓扑空间，[f：X→X]是一个自映射。给定一个高阶强凸函数[F]，那能否找到满足（1）的高阶强凸函数[f]？由于方程中包含了迭代，可能使解的高阶强凸性发生变化，使问题变得更加复杂。

1     预备知识及几个引理

下面将给出一些预备知识及引理。设[I]是实数域[R]上的一个区间。

定义1.1   函数[f：I?R→R]是凸函数，如果[f（tx+（1-t）y）≤tf（x）+（1-t）f（y）]对所有的[x，y∈I，t∈0，1]都成立。

如果不等式对所有的[x≠y]且[t∈0，1]严格成立，则称[f]严格凸。如果[-f]是凸的或者严格凸的，则函数[f]是凹的或严格凹的。

定义1.2    函数[f：I?R→R]是高阶强凸函数，模量[c>0]，如果[f（tx+（1-t）y）≤tf（x）+（1-t）f（y）-ct（1-t）x-yσ]对所有的[x，y∈I，t∈0，1，σ>0]成立。

如果[-f]是高阶强凸的，则函数[f]是高阶强凹的。

本文中，设区间[I=[a，b]]是一个闭区间，不失一般性，假设[a=0，b=1]。设[M≥1≥m≥0]，[C（I）]包含了所有在区间[I=[0，1]]上的连续函数。定义

[Φ（I，m，M）={f∈C（I）： f（0）=0，f（1）=1，0≤f（x）≤1，f（x）-f（y）≤Mx-y，m（x1-y1）≤f（x1）-f（y1），?x，y，x1≥y1∈I}。]

由[Φ（I，m，M）]中所有高阶强凸函数和高阶强凹函数组成的集合，记为[Φhscv（I，m，M）]和[Φhscc（I，m，M）]，显然[C（I）]为一个实巴拿赫空间，若其范数规定为

[f=max{f（t）：t∈I}， f∈C（I）。]

进一步定义

[Ω（I，m，M，k，K）={f∈Φ（I，m，M）：k（x3-x1）≤f（x3）-f（x2）x3-x2-f（x2）-f（x1）x2-x1≤K（x3-x1），?x1

其中[m，M，k，K]都是常数，[0≤m≤1≤M，k≤K]。如果函数[f]是[Ω（I，m，M，k，K）]里的二阶可微函数，则[m

引理1   [Φ（I，m，M），Φhscv（I，m，M），Φhscc（I，m，M）]是[C（I）]中的紧凸集。

证明：文献［8］已经证明了[Φ（I，m，M）]是[C（I）]中的紧凸集。因此这里只证明[Φhscv（I，m，M），Φhscc（I，m，M）]。假设[f1，f2∈Φhscv（I，m，M）]且是模量分别为[c1，c2]，阶数为[σ1，σ2]的高阶强凸函数。令

[F（x）=tf1（x）+（1-t）f2（x），?x，y∈I，t∈[0，1]。]

则[F（0）=0，F（1）=1]且[0≤F（x）≤tf1（x）+（1-t）f2（x）≤1]，

并且，对[?x，y，x1≥y1∈I]有     [F（x）-F（y）=tf1（x）+（1-t）f2（x）-tf1（y）-（1-t）f2（y）≤tf1（x）-f1（y）+（1-t）f2（x）-f2（y）≤tMx-y+（1-t）Mx-y=Mx-y]      和

[F（x1）-F（y1）=t（f1（x1）-f1（y1））+（1-t）（f2（x1）-f2（y1））≥tm（x1-y1）+（1-t）m（x1-y1）=m（x1-y1）]

[F（αx+（1-α）y）=tf1（αx+（1-α）y）+（1-t）f2（αx+（1-α）y）≤t（αf1（x）+（1-α）f1（y）-c1α（1-α）x-yσ1）+（1-t）（αf2（x）+（1-α）f2（y）-c2α（1-α）x-yσ2）≤α（tf1（x）+（1-t）f2（x））+（1-α）（tf1（y）+（1-t）f2（y））-cα（1-α）x-yσ=αF（x）+（1-α）F（y）-cα（1-α）x-yσ，α∈[0，1]]

其中，[c=min[c1，c2]，σ=min[σ1，σ2]]，则[F]是模量为[c]，阶数为[σ]的高阶强凸函数，因此[Φhscv（I，m，M）]是一个凸集。容易看出[Φhscv（I，m，M）]是[C（I）]中的一个有界闭集且是等度连续的。由Ascoli-Arzela引理可知，[Φhscv（I，m，M）]是[C（I）]上的紧凸集。

