“一题一课”型微专题课的教学与思考

陈晨 赵军 徐琳琳

“一题一课”是指教师通过对一道题或一个材料作深入研究，挖掘其内在的学习线索和数学本质，自然、合理和有序地组织学生进行相关的数学探究活动，以达成多维目标的过程［1］.

“圆”是初中几何中一个重要的章节，和圆有关的问题中难度较大的要属“隐圆问题”，究其原因在“隐”字上.学生看不到动点的运动轨迹，很难解决好此类问题，因此教师需要结合数学理论引导学生看清它.笔者拟借助“一题一课”授课方式，带领学生对“隐圆问题”进行分类研究，帮助学生归纳总结.

1 教学目标

（1）了解“隐圆问题”的常见类型及解决方法，为后期学习打下基础；

（2）通过“一题一课”的教学方式，培养探究和解决问题的能力.

2 教学过程

2.1 前置问题

如图1，已知⊙O与圆外一点P，求作点P到圆上最近的点A和最远的点B，请作图说明并证明.

分析：通过对圆外一点到圆上的最短距离和最长距离的证明，归纳它们的计算公式，为后面例题的讲解打下基础.证明所得的结论，对解决“隐圆问题”中的最大（小）值非常实用.

解析：如图2，设A′是⊙O上任意一点，r为⊙O的半径.

在△OA′P中，由

OP

OP－OA′

因为OA=OA′，所以

OP－OA

所以A是⊙O上距离点P最近的点，且最近距离=OP-r.

如图2，在△OA′P中，因为

OP+OA′>A′P，OA′=OB，所以

OP+OB>A′P，即BP>A′P.

所以B是⊙O上距离点P最远的点，且最远距离=OP+r.

2.2 模型探究

第一类模型：“定点+定长=定圆”.

模型依据：根据圆的定义，联系“到定点的距离等于定长的点的集合是圆”.

模型重现：如图3，已知线段AB和点O，试在平面内找到符合条件的所有点M，使得MO=AB.（点M的轨迹就是以点O为圆心，AB长为半径的⊙O，如图4.）

例1 如图5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中点，F是边BC上任意一点，将△EFB沿着EF所在的直线折叠得到△EFB′，连接B′D，求B′D的最小值.

分析：这是一个“定点+定长=定圆”的问题，经过分析首先引导学生使隐圆的题显出“圆”形，其次考虑求最小值，最后套用“DE-r”求解即可.

解：如图6，因为点B到点E的距离不变，所以点B′的轨迹为以点E为圆心，EB长为半径的圆弧.

因此可得DB′最小值=DE-EB=22+62－2=210－2.

变题1 如图7所示，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段EF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动（即两个端点始终落在正方形的边上）.点E从点A出发，按逆时针方向滑动一周，在整个过程中，求线段EF的中点M所经过的路线围成的图形面积.

分析：此题的解题关键是画出点M的运动轨迹，再分析其围成图形的特点，最后计算面积即可.

解：如图8，点M运动所经过的轨迹围成的图形是正方形挖去4个14个圆.因此，所围成的图形面积是16－4π.

变题2 如图9，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，现有一条长为4的线段EF，紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），点E从点A出发，按逆时针方向滑动一周.在整个过程中，求线段EF的中点M所经过的路线围成的图形面积.

分析：此题也是先画出点M的运动轨迹，再分析其围成图形的特点，最后计算面积即可.

解：如图10，点M运动所经过的轨迹围成的图形还是矩形挖去4个14个圆，因此所围成的图形面积是24－4π.

第二类模型：“直径+直角=定圆”.

模型依据：根据圆周角定理的推论，寻找“90°的圆周角所对的弦是直径”.

模型重现：如图11，已知线段AB=4，试在平面内找到符合条件的所有点P，使得∠APB=90°.（如图12）

例2 如图13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值和最大值.

分析：这是一个“定长（直径）+定角（90°）=定圆”的问题，首先还是让“隐圆问题”显出“圆”形，其次考虑求最小值和最大值，最后分别套用DE-r和DE+r即可.

解：如图14，由∠AEB=90°，可知

点E在以AB为直径的⊙O上.

故CE最小值=CO-r=210－2；

CE最大值=CO+r=210+2.

