高中数学概念教学中“建模思想”培养的实践研究

朱婉

[摘要]建模思想是促使学生建立良好数学思维体系的基础，学生通过对数学模型的探索、观察与思考，体悟数学的变化规律，为知识的灵活应用服务．在概念教学中渗透建模思想，可有效提升学生的思维品质，发展学生的核心素养．文章以“椭圆及其标准方程”的教学为例，分别从“借助情境，引入概念”“问题引领，构建方程”“分析模型，提炼思维”“应用模型，拓展延伸”四个方面展开研究．

[关键词]建模思想；概念教学；椭圆

数学建模是指基于实际问题．将知识、信息技术、模型等深度融合的过程．建模课程以激趣启思、培养“四能”为目标．建模思想在建模过程中得以完善与发展，在概念教学中，如何培养学生的建模思想呢？此为新课标视域下值得深入探索的话题，本文以“椭圆及其标准方程”的教学为例，具体谈谈如何将抽象的概念转化为基本模型，帮助学生实现数学建模的同时提升建模思想．发展核心素养．

教学过程简录

1．借助情境，引入概念

情境1借助多媒体展示生活中的椭圆形物品．如图1所示，促使学生提炼它们的共性特征——椭圆形．

情境2 设计折纸活动，过程如下：①准备一张圆形卡纸．命名为⊙F1，圆内任取一个定点F2（非圆心），圆上任取点P1；②对折⊙F1，确保点F2与点P1重叠，展开后用铅笔轻描折痕；③连接F1P1与折痕交于点M1；④在圆上取更多的点．不断重复以上步骤．获得大量的点M2，M3，M4，…；⑤分析点列M1，M2，M3，M4，…所构成的图形形状．

如图2所示，借助几何画板展示以上折纸活动过程，让学生在实操的基础上观察动画演示．明确“取点作图”时．若提取的点越多．则所获得的图形越精确．随着实际操作与动画演示．学生对曲线有了初步认识，此过程为“用点的轨迹定义曲线”奠定了基础．同时，几何画板的介入令学生对椭圆这个几何图形产生了更加形象、深刻的理解.

带领学生用数学的眼光与思维来观察与思考现实世界中的物品，架起了学生对“数”与“形”进行理解的桥梁，学生在动手观察中理解椭圆上动点所具备的属性特征，为思维的发展奠定了良好的基础．信息技术手段的应用，促使学生对点M1与P1之间的规律特征有了更加直观的认识．据此再进一步探索，则能让学生感知数学事物“变中不变”的特殊性．

学生通过独立思考与小组合作学习，初步形成结论：R=|MF1|+|MF2|（R为⊙F1的半径，且|F1F1|

设计意图 不同情境模式的应用．促使学生切身体验从数学建模的视域理解椭圆形成的原理．学生在此过程中获得用数学的眼光观察现实世界的能力，并在实际操作的过程中学会用数学的思维与语言思考与表达生活现象，因此．此为激趣启思的过程．可以提升学生的数学抽象能力、逻辑推理能力与数学建模能力．

2．问题引领．构建方程

众所周知．数学知识间存在一定的内在联系．这种联系建构了完整的数学知识体系，想要让学生从真正意义上建构新的概念．就要帮助学生厘清知识间的联系，探寻解决问题的主要方法和思想．学生首次用代数式表示椭圆曲线．不论在知识基础上还是在认知建构上均没有经验．因此需要通过适当的问题与科学的建模活动引发学生思考．增强学生的“四能”，实施具体教学活动时，教师可设计如下几个问题启发学生的思维.

问题1 将活动过程中由点列M1，M2，M3，…所构成的椭圆剪下，椭圆所具备的基本性质有哪些？

问题2 之前学过的圆与本节课所探索的椭圆之间存在怎样的关系？

问题3 回顾圆方程的推导过程，从建系获得圆方程的角度去阐述．

问题4 通过以上探索．大家对椭圆的“形”已经有了明确的认识，若想从“数”的维度来刻画椭圆．该采取怎样的措施呢？

为了让学生从根本上解决以上几个问题．教师先带领学生回顾以圆的两条相互垂直的对称轴作为坐标轴建立圆方程的过程．而后带领学生以小组合作学习的方式建立直角坐标系并投影展示建系的方法，在过程中借助坐标法抽象椭圆的方程（见图3）．

学生针对所展示的不同建系法展开分析与思考．体会建系的思维特点，同时感知数学的对称美．领悟数学独有的魅力．随着合作探索与交流的推进，学生积极开动脑筋、动手操作、语言表述，获得了解决以上几个问题的办法．从根本上理解了问题的本质．对求曲线方程的模型与步骤产生了深刻认识．

随着平面直角坐标系的建立与展示．学生在教师的点拨下用数学语言描述椭圆概念中所蕴含的几何条件，具体为：如果点F1，F2为处于横轴上的定点，并满足|F1F2|=2c，那么能获得与定点F1，F2的距离之和为2a（2a>2c）的动点P的轨迹方程.

