抓住基准点，找准触发点，培植发散点

陈纪韦华 黄玉霞

[ 摘 要 ]文章针对福建省中考中的两道试题进行剖析，抓住素养培育的基准点，继而挖掘同类型试题的特征，找准思维的触发点，探索思路，形成方法体系，并基于逻辑推理，培植发散点，促进学生形成几何推理的思路、方法，发展核心素养.

[ 关键词 ]推理能力；核心素养；试题解法；提出新问题

基金项目：2022年度福建省教育科学“十四五”规划专项课题“基于数学阅读的初中数学‘读思达课堂建构研究”（Fjxczx22-131）.

在中学解题教学中，如何提出问题，分析问题，解决问题，并系统化问题来突出知识主线，如何挖掘试题蕴含的高层次的数学思想方法来归纳方法暗线，如何理解试题本质构建一系列问题结构来提升素养明线，是数学教师们孜孜不倦研究的重要内容.特别是在平面几何的教学中，理应利用有意义且不复杂的试题启发学生，示之以思维之道，筑牢研究平面几何问题的基本方法和思维体系，一以贯之地培养学生重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质和理性精神，以此提升学生的推理能力.下面，本文以2020年福建省中考第23题和2021年福建省中考第22题为例，阐述这方面的思考.

抓住基准点：立足本质，聚焦素养

例1 （2020年福建中考第23题）如图1，C为线段AB外一点.

（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图2，在（1）中的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上.

例2 （2021年福建中考第22题）如图3，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A.

（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图4，设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点G.

这两道中考试题的位置分别位于整卷的第23题和第22题，整卷共25题，与尺规作图相结合，属于中档题.两题的第（2）问是典型的综合几何题，通过证明“共线点”和“共点线”，考查推理能力、空间想象、几何直观、化归与转化思想等.“共线点”和“共点线”是射影几何学中的常见问题，是研究射影变换下的不变性，在数学竞赛中常见，然而在其他各地市的中考中并不常见，可谓独树一帜.近五年福建省的中考题为何连续考查“共线点”和“共点线”？其命题意图何在？

1.回归教材，追本溯源

一道好的中考试题往往能从课本中找到其影子.如下题，人教版教材八下第62页，习题18.2第16题：

例3 如图5，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

2.强调对几何本质的考查

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，初中阶段，学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形，从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.直线是基本几何图形，要通过刻画直线直的形状特征来研究直线的性质，课本首先介绍两点确定一条直线这一基本事实，然后通过对直线的命名（直线AB或直线BA）来说明直线的构成要素以及可以向两边无限延伸来说明直线的方向，最后通过点在直线上（点在直线外）、直线过点（直线不过点），及三点共线（三点不共线），来说明直线构成元素之间的关系，刻画了直线的直.因此，“共线点”“共点线”问题就是几何的平直性问题，证明“共线点”“共点线”是考查直线的性质、点与直线的位置关系，是考查几何的对称性和平直性，是对几何图形最本质的考查，是关注推理能力中“逻辑起点”的考查.

3.传递推理能力的育人价值

例1和例2作为中考试卷的中档题，不在图形辅助线处设置难点是合适的，重点考查推理能力中“探索并表述论证过程”“初步形成逻辑表达与交流的习惯”.共线点和共点线的证明方法具有多样性和系统性，解决过程考查学生是否理解来龙去脉和能否有序分析思考脉络，例如问题是怎样产生和提出的，结论是怎样猜测和探索的，证明的思路是怎样形成的，以及试题结论的本质意义和方法怎样应用于同类试题，反映了学生思维的发散性、灵活性、有序性、系统性和深刻性，而这一切都和推理能力相关.其传递的育人价值是有助于养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度和理性精神.

找准触发点：探索思路，厘清网络

基于学生已有的认知或有关联的数学试题，把握问题中条件与条件、条件与结论之间的关联，选择适切的思维切入点，指导学生对论证思路进行深度分析，据此形成论证思路，学会逻辑地思考问题和数学地表达交流.下文以例2的解答为例.

从问题结论入手，如何证明三线共点？

第一类证明的方法：将三线共点化归为如何证明三点共线.化归是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种方法.

2.利用一点在另外两点所成的直线上证明三点共线

①可以用同一法证明点在直线上.同一法是间接证法的一种，用同一法证明的一般步骤是先作出符合结论特性的图形，再证明所作的图形符合已知条件，最后推证出所作图形与已知为同一图形.

还可以用如下的同一法证明.

