“平面直角坐标系中的直线”单元复习教学实录

2024-06-23武祥甲

中学数学·高中版 2024年6期

武祥甲

本节课是上教版选择性必修第一册第1章“平面直角坐标系中的直线”的复习课.本章中学生学习了直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系，点到直线的距离等知识.本节课将对整章的知识进行梳理，形成知识网络；对重点知识加以复习巩固，加深学生的理解；结合实例渗透数形结合、转化与化归的方法和解析几何的基本思想，发展逻辑推理、直观想象和数学运算素养.

1 教学分析

1.1 学情分析

本节课所授班级学生处于区内中等偏下水平，虽然已经学习了直线的倾斜角与斜率、直线的方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离，但学生的知识点是零散的，知识系统还未形成.

1.2 教学目标

（1）通过复习直线的倾斜角与斜率的相关基础知识，推导出直线的点斜式方程、点方向式方程、点法式方程，进一步体会“确定直线点与向，方程各异本一样”.

（2）结合实例，巩固对直线的倾斜角、斜率概念的理解，根据题目特点选择适当的直线方程求解问题，灵活运用两条直线的夹角公式、点到直线的距离公式，体会数形结合、转化与化归的数学思想，发展逻辑推理、直观想象和数学运算素养.

1.3 教学重点及学习难点

教学重点：通过梳理本章知识点形成知识体系，使学生感受相关数学思想方法.

学习难点：能根据不同的条件设直线方程，并合理选择运算方法解决问题.

2 教学过程

2.1 复习基础构建知识网络——由厚到薄

师：前几节课我们学习了直线的倾斜角与斜率、直线的方程、两条直线的位置关系和点到直线的距离，今天一起来复习平面直角坐标系中的直线.那怎么样确定一条直线呢？

生：两个点，或者一个点和一个方向.

师：对，接下来我们一起看例1.

例1 已知直线l：y=ax+1和点A（1，2），B（5，-1）.

（1）①直线AB斜率k=，倾斜角θ=；

②直线AB的点斜式方程为；

③直线AB的点方向式方程为；

④直线AB的点法式方程为；

⑤直线AB的一般式方程为.

（2）①直线l与线段AB相交，则a的取值范围为，直线l倾斜角θ的范围为.

②若直线l与线段AB不相交，则a的取值范围为，直线l倾斜角θ的范围为.

（3）若a=1，则直线AB关于直线l对称的直线方程为.

（4）若直线l∥AB，且直线m被直线l和直线AB所截得的线段的长为725，则直线m的斜率k为.

师：请第一列的同学根据图1按顺序分别回答第（1）题的5个小问.

生1：利用k=y2-y1x2-x1=tan θ，得出k=-34，从而推出θ=π-arctan34.

师：直线的斜率有两种表示形式，即k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2.已知直线斜率求倾斜角时，当k>0时，θ=arctan k；当k=0时，θ=0；k<0，θ=π+arctan k.接下来我们看第（1）题第②问.

生2：直线AB的斜率k=-34，选择点A（1，2），可得点斜式方程为y-2=-34（x-1）.

师：很好！由直线斜率的表达式k=y2-y1x2-x1可得点斜式方程为y-y0=k（x-x0）.

生3：直线的方向向量d=AB=（4，-3），选择点A（1，2），可得点方向式方程为x-14=y-2-3.

师：由直线斜率的两种表示形式k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ，通过变形可得出直线的点方向式方程为x-x0cos θ=y-y0sin θθ≠0且θ≠π2，其中方向向量d=（cos θ，sin θ）.

生4：由直线的方向向量d=AB=（4，-3），可得直线的法向量n=（3，4），从而得出直线的点法式方程为3（x-1）+4（y-2）=0.

师：通过直线的点方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ，可以进一步推出其点法式方程为（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，其中法向量n=（sin θ，-cos θ）.

生5：化简可得3x+4y-11=0.

师：在求直线方程的时候，如果直线方程的形式没有特别要求，通常把它化成一般式.

