提升高中生数学运算素养的策略

万松强

摘要：数学运算是高中数学六大核心素养之一，本文中从课程标准和学生出现的问题出发，结合具体的例子，提出培养学生数学运算素养的常见策略和方法.

关键词：数学运算;运算能力;高中数学;数感

1 背景与问题

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称《标准》）指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，等等.数学运算是解决数学问题的基本手段［1］.其目标是：通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神［1］.但当前部分高中教学中还存在着“满堂灌”、机械重复训练等问题，与新时代高考杜绝偏题、怪题和繁难试题，使“死记硬背”“机械刷题”“题海战术”的收益大大降低的考查方向背道而驰.同时，2022年的考题击中了当前高中数学教学的“痛点”，在实际教学过程中并未重视教材，没有把教学精力花在帮助学生掌握“四基”、提高“四能”上.从学生的解题来看，教师也不太习惯从基础知识、基本技能、基本方法下手去分析和解决问题，这就是造成“运算量大”的重要原因.那么，有哪些策略可以提升学生的数学运算素养呢？

2 提升数学运算素养的策略

为了更好地发展学生的数学运算素养，教师需以教学内容为载体，有计划、有目的地设计比较系统多样的教学策略.

2.1 重视“四基”，理解运算对象

数学学科核心素养是“四基”的继承和发展.“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体，具体教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升［1］.在教学活动中，应结合教学任务设计合适的情境和问题，发展学生数学运算素养.

例1  （2022年全国高考乙卷数学第16题）若f（x）=ln a+11－x+b是奇函数，则a=，b=.

黄海波［2］老师在文《2022年全国高考乙卷文科数学第16题的研习体会》中完整写出了网络流传的解法，同时黄老师也指出：“该解法利用奇函数的定义，结合指数式与对数式互化，施以复杂的代数恒等变形，解绝对值方程，分类讨论，通过比较系数解得实数a，b的值．但运算复杂、过程冗长，且未能体现命题者的意图”．网络流传的解法不仅思路不完整，方法也不普适，因为没有分析数学对象的结构，这是本题“运算量大”的主要成因.

我们知道数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.提升学生的数学运算素养，理解运算对象的含义与作用至关重要，是实施运算的第一步，高中阶段数学运算的对象从具体的数、字母符号扩展到向量、矩阵、函数等.

本题若能从数学对象——函数的概念、奇函数的定义以及性质出发，设函数f（x）的定义域为I，便有如下解题思路：

（1）由函数的定义域可知1I；

（2）由奇函数的定义可得－1I；

（3）由a+11－x≠0，可得（1-x）（a+1-ax）≠0，所以x≠1且 x≠a+1a，于是a+1a=-1，解得a=－12，且0∈I；

（4）进一步，由奇函数的性质f（0）=0，即可得到b=ln 2.

这个求解过程很好地体现了关注“教材”、重视“四基”的作用，同时有效化解了运算的难点.

2.2 理解本质，掌握运算法则

运算法则是运算的依据，是推理的基础，也是结果具有唯一性的保障.数学运算法则在表达形式和使用方式上具有多样性特点，因此应当让学生领会其本质，在充分理解和掌握的基础上灵活加以运用.

例2  已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，求Sn.

大部分学生会直接运用公式，得到如下解法：

（1）当n=1时，S1=2a2，则a2=12a1=12.

（2）当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2an+1－2an，则an+1=32an.

综上可得，数列{an}是以a1=1为首项，32为公比的等比数列，从而由求和公式可得Sn=1－32n1－32=2×32n－2.

上述解法看似天衣无缝，实则问题百出，只需验证S2便可知错.那么，问题究竟出在哪里呢？仔细思考可以发现：当n≥2时，由递推关系an+1=32an得到的数列{an}并非是等比数列，在求解过程中忽视了n=1与n≥2这两种情况下数列的前后项之间的关系并不能顺承下去.在反思过程中，学生对“由Sn求an”的运算法则会有更加深刻的理解.

2.3 整体提升，探究运算思路

《标准》强调从整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展.学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点.因此，需要根据不同阶段合理设计教学目标，在确定教学目标时，要把握好学生数学运算素养发展的各阶段目标之间的关系.例如，借助向量研究距离问题，前期目标是以掌握向量运算为主，到后期则是需要在通过运算解决问题的过程中，形成正确的运算思路，不断提升，变成解决一类问题的通性通法.

