几何画板辅助数学教学的必要性与具体措施的研究

施咏香

[ 摘 要 ]21世纪，教育信息技术化是所有教育工作者所达成的共识.将几何画板与初中数学教学有机地融合在一起是时代发展的需要，是新课标的需求，也是实际教学的需要.文章从“探究知识形成过程，发展数学思维”“揭示图形变化规律，感知数量关系”“动态演示数学问题，简化问题难度”三方面具体谈论如何将几何画板应用在数学教学中.

[ 关键词 ]几何画板；数学思维；信息技术

从20世纪90年代起，一些经济、教育发达国家率先在教育教学领域植入信息技术手段，有效提高了课堂教学实效.近年，我国的教育信息化呈破竹之势悄然崛起，几何画板的应用对提高数学教学效率有绝对的优势.为了让几何画板更好地为数学课堂教学服务，笔者对此进行了大量的研究，取得了一定的成效.

几何画板应用的必要性

1.时代发展的需要

随着时代的发展，现代化的信息技术已经渗透到人类生活的各个领域，它为我们创造了通过不同的方式认识、了解与改变世界的可能.数学教育也应跟上时代的步伐.几何画板作为一种重要的教学辅助工具，能将抽象的数学内容转化成直观可视的图象，降低思维的起点，让学生能更好地理解教学内容[1].

几何画板的操作简便，广大师生能快速掌握其操作要领.如今，不少一线教师借助几何画板创作课件，取得了非常好的成效.据此，不难看出教育的发展与社会的发展是一致的.几何画板的应用是时代发展的需要，也是促进学生成长的重要方式.

2.新课标的需求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确提出：教师可以利用信息技术对文本、图象、声音、动画等进行综合处理，丰富教学场景，激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望.这句话不仅强调了信息技术对教学的影响，还鼓励教师将信息技术的优势应用在数学课堂中，让学生能借助先进的设备、设施提高学习效率.

新课标还强调要发挥信息技术的育人功能，要求教师处理好知识传授与能力培养之间的关系，让学生能应用先进的信息技术手段应对千变万化的问题，形成自身的技能.几何画板作为数学教学的重要辅助工具之一，能满足新课标所提出的要求，对促进教学相长具有重要价值与意义.

3.实际教学的需要

经过一段时间的调查研究，笔者发现当前一些教师在实际教学中仍存在一些不足，如难以将抽象的几何内容呈现出来.对初中生而言，他们的抽象思维能力有限，空间想象力不够，难以理解一些运动变化的关系，这就为学习带来了困难.有些教师为了改善这种情况，将各种图形借助课件进行展示，但这些图并不会动，学生难以从根本上理解其本质.

教师因缺乏应用几何画板的习惯，导致呈现的图都是“死图”，学生难以对教学内容形成直观形象的认识.想要突破这一现象，就要利用好几何画板这一工具，让学生在简单直观中感知数学知识的趣味性.当然，这也是从传统纸笔教学上升到技术应用的重要突破.

几何画板辅助教学的具体措施

1.探究知识形成过程，发展数学思维

新课标着重强调数学教学要凸显出知识的形成与发展过程，几何画板的应用可再现概念、定理等的形成，深化学生的理解程度.教学中，教师可指导学生应用几何画板进行动手操作，通过对一些现象的观察、度量、统计与分析，发现蕴含的规律，为概念的抽象奠定基础.

这种教学模式打破了传统“教师讲授—练习训练—测试讲评”的模式，形成了“呈现问题—实验操作—观察猜想—验证—应用”的新型探究式学习模式.这一教学模式凸显了学生在课堂中的主体地位，每个环节都由学生自主思考、交流而完成，教师只起到引导的作用.

因此，几何画板的介入是促使课堂转型的重要契机，学生在自主操作、思考中激活思维，开阔眼界，提升素养.

案例1 “平行线分线段成比例定理”的教学.

本节课的难度较大，对学生的思维要求较高.若采用“注入式”的教学模式，则难以让学生从根本上掌握知识本质，而让学生亲自动手测量、观察、计算与总结，又会耗费大量的时间与精力，这就给教学带来了难度.研究发现，对于本节课，借助几何画板进行授课，既能避开亲自动手操作所耗费时间太多的问题，又能让学生经历完整的探究过程，能激发学生的研究兴趣，帮助学生建构新知，形成长时记忆.

问题 如图1，已知l1∥l2∥l3，分别求出AB∶BC，DE∶EF.

如图1，应用几何画板作出符合问题条件的图形，拖动平行线与截线的位置，并借助测量与计算功能来观察变化过程中数据的情况.

观察发现，只要不改变平行的关系，不论截线的位置怎样变化，待求结论的两组比的值均恒等不变.因为是从直观上观察到的结论，所以学生更容易理解，记忆起来也更加牢固、深刻.

继续操作几何画板，改变原图形，使得点A，D重合在一起，发现以上结论依然成立；再次改变图形，使得点B，E重合在一起，以上结论同样成立；隐藏l1，l2，l3，发现以上结论还是成立的.

以上探究过程，由学生自主操作、观察、体验、获得结论，虽然用时不长，收获却不少.显然，几何画板的应用打开了几何教学之门，让学生通过简便的操作就发现这个问题的结论与图形的变化并没有关系.图形变化规律在几何画板的辅助下自然呈现，由此带给学生愉悦的学习体验.