师：（这部分内容在讲评例1时已经逐个板书在黑板左边）两个点或一个点和一个方向确定一条直线，通过斜率k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2可以得出点斜式方程y-y0=k（x-x0）、点方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ、点法式方程（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，所以，总结为“确定直线点与向，方程各异本一样”，接下来我们继续看例1的第（2）题.

生6：直线l恒过点C（0，1），直线AC的斜率为1，直线BC的斜率为-25，结合图2可得直线l的斜率a的范围为-25，1，其倾斜角θ的取值范围为0，π4∪π-arctan25，π.同理可得第②小问直线l的斜率a的范围为-∞，-25∪（1，+∞），倾斜角θ的范围为π4，π-arctan25.

师：根据直线斜率k=tan θ的函数图象可总结得出，当倾斜角θ从0趋近于π2时，斜率的范围从0趋近于正无穷，倾斜角θ大于π2趋近于π时，斜率从趋近于负无穷到趋近于0，所以反过来知道了斜率k的范围就很容易定位倾斜角的走向，从而写出倾斜角θ的范围.当00）时，可得θ∈［0，arctan b）∪（π+arctan a，π）；当kb（a<0，b>0）时，可得θ∈arctan b，π2∪π2，π+arctan a.

师：哪位同学来回答第（3）题？

生1：如图3所示，设对称直线的斜率为k，则由夹角公式可得k-11+k=1--341-34，

解得k=-43.又直线l与直线AB交于点A（1，2），

所以直线AB关于直线l对称的直线方程为4x+3y-10=0.

师：回答得非常好！还有同学有不同的方法吗？

生2：当a=1时，直线l与直线AB交于点A（1，2），则点B关于直线l的对称点为B1（-2，6），所以直线AB1的方程4x+3y-10=0，即为所求的对称直线方程.

师：点B关于直线l的对称点B1（-2，6）是如何算出来的？

生2：设B1（x，y），由l垂直平分线段BB1，且线段BB1的中点在直线l上，得y+1x-5=-1，5+x2-y-12+1=0.解方程组可得B1（-2，6）.

师：仿照上述方法，可得点、曲线关于斜率为±1的直线对称的点的坐标、曲线方程（同学们课后选一个作为作业）.

（ⅰ）点A（x，y）关于直线x+y+c=0对称的点为B（-y-c，-x-c），曲线f（x，y）=0关于直线x+y+c=0对称的曲线为f（-y-c，-x-c）=0;

（ⅱ）点A（x，y）关于直线x-y+c=0对称的点为B（y-c，x+c），曲线为f（x，y）=0关于直线x-y+c=0对称的曲线f（y-c，x+c）=0.

请同学们记下以上结论，记好的同学看第（4）题.

生：如图4，易得直线AB的方程为3x+4y-11=0，直线l的方程为3x+4y-4=0，则两平行线间的距离d=|-4+11|5=75.易知直线m与直线l的夹角为π4，

则由k+341-34k=1，解得k=17或-7.

师：通过例1我们复习了倾斜角、斜率、直线方

程、距离和夹角，解题时要选择

适当的直线方程.

2.2 强化应用提升应用能力——由薄到厚

例2 三条直线l1：mx-y+m=0，l2：x+my-m（m+1）=0，l3：（m+1）x-y+（m+1）=0.围成△ABC，当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.

师：请同学们分别研究直线l1，l2，l3过哪个定点，l1，l2，l3之间有何位置关系，并画出大致图形.

生：直线l1和l3恒过定点A（-1，0），直线l1和l2互相垂直.设l1和l2的交点为C，l2和l3的交点为B（0，m+1），如图5，△ABC是直角三角形，直角边BC的长就是点B到直线l1的距离，即|BC|=-m-1+mm2+1=1m2+1，直角边AC的长就是点A到直线l2的距离，即|AC|=m2+m+1m2+1，则

S△ABC=12|AC||BC|=12·m2+m+1m2+1=121+mm2+1.

