老师，为什么可以这样求最大公因数

蒋世雷 张宇琼

［摘  要］ 在小学数学教学中部分教师过分关注知识“是什么”和“怎么做”，较少关注“为什么”。教师只有深入研读课标和教材，把握数学的本质，强化对数学本质的理解，弄清知识的来龙去脉，基于数学理解进行教学设计，才能取得理想的教学效果。

［关键词］ 最大公因数；数学理解；教学设计

一、学生的疑问：老师，为什么可以这样求最大公因数

近日，笔者观摩了一名青年教师执教“最大公因数”的公开课（内容见图1）。在教学中，笔者发现这名教师没有深研教材编写者的意图，而是机械地教学：先用12和30的公因数2去除12和30；然后用公因数3去除，一直除到商2和5只有公因数1（即商是互质数）为止；最后把所有的除数2和3连乘起来，就得到12和30的最大公因数是2×3＝6。教师通过大量的练习引导学生遵照这个方法去做，让绝大部分学生掌握求两个数的最大公因数的方法。

课后笔者正准备与这名教师交流，不料有个学生拿着数学教材走了过来，向他请教：“老师，今天的课我知道了怎么用短除法来求两个数的最大公因数，但我有个疑问：为什么可以这样求最大公因数呢？”

见此情形，笔者不禁莞尔一笑：这个孩子真不简单！因为他知道数学学习不仅要“知其然”，还要”知其所以然”。

二、我们的追问：为什么要重视理解

虽然课改已实施多年，但在教学实践中，特别是在计算、几何等领域的教学中，部分数学教师受传统教育的影响过度强调对定义、定理、法则、公式的灌输与记忆，不太注重对这些概念、知识的发生、发展、运用过程的揭示与解释，造成部分学生只会根据“法则”来进行计算，只会根据“模型”来解决问题，但不理解为什么可以这样做。这样的现象常常发生在一节课的新授环节，教师过分关注知识“是什么”和“怎么做”，较少关注“为什么”，更不用说基于学生实际去关注“还可以怎么做”和“为什么还可以这样做”。即使部分教师关注“为什么”，常常也是浅尝辄止，留给学生动脑思考、理解、消化的时间很少，而是腾出更多时间来做大量的练习，其中不乏机械式、模仿式的练习。这从表面上来看，教师好像完成了一节课既定的教学任务，学生“掌握”得也不错，显得非常“高效”。但实质上，学生理解不透彻，只会“按部就班”“依样画葫芦”，一遇到稍微有点变化的问题就手足无措，不知从何下手，显然这是一种“伪高效”。

英国学者斯根普认为，数学学习通常有两种理解方式：工具性理解和关系性理解。工具性理解是指一种语义性理解，比如符号A所指代的事物是什么，或指一种程序性理解；一个规则R所指定的每一个步骤是什么、如何操作。简言之，工具性理解就是按照语词的本意和计算程序进行操作，即只知是什么或怎么做，不知为什么。关系性理解则需要学习者认识知识意义和替代物的结构，获得概念和规律（定律、定理、公式、法则等），以及规则本身所具有的逻辑依据等。简言之，学习者不仅要知道是什么和怎么做，而且要知道为什么可以这样做和还可以怎样做。

因此，在教学中教师不仅要让学生“知其然”，还要让学生“知其所以然”，即注重强化学生对知识的真正理解。基于此，教师有必要在课堂教学中对学生的数学理解进行深入研究，以真正达到教学的有效和高效。

三、教师的对策：基于数学理解的教学设计

在实际的调研过程中，笔者发现：大部分教师虽然认识到数学理解的重要性，但面对“如何深刻理解数学的本质”“如何进行有深度的体现‘数学味的教学设计”“如何构建基于数学理解的有效课堂”等问题，仍存在许多困惑。下面笔者以“最大公因数”一课的教学为例，谈谈个人的一点看法。

求两个数的最大公因数一般用短除法。西南大学版教材通过列举出12和30的所有因数，找到12和30的公因数和最大公因数，通过例子指出可以像这样用短除法求最大公因数（如图1）：先用12和30的公因数2去除，再用公因数3去除，一直除到商2和5只有公因数1为止（即商是互质数为止），然后把公因数2和3乘起来就是它们的最大公因数。为什么可以这样求两个数的最大公因数呢？笔者认为，关键问题在于要引导学生发现：两个数的最大公因数等于这两个数公有的质因数的乘积。发现了这一规律后，学生就会理解求两个数的最大公因数，关键就是找到这两个数公有的质因数，然后把公有的质因数乘起来，就能求出它们的最大公因数。同时，数学讲求简捷，在比较中改进，从而得到更简便的用短除法求最大公因数的方法。

为此，笔者在教学中对本环节教学进行了改进。

1.用列举法找到两个数的最大公因数，理解什么是公因数和最大公因数

教学片段1：

出示例题，学生齐读例题：一张长30cm、宽12cm的长方形纸，剪成大小相等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？