同理可以证明[Φhscc（I，m，M）]也是[C（I）]上的紧凸集。证毕。

引理2［8］    假设[f，g∈Φ（I，m，M）]，其中[M≥1]，则下列不等式成立：

（i）[fk-gk≤j=0k-1Mjf-g，k∈Z+。]

（ii）[f-g≤Mf-1-g-1]。

引理3   设区间[I=[0，1]，]且[σ≥2]，则[Ω（I，m，M，k，K）]是[C（I）]中的紧凸集。

（i） 当[k>0]，则[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscv（I，m，M）]；

（ii） 当[K<0]，则[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscc（I，m，M）]。

证明：文献［5］中已证得[Ω（I，m，M，k，K）]是[C（I）]中的紧凸集。令[f∈Ω（I，m，M，k，K）]，

当[k>0]时，

[f（x2）≤x3-x2x3-x1f（x1）+x2-x1x3-x1f（x3）-kx3-x2x3-x1x2-x1x3-x1（x3-x1）2，?x1

对[?x，y∈I]（不失一般性，假设[x≤y]），[?t∈（0，1），]且[σ≥2，]由（2）式可知

[f（tx+（1-t）y）≤y-（tx+（1-t）y）y-xf（x）+（tx+（1-t）y）-xy-xf（y）-ky-（tx+（1-t）y）y-x（tx+（1-t）y）-xy-x（y-x）2=tf（x）+（1-t）f（y）-kt（1-t）（y-x）2≤tf（x）+（1-t）f（y）-kt（1-t）（y-x）σ]

由定义（1.2）可知，[f]为模是[k]的[σ]-高阶强凸函数，即

[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscv（I，m，M）。]

同理，当[K<0]时，

[x3-x2x3-x1f（x1）+x2-x1x3-x1f（x3）+（-K）x3-x2x3-x1x2-x1x3-x1（x3-x1）2≤f（x2），?x1

对[?x，y∈I]（不失一般性，假设[x≤y]），[?t∈（0，1），]且[σ≥2，]由（3）式可知

[f（tx+（1-t）y）≥y-（tx+（1-t）y）y-xf（x）+（tx+（1-t）y）-xy-xf（y）+（-K）y-（tx+（1-t）y）y-x（tx+（1-t）y）-xy-x（y-x）2=tf（x）+（1-t）f（y）+（-K）t（1-t）（y-x）2≥tf（x）+（1-t）f（y）+（-K）t（1-t）（y-x）σ]

因此[f]为模是[-K]的[σ]-高阶强凹函数，即[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscc（I， m，M）]。证毕。

引理4［5］  假设[fj∈Ω（I，mj，Mj，kj，Kj），]其中[Mj≥1≥mj≥0，Kj≥kj， j=1， 2]。则

当[k1≥0]时，

（i）若[k2≥0，]则[f2? f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1m2+k2m21，K1M2+K2M21）]；

（ii）若[K2≤0，]则[f2? f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1m2+k2M21，K1M2+K2m21）]。

当[K1≤0]时，

（iii）若[k2≥0，]则[f2?f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1M2+k2m21，K1m2+K2M21）]；

（iv）若[K2≤0，]则[f2?f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1M2+k2M21，K1m2+K2m21）]。

其中，[f1?f2]表示函数[f1]与函数[f2]的复合。

引理5［5］  令[f∈Ω（I，m，M，k，K），]其中[m≥0]。

则当[k≥0]时，

（i）[fj∈Ω（mj，Mj，ki=j-12（j-1）mi，Ki=j-12（j-1）Mi），?j=1，2，…;]

（ii）特别地，若[m>0，][f-1∈Ω（1M，1m，-Km3，-kM3）]。

当[K≤0]时，

（iii）[fj∈Ω（mj，Mj，ki=j-12（j-1）Mi，Ki=j-12（j-1）mi），?j=1，2，…;]

（iv）特别地，若[m>0，][f-1∈Ω（1M，1m，-KM3，-km3）]。

2     定理及证明

这一节将讨论方程（1）高阶强凸解的存在性、唯一性及连续依赖性。为此需要以下前提条件：

（H1）[λ1>0，]

（H2）[i=1nλi=1]，

（H3）[λ2>0，λi≥0，i=3，…，n]。

此外，为了计算方便，不妨设[m=0]。在此基础上，将有如下结论。

定理1    假设（H1）-（H3）都成立，[I=[0，1]，]且[σ≥2，][F∈Ω（I，0，M，k，K），]其中[M≥1，][K≥k>0]。 如果

[0<τ

其中[M1=i=1nλiMλ1i-1，][M2=j=1n-1λj+1i=j-12（j-1）Mλ1i，]则方程（1）有一个模为[τ]阶数为[σ]的高阶强凸解[f∈Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）]。