苏霍姆林斯基认为，每个人的内心深处，都希望自己是一个发现者、研究者与探索者，这是一种根深蒂固的需要，尤其是在儿童的内心深处，这种需要更强烈.强烈的求知欲与趣味横生的探究过程，不仅让学生体验到了数学学习的乐趣，还有效启发了学生的思维.

2.揭示图形变化规律，感知数量关系

在运动过程中保持给定的几何关系是几何画板的重要功能，这种功能将图形的变化规律完整地表示了出来，能让学生从直观可视的效果中感知图形各个量之间存在怎样的数量关系.因此，几何画板的应用，不仅为学生提供了别样的视觉盛宴，更为数学教学提供了技术支持.

案例2 “三角形”的解题教学.

问题 已知△ABC与△CDE均为等边三角形.（1）如果点B，C，D位于同一直线上，那么AD与BE的长度相等吗？（2）将△CDE围绕点C旋转大于0°小于360°后，AD与BE的长度相等吗？

对于本题，若自己作图思考，从初中生的认知水平来说，很难一次就弄明白.而借助几何画板的演示功能，则能将图动态地展示出来.学生通过对直观化的图形的观察，即可发现结论正确与否.

几何画板呈现出的情形为：如图2，不论将△CDE按照题设条件围绕点C怎样旋转（除了点A，C，D在一条直线上这种情况），△BCE与△ACD恒为全等的关系，因此AD与BE的长度也是恒等不变的关系.

几何画板的介入成功地激发了学生的探索欲，让学生在图形的动态演示中获得了问题的结论，并感知到几何画板是探索几何图形之间关系的重要辅助工具.

为了让学生通过几何画板更好地感知几何图形间的数量关系，教师可在此处加以变式，以拓宽学生的思维，让学生进一步感受知识的宽度与深度，也体验几何画板对数学学习的便利.

变式 如图3，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形.

（1）若点A，C，E位于同一条直线上，那么AD与BE相等吗？

（2）倘若将△CBE围绕点C旋转一定的角度，那么AD与BE相等吗？

学生自主操作几何画板，很快就发现这个问题的条件虽然发生了变化，但与原题竟然惊人的相似.当学生作图并按照题设条件旋转图形时，发现本题很简单.

学生的兴奋之情溢于言表，几何画板的应用让原本枯燥乏味的问题变得灵动且富有生命力，活跃了课堂气氛的同时，起到了激趣启思的作用.

3.动态演示数学问题，简化问题难度

一些学生觉得初中数学难，究竟难在何处呢？调查发现，学生所谓的难，基本都在于难以理解知识的推理过程，尤其是动态几何中的轨迹问题成了部分学生的“死穴”.科学、合理地应用几何画板来作图，可让学生在动态演示下追踪到图形的轨迹，简化复杂的图形形成过程以及知识的推导过程，有效突破学生思维的障碍点[2].

借助几何画板动态演示数学问题一般有如下两类：

第一类，应用几何画板展示几何图形的运动或变化，也就是让学生从图形某一元素的变化中获得函数模型.解决这类问题的重点在于将动态的问题转化成静止的问题，常见的有点动、线动、面动、平移、旋转、翻折问题等.

第二类，用动态的观念来分析与解决几何问题，探索几何图形在运动时伴随图形位置与数量关系“变”与“不变”的特性.这一类型包括用动态的观念进行猜想、验证，获得结论的过程.

解决动态几何问题的关键，在于从理论知识出发，借助几何画板的工具性功能，在动静结合中发现解决问题的关键.这与分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等有着密不可分的联系.

案例3 “动点问题”的教学.

问题 如图4，已知四边形ABCD为一个菱形，其中AB = 4，∠ ABC = 60°，E为AB边上的一个动点，如果过点B作直线EC的垂线， F为垂足，求点E从点A运动到点B时，点F的运动路径的长度.

想要求点F的运动路径的长度，首先要明确点F的运动轨迹，这也是学生思维的障碍点.通过纸笔画图，学生很难从真正意义上理解它的运动轨迹，但借助几何画板的动态演示功能，可将图形的变化过程以及点F的运动轨迹直观、完整地展示出来.

从学生认知发展的规律来看，学习者在学习开始阶段只是一名参与者，而后通过对事件的观察与分析，可抽象出事件的数学符号，从而更加有效地参与具体的教学活动.此为教育与心理的理论基础，也是将几何画板融合到教学中的重要依据.因此，几何画板的动态演示功能不仅能简化问题的难度，更重要的是能促进学生认知的发展，为建构完整的认知体系奠定基础.

总之，将信息技术与数学教学深度融合势在必行，几何画板的各种功能与优势突破了传统教学的静止状态，为课堂添加了更多灵性与智慧，为学生的学习提供了更多便利.几何画板的介入体现了数学课堂的活力与生命力，这是一种自由、开放、智慧的数学美.

参考文献：

[1]陶维林.几何画板新版特色与实用技巧[M].北京：清华大学出版社，2003.

[2]刘胜利.21世纪高等教育院校教材“几何画板”课件制作教程（第三版）[M] .北京：科学出版社，2010.