我们知道，高中阶段涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，两条平行线之间的距离，直线到平面的距离，两个平行平面之间的距离，异面直线之间的距离.教师可以通过一题多解的方式让学生掌握计算距离问题的常用方法——综合几何方法、解析几何方法、向量方法;进一步，利用多题一解让学生体会向量法求距离带来的便利，同时归纳用向量研究点到平面距离问题的方法，从而得到通性通法，即程序思想方法：第一步，确定平面的法向量；第二步，选择参考向量；第三步，确定参考向量在法向量上的投影向量；第四步，求投影向量的长度.

又如，在教材椭圆标准方程的获取过程中不断优化运算思路.

针对初始方程

（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a，①

其结构复杂，又含有两个根式，大部分学生会从等式两边直接平方入手，由此可得到x2+y2+c2+（x+c）2+y2（x－c）2+y2=2a2，然后再进行移项、平方，但看到会出现四次项而且过程复杂导致知难而退.

对根式平方是处理带根号问题的常用方法，经历了“先平方后移项”的痛苦后，有部分学生会思考“先移项后平方”，即对①移项、平方，得到a2－cx=a（x－c）2+y2，然后再两边平方得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

这样“先移项后平方”会把四次项消掉，从而降低运算难度，这样处理比第一种思路更清晰，运算更准确.

有了成功的案例后，学生的思路会更加开阔，有学生由两个根式联想到“有理化”的方法，于是将方程①变形整理为

［（x+c）2+y2+（x－c）2+y2］·（x+c）2+y2－（x－c）2+y2（x+c）2+y2－（x－c）2+y2=2a.

化简后，得到

（x+c）2+y2－（x－c）2+y2=2cax.②

联立①②，可得

（x+c）2+y2=a+cax，将方程两边平方，得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

“有理化”的方法是将根式看成一个整体，通过有理化得到方程②，再通过联立二元方程组求解出一个根式，最后平方化简.有了整体思想和方程思想后，由方程①的结构联想到等差中项的结构，于是便有了“等差中项法”，把（x－c）2+y2，a，（x+c）2+y2看成一个等差数列，设公差为d，于是可以得到（x－c）2+y2=a－d，（x+c）2+y2=a+d.将两式平方后作差可得d=cax，于是可得（x+c）2+y2=a+cax，最后两边平方即可.

对于第一种思路“先平方后移项”，能够通过整体思想将运算简化吗？仔细观察发现，可将x2+y2+c2看成一个整体进行运算.

在具体的教学中，教师可以在学生独立思考的基础上，通过师生、生生交流，不断厘清运算对象，优化运算思路，从而不断提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心.

2.4 提升“数感”，求得运算结果

数感是对现实世界中数量关系的直观认识，是形成数学抽象能力的经验基础［3］.《义务教育数学课程标准（2022年版）》对义务教育阶段的“运算能力”提出了统一的要求，小学阶段主要以数的运算为主，初中阶段的运算除了求得数值结果外，还包括代数式的化简与变形、对代数式的结构与意义的探讨、方程与不等式的变形，以及研究函数的性质等.高中阶段的数学运算是在小学、初中阶段基础上的进一步发展，是更为严谨、形式化的“数学抽象”.估算是数学运算的一个重要方面，数感与估算活动有密切的联系.从小学到高中对学生估算能力的要求也在不断提高.如在小学阶段，对于圆周率π，要求能直观理解π是圆周长与直径的比值，它是一个确定的数，大概是3.14.进一步地，在初中阶段需要理解无理数的存在性和开方运算的意义，如单位正方形的对角线长为2，近似值为1.41；又如黄金分割比值为5－12，0.618只是它的近似值.在高中阶段，学生需了解无理数e，e≈2.718，等等.

3 教学反思

章建跃老师说过：“推理是数学的‘命根子，运算是数学的‘童子功.”运算的重要性在数学中是不言而喻的，可以说运算是数学的“半壁江山”.

随着新高考的实施，对学生的运算能力提出了更高的要求.而数学运算的培养与提升是一项系统工程，并非一朝一夕就能起到效果，需要教师进行长期的、反复的、螺旋式的培养.在平时的教学过程中，要关注教材，重视教材，对教材中的例题、习题进行深入挖掘、再次开发，而且还需在学生掌握“四基”、提高“四能”、理解数学本质的同时，深入分析“怎么思考问题，如何进行运算”，把培养运算能力贯穿于整个课堂教学中，有计划、有目的、有意识、有系统地进行渗透，在课堂中留足时间让学生动笔将运算进行到底，从而在问题解决的过程中，逐步发展学生的运算素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］黄海波.2022年全国高考乙卷文科数学第16题的研习体会［J］.中小学数学（高中版），2022（Z2）：110-111.

［3］史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：53-70.