基于深度学习的“函数的单调性”概念教学

左婷

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划2022年度课题“指向深度学习的高中数学单元教学策略研究”，立项编号为C/2022/02/05.

1 深度学习的基本思维

1.1 概念内涵的深层理解

基于数学概念课堂的教学实践与深度学习，从概念层面挖掘，剖析概念的内涵与实质，以及相关概念的来龙去脉与关联，从而联系相关概念的外延与应用，全面构建数学知识体系，形成不同概念之间的节点与联系，促进不同数学知识之间的转化与应用.

1.2 数学思维的深层应用

基于数学概念课堂的教学实践与深度学习，由知识到思维逐步深入，借助构造、类比、联系、创新等思维方式，展示知识所对应的思维，加深对知识的理解与掌握，从思维层面形成数学习惯，构建更加良好的思维品质与核心素养.

1.3 创新应用的深层拓展

基于深度学习，有效构建数学知识、数学思想、数学经验等方面之间的融合，形成更加完善与系统的知识网络体系与架构，对于数学应用与创新应用等都有较好的提升与拓展作用.

2 深度学习的教学过程

2.1 导学聚焦

基于深度学习的“函数的单调性”概念教学的导学聚焦如表1.

表1

教材考点

学习目标

核心素养

函数单调性的概念、判定与证明

了解函数单调性（增函数、减函数）的概念，会用定义判断或证明函数的单调性

直观想象、逻辑推理

求解函数的单调区间

会借助函数的图象或函数单调性的定义确定或求解函数的单调区间

数学运算、直观想象

函数单调性的简单应用

会根据函数的单调性求解相关参数值或求解参数不等式问题等

数学运算、逻辑推理、直观想象

2.2 问题导学

预习教材（人教A版数学必修第一册）第三章第二节“函数的基本性质”，对应教材的位置是第76～79页，并思考下列相关问题：

（1）如何定义单调递增与单调递减？增函数、减函数的概念又是怎样的？

（2）函数的单调性与函数图象变化规律有何关系？函数的单调性和其对应的单调区间有何关系？

2.3 情境引入

材料1：目前，国内市场销量前三的智能音响分别是：第三名，天猫精灵（浙江）；第二名，小爱同学（北京）；第一名，小度（北京）.图1是2017—2022年中国智能音响市场销售量变化图.

问题1  （1）上述情境中变量分别是什么，哪一个变量随着另一个变量的变化而变化？

（2）从左到右，图象的变化规律是什么？

材料2：二十四节气，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分.我们的祖先通过它能直观地了解一年中季节气候的变化规律，它在安排和指导农业生产中，发挥了重大作用.图2是某地一年的气温变化图.

问题2  气温随着时间的改变如何变化，图象的变化规律是什么？

2.4 新知探究

（1）增函数、减函数的概念

一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间DI：

①如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增（如图3）.

②如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减（如图4）.

特别地，

当函数f（x）在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.

【微思考1】①在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？

（提示：不能.不能用特殊代替一般）

②x1，x2∈D，若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＞0，则y=f（x）在某个区间D上单调递增吗？若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＜0，则y=f（x）在某个区间D上单调递减吗？简要说明原因.

（提示：是.若（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＞0则x2-x1与f（x2）-f（x1）同号，即x2＞x1时，f（x2）＞f（x1），所以f（x）在D上单调递增；

同理（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］＜0时，f（x）在D上单调递减.）

③x1，x2∈D，若f（x2）-f（x1）x2-x1＞0，则y=f（x）在区间D上单调递增吗？若f（x2）-f（x1）x2-x1＜0，则y=f（x）在区间D上单调递减并简要说明原因.（

提示：是.若f（x2）-f（x1）x2-x1＞0，则x2-x1与f（x2）-f（x1）同号，即x2＞x1时，f（x2）＞f（x1），所以f（x）在D上单调递增；

同理f（x2）-f（x1）x2-x1＜0时，f（x）在D上单调递减.）

（2）函数的单调性与单调区间

如果函数y=f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

【微思考2】区间D一定是对应函数的定义域吗？（

提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.）

2.5 新知应用

（1）函数单调性的判定与证明

例1  根据定义，研究函数f（x）=axx—1（a≠0）在x∈（-1，1）上的单调性.（a＞0时，单调递减;a＜0时，单调递增.）

点评：利用函数的单调性的定义判断和证明函数单调性的基本步骤如图5所示.

这里要注意：作差变形是判断和证明函数单调性的关键所在，且变形的结果多为几个因式乘积的形式.

（2）函数单调区间的确定与求解

例2  画出函数y=|-x2+2x+3|的图象，并指出函数的单调区间.（增区间为［-1，1］，［3，+∞）；减区间为（-∞，-1］，（1，3）.）

点评：确定与求解函数的单调区间的两种常见方法如图6所示.

3 深度学习的教学启示

基于数学概念课堂的教学实践与深度学习，立足数学基础知识，特别是数学概念与性质所对应的内涵，从而从概念或性质等视角切入，进行多视角的深度学习，对于基础性的把握更加到位.

借助深度学习，将相应的数学概念进行“串点成线、织网铺面”，构建一个完善的数学知识体系，从而有效夯实学生的“四基”，培养学生的“四能”，强化创新意识与创新应用，培育理性思维，促进学生高阶思维、核心素养的发展.