法三：设直线AD与BC相交于点G，问题“直线AD，BC，PQ相交于点G”转化为证明点G，Q，P共线.如图9，连接DP，CP，连接PG交CD于点Q.在Rt△GAB中，点D，C，P分别为边AG，BG，AB的中点，故DP，CP为△GAB的中位线，则CP∥DG，DP∥CG.故四边形DPCG为平行四边形.又对角线PG，CD相交于点Q，故DQ = CQ.又Q为CD的中点，故点Q与Q重合，即点G，Q，P共线.因此直线AD，BC，PQ相交于同一点.

用同一法证明三点共线时，法二、法三是引入新点，证明该点与三点中的某点重合，即同一点.法四、法五是引入新线，可用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”或“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”等定理，证明同一线，即重合法.

②还可以用解析法证明一点在另外两点所在的直线上.

第二类证明的方法：可以利用一些定理（例如塞瓦定理、蒙日定理、梅涅劳斯定理、西姆松定理、帕斯卡定理、张角定理等）直接证明三线共点或三点共线，这些定理属于竞赛内容或者高等几何内容，本文不做讨论.

构建知识体系，整体把握知识的来龙去脉，抓住问题的本质，是反映推理能力水平的重要方面.共线点、共点线问题考查几何的本源性、方法的多样性，因此教师要引导学生对试题进一步分析、归纳，建立解决问题的网状知识结构，且在具体的、不同情境下的问题解决过程中，最适宜思路的形成，而证明言语的书写不拖沓、不重复，观点明确，论述有理有据，也体现着推理水平的差异.

培植发散点：基于逻辑推理提出新问题

1.条件与结论互换

演绎推理是必然性推理，能证明结论，归纳、类比推理是或然性推理，能发现结论，做出猜想，逻辑推理的水平以归纳、类比和演绎两类推理形式体现出来.在对图形性质进行研究时，也往往以归纳、类比的形式思考图形的判定.对于例1和例2，考虑其易位变形，可将题中的条件部分所含的事项与结论互易位置，从而得到逆命题，合情推理其正确与否并证明有助于对原试题进行深刻理解.

2.改变题目背景

可在背景材料、表达方式、问题设置等方面改头换面，赋予试题以新貌、新意、新质.将例2中的条件“P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点”进行适当隐藏，可以得到如下变式：如图14，点E，F分别为菱形ABCD的边AB，BC的中点，连接EF，AC，BD.

（1）G为边AD上靠近点D的一点，求作GH∥AC交CD于点H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的基础上，连接EG，FH，求证：直线EG，BD，FH相交于同一点.

3.用向量工具对“共线点”“共点线”进行再研究

培养逻辑推理时要关注数学表达与交流，要注意各水平的不同要求以及水平的逐步提高.对于同一个问题、同一个研究对象，要注意不同数学语言的表述、不同数学工具的刻画.而且在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这有利于站在新的高度重新审视研究对象，加深对数学对象的认识，并有所发现.向量集数与形于一身，每一种向量运算都与相应的几何图形性质有密切联系，因此利用向量运算研究“共线点”“共点线”问题会更加方便、简洁.例如，对于例2，可以略去更多非核心条件，利用向量来证明：如图15，在四边形ABCD中，AB∥CD，P，Q分别为四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点G.

上述证明仅仅用到了三角形回路和向量运算，而且证明过程是程序化的，充分体现了向量运算的作用，解法简单.一道好的试题应既有教材的“前传”，又有后续学习的“后传”，既有迹可循，又连绵不绝.“共线点”“共点线”问题在高中利用向量工具会再进一步探究，例如用向量研究三角形的性质.可见“共线点”“共点线”问题的生命力持久，从中也更能体会中考试题传递“有利于学生后续学习发展需要”的命题理念.

结束语

高效、深度的中考复习需要教师有良好的解题教学习惯.特别是在中考二轮复习时，经常采用“小专题复习”的教学形式，根据具体的教学目标，抓住基准点，将具有共同特征的某一类问题确定为关键教学点，并梳理其中的重点、难点、核心关节处，找准触发点，设计成一个个教学问题串，有序地层层递进，培植发散点，以期专题专练、专题专得，问一问“你认为解这类题目的一般步骤是什么”“还有不同的方法吗”“你是怎么想到的”.这样的教学方式，能帮助学生构建知识和方法体系，既见树木又见森林，触类旁通，举一反三，使学生思想通、方法熟、原理透、概念清，从而真正培养学生的数学核心素养.