建模思想促大单元视角下的课程整合

沈妮 陈静

大单元视角下，教师可抓住一个融通单元知识的、可迁移的数学模型，按照一定的逻辑和教学需要组织相应的课程内容，确保单元课程内容的连贯性和递进性，从而优化单元教学设计，助力学生从解决一个问题到解决一类问题，形成知识结构。

一、在比较中建模，建立知识结构

教师可通过比较课程内容的外部形式、知识本源、探究方法等，从中提炼出具有相同数学本质的模型，引导学生在类比探究中贯通地理解相关联的课程内容，建立结构化的知识体系。

1.对比外部形式

在人教版数学四年级下册《小数加减法》的教学中，教师引导学生回顾整数的运算律，猜测整数加法运算律在小数加法中是否适用。学生通过举例验证，发现整数加法运算律在小数加法中同样适用，从而推测整数的减法、乘法、除法运算律在小数的减法、乘法、除法运算中同样适用，还有学生猜测整数运算律在分数运算中也适用。教学时，教师可以“加法交换律”为例，引导学生理解“不论相加的两部分是什么数，加法都要把两部分合起来，所以整数加法交换律可以推广到小数、分数的加法运算中”，进而用同样的方式（模型）自主探究整数的减法、乘法、除法运算律在小数、分数的减法、乘法和除法运算中的适用性。这样整合设计与实施课程，学生可整体构建整数、小数、分数的四则运算知识结构。

2.对比知识本源

数学知识之间有着紧密的关联，许多新知是已经学习的知识的延伸与组合。这些知识可能形式上有所不同，但本质上都反映了相同的原理，也就是说它们的本源相同。教学新的数学概念时，教师可引导学生回顾知识本源，利用学习迁移理论把握新知的本质。例如，教学人教版数学二年级下册《有余数的除法》时，在学生探究用9根小棒和10根小棒摆三角形的情况后，教师抓住“用10根小棒摆三角形，还是平均分吗？为什么？”这一紧扣知识本质的问题，引导学生观察摆出的两种情况的相同点和不同点。学生借助图形进行辨析，明确了“每个三角形都由3根小棒摆成，只要每份分得同样多，就是平均分”。在此基础上，探究有余数除法横式的写法时，教师先让学生自主用除法记录用10根小棒摆三角形的过程和结果。随后，在生生互评活动中，学生建立起有余数除法横式的模型，进而通过对比表内除法和有余数除法，理解有余数除法的含义。

一系列学习活动让学生在探寻异同中体会平均分物的两种情况，感受到无论分的结果是否有余数，分的过程都是平均分，都可以用除法表示，同时理解了两个数相除后的两种情况——没有余数和有余数。学生在学习过程中打破了思维定势，厘清了表内除法与有余数除法的内在联系和相同本源，更新了知识体系，建立起对除法的结构化认知。

3.对比探究方法

随着学习的深入、经验的积累，学生的思维水平、抽象能力不断提高，逐步对数学探究方法有了一定的把握，会主动迁移已有的问题解决思路与方法来解决新问题。教师应当有意识地引导学生对比相关知识的探究方法，提高学生的抽象能力。例如，教学人教版数学五年级上册《四边形的面积》时，教师通过引导学生类比三角形面积公式的探究方法（主要方法是将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形），探究梯形面积公式，即将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，通过计算平行四边形的面积获得梯形的面积，进而推导出梯形面积公式。教师可根据不同的探究方法设计适应学生多样化需求的结构化教学方案。这种教学方案要关注知识的传授，更要重视学生思维能力的培养，支持学生的个性化学习。

二、在迁移中建模，内化知识结构

整数运算的教学离不开小棒、计数器、方块图等结构化学具，这些学具能辅助学生理解算理、掌握算法。在开展大单元教学时，教师通过操作、观察、演示等数学活动，引导学生迁移已有知识经验，建立直观的运算模型，可促进知识之间的联结，帮助学生内化知识结构。

