探究初中数学几何综合试题的多种解法与教学启示

闫百合

【摘要】随着新课程改革的不断深入，初中数学教学越来越注重对学生能力的培养.在初中数学教学中，几何综合试题是重要的考查内容.因为几何综合试题可以考查学生对各种概念、性质、法则等内容的掌握情况，所以教师在进行几何综合试题的解答时需要根据学生实际情况进行分析，然后采取相应的措施，引导学生掌握解答几何综合试题所需要用到的解题方法.解答初中数学几何综合试题不仅需要学生掌握多种解题方法，还需要学生能灵活运用这些不同的解法.在实际教学中教师要引导学生掌握解答几何综合试题所需要用到的基本解题思路和方法，从而提高学生解答几何综合试题的能力.

【关键词】初中数学；综合试题；解题技巧

1 问题与分析

根据图1，我们可以看出，在平面直角坐标系里，A（-1，0）和B（0，2）是已知的.△ABO通过沿着直线AB折叠，我们可以得到△ABC.假设反比例函数y=kx（k≠0）的图象需要经过点C，那么k=（  ）

此问题涵盖了反比例函数在平面直角坐标系中的应用，并且还涉及几何领域的轴对称性.这是一个关于函数和几何两个独立的学科的经典综合问答.解题的基本思路相当明确，也就是要从“数与形”的角度出发，首先要找到C点的坐标，然后把它用到反比例函数的分析公式中，然后得到待定系数的数值，这里面包含了一些重要的数学思想方法，比如等价转换、方程（组）.

2 多解与点评

解析1

在点N处，CN⊥y轴，设C的坐标为（-a，b），我们可以看出：当A（-1，0），B（0，2）的情况下，OA=1，OB=2.由此，我们能够计算出AM=a-1，BN=2-b，并且对这些图形进行了折叠.得到AC=OA=1，BC=OB=2，在Rt△ACM中，可以得出CM2+AM2=AC2，对此便可以知道b2+（a－1）2=1，也就是a2+b2－2a=0，①

在Rt△BCN中，BN2+CN2=BC2，由此可得出，（2－b）2+a2=22，也就是a2+b2－4b=0，②

通过对①-②得出2a=4b，也就是a=2b，将其代入上述公式①中，便可以解出正确答案，即b=45或者0（0舍弃），所以得出a=85，由此便可以得知点C的坐标为（－85，45）.又因为反比例函数为y=kx，并且过点C，所以k=－3225.

点评

其中，代数方法是主要的，几何方法是辅助的，而对于平面几何中的翻折变换和它的性质，却很少使用，主要是通过勾股定理，获得反比例函数的图象，并根据图象的对称性，得出正确的答案.将问题转化为解方程组：a2+b2－2a=0a2+b2－4b=0.

虽然上述的方程是二元二次方程，并且它利用了等式的特性和“整体代入”的理念，能够较好地解决问题，但是从方程组的知识角度来看，它已经超出了7～9年级“课标”的教学标准.因此，用“超标”来解决一道填空题，实际上是不太划算的.

解析2

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此（2－2a）2+a2=1，从而便可以从中得到以下相关的有效解答方法：

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此可以得到（2－2a）2+a2=1，也就是5a2－8a+3=0，进而求得a=35和a =1（不符合题意，对此应当舍弃），对此应当知道b=45，所以便可以知道点C的坐标为（－85，45），结合相关公式便可以知道k的值.

点评

以上的方法都是以几何方法为主，代数方法为辅.这些方法利用了翻折图的特点，利用类似三角形的判断与性质，得到 BN=2 AM，CN=2 CM，然后利用勾股定理以及线与线之间的等价关系，分别建立一元二次和二元一次方程，然后通过求解 AM和CM的长度，就可以轻松地得到点C的坐标，并且比以前的方法更加简便.另外，我们还可以看到，充分挖掘题目中几何图形的特性，更多地利用几何思想去理解直线与直线之间的联系，并将其与代数方法相结合，可以极大地减少求解过程中的计算量.由此可见，充分发掘图形自身的几何关系，对于此类代数几何综合问题的求解具有极大的方便作用，突出了综合考查学生对知识的灵活应用的解题意义.

3 对复习课教学的启示

3.1 精选例题练习试题，突出数学本质

为了减轻初三数学复习课的教学负担，教师要精选例题练习试题，突出数学本质.几何综合试题在中考试卷中占有较大比重，同时也是学生普遍感到难度较大的试题，所以，教师在平时教学中就应该引导学生善于从不同角度分析几何综合试题的特点，研究其中的重点、难点.比如在学习完圆的概念和性质后，可以让学生通过圆与直线、圆与圆、圆与方程之间的关系等知识之间的相互联系进行分析和讨论.这样既能使学生掌握数学思想方法，又能加深学生对所学知识的理解.

3.2 强化数形结合思想训练

在初中数学教学中，数形结合思想是数学教学中一种重要的思维方法和手段.它主要是将数学问题中包含的图形、符号、文字等因素转化为几何图形或几何符号来进行分析和解决.比如在解决函数与几何综合试题时可以将函数问题中涉及的图形或符号转化成几何图形来进行分析和解决.也就是说，在解决几何综合试题时可以利用数形结合思想对几何问题进行分析和解决.

4 结语

几何综合试题的解题方法多种多样，在教学过程中，教师要让学生充分地思考、探究，从而激发他们学习的兴趣，让他们在学习的过程中获得成就感和满足感.此外，教师要引导学生养成良好的学习习惯，培养学生良好的学习品质，提升学生的数学素养.在几何综合试题的教学过程中，教师要引导学生充分地思考、探究，从而培养他们的数学思维能力和逻辑推理能力.教师要培养学生良好的数学学习品质和数学素养，帮助学生形成数学学科思想方法，为他们后续的学习奠定良好基础.

参考文献：

［1］陆军.初中数学几何题的解题方法［J］.数理天地（初中版），2023（21）：28-29.

［2］李香，杨新芳，杨斐.试论在初中数学几何教学中培养“学生空间思维能力”的策略［J］.中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），2023（08）：80-83.

［3］黄启杰.初中数学几何问题的解题技巧分析［J］.数理天地（初中版），2023（13）：2-3.

［4］孟祥静，朱航.2009年中考数学试题分类解析（三）——函数［J］.中国数学教育，2010（Z1）：35-42+63.

［5］余小燕.初中数学总复习的几点尝试和体会［J］.考试周刊，2007（31）：50-51.