证明：定义映射[L： Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）→C（I）：]

[Lf（x）=λ1x+λ2f（x）+…+λnfn-1（x），?x∈I]

显然[Lf（0）=0， Lf（1）=1]， 且对[?x>y∈I，]有

[Lf（x）-Lf（y）=λ1x+λ2f（x）+…+λnfn-1（x）-（λ1y+λ2f（y）+…+λnfn-1（y））=λ1（x-y）+λ2（f（x）-f（y））+…+λn（fn-1（x）-fn-1（y））≥λ1（x-y），]

[Lf（x）-Lf（y）≤λ1+λ2Mλ1+…+λnMλ1n-1x-y=M1x-y，?x，y∈I]

由引理5（i）， 对[?x1

[Lf（x3）-Lf（x2）x3-x2-Lf（x2）-Lf（x1）x2-x1=λ1（x3-x2）+λ2（f（x3）-f（x2））+…+λn（fn-1（x3）-fn-1（x2））x3-x2-λ1（x2-x1）+λ2（f（x2）-f（x1））+…+λn（fn-1（x2）-fn-1（x1））x2-x1=λ2f（x3）-f（x2）x3-x2-f（x2）-f（x1）x2-x1+…+λnfn-1（x3）-fn-1（x2）x3-x2-fn-1（x2）-fn-1（x1）x2-x1≥τλ2（x3-x1）]

类似地，

[Lf（x3）-Lf（x2）x3-x2-Lf（x2）-Lf（x1）x2-x1≤λ2Kλ1（x3-x1）+…+λnKλ1i=n-22（n-2）Mλ1i（x3-x1）=Kλ1j=1n-1λj+1i=j-12（j-1）Mλ1i（x3-x1）=KM2λ1（x3-x1）]

因此，[Lf∈Ω（I，λ1，M1，τλ2，KM2λ1）]。由引理5（ii）有

[（Lf）-1∈Ω（I;1M1，1λ1，-KM2λ14，-τλ2M13）]

定义映射[Θ：Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）→C（I）;]即[Θf（x）=（Lf）-1?F]。由引理4（ii） 和（4）式可知，

[Θf（x）=（Lf）-1?F∈Ω（I;0，Mλ1，kM1-KM2M2λ14，Kλ1）?Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]

从而[Θ]是[Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]上的一个自映射。下证[Θ]是连续的。任取[f1，f2∈Ω（I;0，Mλ1，][τ，Kλ1）]，由引理2有

[Θf1-Θf2=（Lf1）-1?F-（Lf2）-1?F=（Lf1）-1-（Lf2）-1≤1λ1Lf1-Lf2≤1λ1j=1n-1λj+1f1j-f2j≤1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1if1-f2]

利用Schauder不动点定理，[Θ]有不动点[f∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1），]且[f]满足方程（1）。进一步，由引理3中（i）可知，[f]是（1）的模为[τ]的[σ]高阶强凸解。证毕。

定理2   假设定理1的条件成立且有

[j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1i<λ1]                     （5）

则方程（1）在[f∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]有唯一解，且该解连续依赖于给定函数[F]。

证明：由定理1的证明可知，

[Θf（x）-Θg（x）≤1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1if-g=ρf-g，]

其中[ρ=1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1i，]应用（5）式及Banach不动点定理可知该解是唯一的。

给定函数[F，G，]对应的算子为[Θ，Ξ]。即

[Θf=（Lf）-1?F，Ξg=（Lg）-1?G]

其中[f，g∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]为对应的不动点，则

[f-g=Θf-Ξg≤Θf-Θg+Θg-Ξg≤ρf-g+Θg-Ξg，]

即，

[f-g≤11-ρΘg-Ξg，]

由[Θ，Ξ]的定义可知，

[f-g≤1λ1（1-ρ）F-G]

这就证明了[f]关于[F]的依赖性。

3     结语

本文主要研究一类多项式型迭代方程的高阶强凸解的存在性、唯一性以及稳定性。在第二部分中，根据不动点法，利用Schauder不动点定理得到多项式型迭代方程（1）的高阶强凸解；又利用Banach不动点定理证明了方程（1）的解的唯一性以及该解连续依赖于给定函数F。

在本文研究过程中发现以下问题有待进一步研究。（1）本文研究了一类特殊的多项式型迭代方程的高阶强凸解问题，那么对于其他特殊情形的多项式型迭代方程是否也存在高阶强凸解？（2）对于此类多项式型迭代方程，是否可以讨论此方程下的其他类型的函数解？

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