变题1 如图15所示，正方形ABCD的边长为2，若点E从点B运动到点C，同时点F从点C运动到点D，且BE=CF，AE与BF交于点M.（1）求点M的运动轨迹长；（2）求MC的最小值.

分析：这里联系了正方形的“十字架”模型［2］，容易证明BF⊥AE，从而得到点M的运动轨迹是圆弧，再套用公式求最小值.

解：（1）如图16，在

正方形ABCD中，有

AB=BC，∠ABC=∠C.

又BE=CF，所以

△ABE≌△BCF，则

AE=BF.

易证AE⊥BF，则点M的轨迹是半径为1的14圆弧，所以l=90×π×12180=π2.

（2）取AB中点S，则MC最小值=SC－r=5－1.

变题2 如图17，正方形ABCD边长为2，若点E在线段CB延长线上任意移动，点F在线段DC延长线上任意移动，且BE=CF，AE与BF交于点M.（1）求点M的运动轨迹长度；（2）求MC的最小值.

分析：本题还是联系正方形的“十字架”模型，易证直线BF和AE是垂直关系，从而得到点M的运动轨迹是圆弧，再套用公式求最大值.

解：（1）如图18，证明过程同变题1，点M的轨迹是半径为1的34圆弧，

则

l=270×π×12180=3π2.

（2）取AB中点S，MC最大值=SC+r=12+22+1=5+1.

第三类模型：“定弦+定角（非直角）=定圆”.

模型依据：根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆的内接四边形对角互补”得到圆.

模型重现：如图19，已知AB=4，试在平面内找到符合条件的所有点P，使得∠APB=60°.点P的轨迹如图20所示.

例3 如图21，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E，F，G分别在边AB，AD，BC上，∠FEG=60°，

EF=EG=22，现想从矩形中剪出一个四边形EFMG，使得∠FMG=60°，求四边形EFMG面积的最大值.

分析：这是一个“定长（弦）+定角（60°）=定圆”的问题，首先让隐圆问题显出“圆”形，其次考虑求最大值即可.

解：如图22，由∠FMG=60°知点M在以O为圆心，OF为半径的⊙O上.要使四边形EFMG的面积最大，则点M在点O的正上方.

所以S四边形EFMG的最大值为S△EFG+S△FGM=4+43.

变题 如图23，正三角形ABC边长为2，若点D从点B运动到点C，点E从点C运动到点A，且BE=AD，AD与BE交于点M，求点M的运动轨迹长度.

分析：仿照正方形的“十字架”模型设计此变题，希望学生能融会贯通.

解：如图24、图25，类似例3，可知点M的轨迹是半径为233的13圆弧，l=120×π×233180=43π9.

2.3 课堂小结

解题步骤：现“圆”形，找最值，套公式.

解题方法：勤作图，联模型，重细节.

解题思想：分类讨论，数形结合，转化类比.

3 教学反思

（1）“一题一课”让知识整合起来

“隐圆问题”的特点是知识零碎，虽然各模型之间是相互关联的，但学生学习起来却很难一手抓.因此，教师的教学一定要“化零为整，突破难点”，这样学生的学习才能更加系统，教学效果也能更佳.

（2）“一题一课”让图形关联起来

本教学课例中，笔者在设计变题中，联系了“瓜豆原理”“将军饮马模型”“十字架模型”和相似三角形等.这些关联知识点，可以让静态的图形模型灵动起来.

（3）“一题一课”让学习轻松起来

在现实解题时，学生没有几何画板，所以根本无法动画演示整个图形的形成过程.这就需要教师教导学生进行特殊值的选取，然后连线找到点的轨迹.适当的时候，帮学生总结解决“隐圆问题”的步骤，即现“圆”形，找最值，套公式.

但教师也需清楚，所有的总结不是牵绊学生的思考，而是为了更好地引领学生去探索难题的解题方法，也希望学生能结合教师的讲解总结出自己的心得.

参考文献：

［1］张哲.中考微专题复习课的设计与思考——以“隐圆问题”为例［J］.中学数学研究，2022（3）：9-11.

［2］陈晨，朱建良.巧用题源 多向变题——一道教材习题的改编及反思［J］.数学通讯，2022（7）：48-50.