师：想一想这个正方形的边长与长方形的长和宽有什么关系？

生1：这个正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数。

师：大家同意吗？

生（齐声答）：同意。

师：那么求这个正方形的边长最大是多少厘米，实际上就是求什么？

生1：实际上是求既是长的因数又是宽的因数中最大的一个。

师：你们准备怎么找到既是长的因数又是宽的因数中最大的一个？

生2：可以把长的所有因数和宽的所有因数列举出来，再圈出它们公有的因数，从而找到它们公有的因数中最大的一个。

师：请同学们就用生2说的方法找一找。

学生自己列举出12和30的因数，再找出它们公有的因数和最大的一个公有的因数后进行汇报。

师：谁找到了？上台来给大家说说。

生3（上台边板书边汇报）：我发现12的因数有1，2，3，4，6，12；30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。所以12和30公有的因数有1，2，3，6。最大的一个是6，所以这个正方形的边长最大是6厘米。

师：大家同意吗？

生（齐声答）：同意。

师（出示课件，如图2）：通过刚才的活动，同学们用列举法先分别列举出12和30各自的因数，找到了它们公有的因数有1，2，3，6。最大的一个是6，所以这个正方形的边长最大是6厘米。

师（出示课件）：1，2，3，6是12和30公有的因数，叫作12和30的公因数。其中6 是最大的一个公因数，叫作它们的最大公因数。来，我们一齐读一读。

2. 用分解质因数法找到规律：两个数的最大公因数等于这两个数的公有的质因数的乘积

教学片段2：

师：刚才，我们用列举法找到了两个数的最大公因数。那么这两个数和它们的最大公因数究竟有什么关系呢？下面我们一起来做进一步的研究。

请同学们将12、30和它们的最大公因数6分别分解质因数，你有什么发现？

生4：我先把12、30和它们的最大公因数6分别分解质因数，发现12和30都有质因数2和3，而把它们乘起来，就可以得到这两个数的最大公因数6。

师（课件梳理，如图3）：同学们的发现真不错！把12、30和它们的最大公因数6分别分解质因数，发现12和30都有质因数2和3，而把它们乘起来，就可以得到这两个数的最大公因数6。

师：是不是所有的两个数的最大公因数都等于这两个数的公有的质因数的乘积呢？接下来，我们通过两组数来验证。

出示活动要求：研究两个数的最大公因数都等于这两个数的公有的质因数的乘积吗？

第1组数：12和18；第2组数：20和30。

（1）任选一组数，用列举法找出这两个数的最大公因数。

（2）将这两个数和它们的最大公因数分解质因数。

（3）我的结论是（       ）。

学生研究后汇报。

生5：我研究的是第1组数，12的因数有1，2，3，4，6，12；18的因数有1，2，3，6，9，18。12和18的最大公因数是6。将12、18和它们的最大公因数6分解质因数，12=2×3×2，18=2×3×3，6=2×3。我发现：两个数的最大公因数等于这两个数的公有的质因数的乘积。

生6：我研究的是第2组数，20的因数有1，2，4，5，10，20；30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。20和30的最大公因数是10。将20、30和它们的最大公因数10分解质因数，20= 2×2×5，30=2×3×5，10=2×5。我发现：两个数的最大公因数等于这两个数的公有的质因数的乘积。

师（课件梳理，如图4）：同学们的表现真不错！我们选取了两组数，先用列举法找出这两个数的最大公因数，然后将这两个数和它们的最大公因数分解质因数。发现：两个数的最大公因数的确等于这两个数的公有的质因数的乘积。

3.用分解质因数法求两个数的最大公因数

教学片段3：

师：既然两个数的最大公因数等于这两个数的公有的质因数的乘积，那么求两个数的最大公因数，除了用列举法外，还可以怎么求？

生7：可以将这两个数分解质因数，找到它们公有的质因数，把公有的质因数乘起来，就是它们的最大公因数。

师：来，我们一起用短除法做一做，先把12和30分解质因数，找到它们公有的质因数2和3，然后把2和3乘起来，就得到12和30的最大公因数是6（如图5）。

4. 将分解质因数法改进为短除法

教学片段4：

师：刚才，我们用短除法分别将12和30分解质因数，求出了它们的最大公因数。但是数学要讲求简捷，我们可以将两个短除式合并在一起，像下面这样求两个数的最大公因数。（出示下面的短除式，如图6）

先用公有质因数2去除…… 2   12  30

再用公有质因数3去除……   3  6  15

2   5

12和30的最大公因数是2×3=6。

师：同学们能看懂吗？谁来给大家介绍介绍？

生8：把12和30并排写在一起，先用它们公有的质因数2去除，12除以2得6，30除以2得15；然后用它们公有的质因数3去除，6除以3得2，15除以3得5，2和5没有公有的质因数，到此为止。把它们公有的因数乘起来2×3=6，就找到了12和30的最大公因数。

5. 比较3种方法，选择自己喜欢的方法并说明原因

改进教学后，学生掌握了3种找两个数的最大公因数的方法，对3种方法之间的联系理解得比较深刻，也对找两个数的最大公因数时“为什么一般要用短除法”“为什么可以这样用短除法”的理解比较透彻，同时对最大公因数的来龙去脉一清二楚。在后面的最小公倍数教学中，教师也可以利用最大公因数的学习经验和方法进行教学，真正达到让学生“知其然”且“知其所以然”的目的。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教学建议”中明确要求教学要“整体把握教学内容”“注重教学内容的结构化”，即在教学中重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。教师既要了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图；又要强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。通过合适的主题整合教学内容，能帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

因此，在小学数学教学中，教师只有深入研读课标和教材，把握数学本质，强化对数学本质的理解，弄清知识的来龙去脉，适度整合教学素材，基于数学理解进行教学设计，才能取得理想的教学效果。