1.在直观建模中实现横向迁移与同类联结

人教版数学三年级下册《除数是一位数的除法》上承《表内除法》和《有余数的除法》，下接《除数是两位数的除法》，在整数除法大单元中具有承上启下的作用，是构建笔算除法知识结构的关键节点。大单元教学中，教师应借助直观学具，引导学生理解算理和算法，构建笔算除法的基本模型，以促进有余数除法、除数是一位数的除法笔算和除数是两位数的除法笔算之间横向迁移，形成对整数除法笔算方法的结构化认知。

以《两位数除以一位数》的教学为例。教师可充分发挥小棒的直观建模作用，引导学生在操作中初步构建笔算除法模型，理解直观模型可以表征运算含义，表达运算算理，表示运算方法。

表征运算含义。“平均分”是除法运算的核心。教学时，教师要引导学生通过操作小棒，表征除法算式的含义。如根据除法算式“42÷2”，实际操作把4捆和2根小棒平均分成2份，使每份有2捆和1根小棒的过程。

表达运算算理。算理的理解是运算教学的重难点。在运算大单元教学中，算理是联结相关知识的核心，理解算理是形成知识结构的重要环节。教学“42÷2”时，教师可引导学生运用已有的口算除法计算方法，迁移有余数除法竖式计算的经验，通过操作小棒，学会用竖式表达口算“42÷2”的过程，在操作中直观地理解竖式中每一步的含义，进而沟通口算除法与笔算除法，初步形成除法运算模型。

具体来说，学生可先用小棒直观表示用被除数十位上的数除以除数的含义。如竖式中，在被除数42的十位数字4上商2后余2的过程，可用把4捆小棒平均分成两份，每份分得2捆小棒后剩余2根小棒来表示。然后，学生继续分小棒，直观表示用被除数个位上的数除以除数的含义。如竖式中，在被除数42的个位数字2上商1后余0的过程，可用把剩余的2根小棒平均分成两份，每份分得1根小棒后没有剩余来表示。两次直观操作促使口算过程与竖式计算达成联结，使口算除法与笔算除法共同纳入学生的除法运算知识结构中。

表示运算方法。竖式计算本质上是口算程序化的过程，是运算本质的具体表现。“42÷2”的教学是第一次将口算除法的过程用竖式表示，在学生充分理解算理的基础上，教师可通过直观建模将笔算方法程序化，帮助学生初步构建除数是一位数的笔算除法模型——“除—乘—减—落”（如下图）。

这样的直观建模可以迁移到后续三位数除以一位数的学习中。虽然《除数是两位数的除法》单元教材的编排脱离了直观操作，我们仍然可以横向迁移除数是一位数的笔算除法模型来学习这个内容，以促进单元内容的联结，帮助学生搭建整数除法运算的知识结构。

2.在模型对比中实现纵向迁移与同质关联

在运算教学中，我们常常关注不同运算模型之间的关联。例如，“口算除法”模型和“口算乘法”模型在运算本质上具有一致性，在开展运算大单元教学时，教师可引导学生通过对比两种运算模型，建立不同运算之间的内在联系，促进学习的纵向迁移，帮助学生进一步构建运算知识结构。

例如，学习“66÷3”时，学生通过操作学具理解了算理，形成了两位数除以一位数的口算方法模型“拆—除—合”（如下图）。

学习“16×3”时，学生仍然可通过操作学具理解算理，并形成两位数乘一位数的口算方法模型“拆—乘—合”（如下图）。

在教材编排上，两位数乘一位数的口算编排在两位数除以一位数的口算之后。因此，教师教学口算乘法时，可通过乘除法口算方法模型的对比，引导学生发现两种运算模型具有一致性，直观建立口算乘法与口算除法之间的关联，实现不同单元内容的纵向迁移，以及运算大单元知识的结构化。

（作者单位：沈妮，武汉市汉阳区墨水湖小学；陈静，武汉市汉阳区钟家村明德小学）