师：分析得非常到位，掌声鼓励一下！那如何求△ABC面积的最值？

生：当m=0时，S△ABC=12；当m≠0，S△ABC=121+1m+1m.所以，当m=1时，△ABC的面积取最大值为34;当m=-1时，△ABC的面积取最小值为14.

师：解答本题的关键是发现l1，l3过定点和l1，l2互相垂直这两个隐含条件，也就是要能快速找出直线所过的点和方向.

例3 已知三角形ABC的顶点A（3，-1），AB边上的中线所在的直线方程为x+y+2=0，AC边上的中线所在的直线方程为x-y+2=0，求BC边所在的直线方程.

师：同学们根据题意画出示意图（图6），哪位同学愿意分享一下你的思路？

生1：设点B（x，y），则线段AB的中点M的坐标为x+32，y-12.由点M在AB边的中线所在的直线x+y+2=0上，得

x+32+y-12+2=0.由点B在AC边的中线上，可得x-y+2=0，再根据方程组x+32+y-12+2=0，x-y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以点B的坐标为

（-4，-2）.

师：求出点B后，如何求直线BC的方程？

生1：用同样方法求出点C（-5，3）.进而求出BC边所在的直线方程为5x+y+22=0.

师：还有别的方法分享吗？

生2：求出点B（-4，-2）后，通过中线求出△ABC的重心坐标（-2，0），最后利用重心的坐标公式算出C（-5，3）.

师：这位同学回答得非常好！接下来请思考例3的变式.

变式已知三角形ABC的顶点A（3，-1），AB边上的中线所在的直线方程为x+y+2=0，角B的平分线所在的直线方程为x-y+2=0，求BC边所在的直线方程.

师：变式应该如何求解呢？

生1：由例3知B（-4，-2）.

师：求出点B（-4，-2）后，用直线方程的哪种形式表示直线BC呢？

生1：易得直线AB斜率为17，由方程x-y+2=0可得角B的平分线所在直线的斜率为1，由夹角公式得直线BC的斜率为7，进而得出直线BC的点斜式方程为y+2=7（x+4）.

生2：可以设点A（3，-1）关于角B的平分线所在直线的对称点为A1（x，y），则点A1一定在直线BC上，由角B的平分线x-y+2=0垂直平分线段AA1，线段AA1的中点在直线x-y+2=0，可以得到y+1x-3=-1，x+32-y-12+2=0.解方程组可得A1（-3，5），从而推出BC边所在的直线方程为7x-y+26=0.

师：有同学是根据例1第（3）题总结的结论直接得出点A关于直线x-y+2=0的对称点A1吗？

生3：我是根据点（x，y）关于直线x-y+2=0的对称点为（-y-2，-x+2）的结论，得出点A（3，-1）关于直线x-y+2=0的对称点为A1（-5，3）.

师：怎么和生2算的A1不一样呢？哪里出问题了？

生3：喔，公式记混了.由点（x，y）关于直线x-y+2=0的对称点为（y-2，x+2），可得点A（3，-1）关于直线x-y+2=0的对称点A1（-3，5），从而推出BC边所在的直线方程为7x-y+26=0.

师：真是学以致用.公式不太熟，但瑕不掩瑜，课后仿照例题把公式推导一遍.

师：对于变式，三位同学的回答都很精彩.在求直线方程的过程中，要根据题目的特点选择直线方程.由于时间关系，变式2请同学们课后研究.

2.3 小结（师生共同完成）

（1）确定一条直线需要两点或一个点和一个方向，可以量化为直线的斜率等于倾斜角的正切，由此可得到各种直线方程，具体如下：

k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ

点斜式：y-y0=k（x-x0），点方向式：x-x0cos θ=y-y0sin θ，点法式：（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，一般式：ax+by+c=0（a2+b2≠0）.

（2）要根据题目的特点选择直线方程.

（3）本节课的特点可以归纳（师）为：