化简、根号下（x+c）2+y2+根号下（x-c）2++y2=2a的过程令不少学生感到畏惧．为了帮助学生克服思维障碍．教师可带领学生从如下三个角度化简方程：①最常规的是将等号两侧同时平方．显然这是一种烦琐冗长的方法．难度系数大，错误率高；②从根式下代数式的相似点出发，思考化简方程的方法；③借助“移项”解决问题，如将方程转化成2a-根号下（x-c）2+y2=根号下（x+c）2+y2后再平方消项．让学生从方程的结构特征出发探索更加便捷的化简方法．此处，化简易得a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2），将b2引进来，当焦点F1，F2处于横轴上时，椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1．此过程能有效发展学生的学习能力．

设计意图此环节中的第一个问题意在让学生从直观的折叠活动中体会椭圆具有对称性的特征．对对称轴形成初步感知；第二个问题意在引导学生用类比思想探索圆与椭圆之间的异同点；后面两个问题促使学生自主构建椭圆的标准方程，并提炼模型思想．为发展核心素养夯实基础．

3．分析模型．提炼思维

学习本身就是一个不断产生疑惑、建立模型、答疑解惑与反思提升的过程，在探索椭圆的标准方程的过程中．一些学生产生了这样一个疑惑：b2的引入是不是有点牵强？

教师可从数形结合的角度来释疑，引导学生从图中分别找到线段a，c，根号下a2-c2，基于椭圆的几何特征探寻它们的几何意义．完成后分析如下问题：若椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-c），（0，c），即位于纵轴上，a，b的意义不发生变化．写出此时椭圆的方程.

如此设计意在引导学生通过建模来体会从多维度分析问题的方法，以推进数学逻辑推理能力以及数形结合思想的发展．在教师的点拨下．学生自主验算推导．教师将学生的结论进行投影展示．并鼓励学生合作交流与总结．学生得到的结论主要有：①关于椭圆的标准方程，遵循等号左侧为两分式的平方和．等号右侧为1的格式；②方程中的参数关系为a2=b2+c2；③三个参数的具体值可通过标准方程获得；④椭圆的焦点处于哪条坐标轴上，取决于标准方程中x2，y2的分母的大小．

综上来看．本节课探索椭圆的标准方程．是在学生原有认知体系中的用坐标法探索直线和圆的方程的基础上进行的．在类比思想与数形结合思想的辅助下．学生不仅自主探索出了椭圆的标准方程．还为后续探索椭圆的性质以及抛物线和双曲线等问题夯实了方法基础．通过类比方法，学生自主提炼出了用代数法与几何法研究平面几何问题所遵循的流程.

设计意图结合学生的认知发展规律，带领学生从“实验、猜想、推导”三个环节感知并建构数学模型，促使学生学会从生活实际出发．通过操作活动等搭建模型，揭露几何代数化的形成与发展过程．学生在探索过程中，有意识地用自身已有的认知经验与思想方法去分析与解决问题，此为提升建模能力的关键，也是将数学建模活动渗透课堂．发展建模思想的重要途径．

4．应用模型，拓展延伸

例题 如果F1（4，0），F2（-4，0）为某个椭圆的焦点．P为该椭圆上的一点，且点P与点F1，F2的距离之和为10，写出该椭圆的标准方程.

变式题1：如果该椭圆恰好经过点（2，4/5、根号下5），那么其标准方程是什么？

变式题2.若明确△ABC的周长为16，A为动点，B，C为固定点，且满足|BC|=6，则满足该条件的点A的活动轨迹方程是什么？

随着合作探究活动的开展．学生经过交流与思考，提出分别应用待定系数法与定义法来分析并解决问题.

设计意图 从本质上来说．解决以上问题的过程属于模型应用的过程．建模所经历的是创造性的流程．一般遵循“情境创设”“建模”“提炼研究方法”与“模型应用”四个环节．设计上述两道经典变式题．一方面促使学生自主应用本节课所构建的模型来解决实际问题，另一方面培育学生的数学抽象、逻辑推理等素养，让学生在解题过程中不断完善知识体系，熟知模型思想，形成结构化的数学思维.

几点感悟

1．概念育人是促进学生建模思想发展的关键

概念是数学的基础，也是思维发展的起点．关注概念形成与发展的过程不仅能增强学生对概念本身的理解，还能进一步凸显概念的育人价值，让学生通过各种探索手段感知数学与生活的联系，体会数学学科独有的内涵与魅力．这对促进学生人格品质的发展具有重要意义，如课堂伊始的生活物品的展示以及折纸活动的开展等．不仅帮助学生建立了椭圆与方程的概念，还帮助学生提升了数学研究精神，陶冶了数学情操．为培育学生的数学核心素养奠定了基础．

2．关注建模过程是发展学生建模思想的基础

从建模本身来说．它属于创造性的脑力活动，在教学中．教师带领学生亦步亦趋地感知每一个环节，体会建模的完整性．这是发展建模思想的基础，如本节课．在教师的引领下．学生亲历生活与操作情境．不仅获得了良好的“三会”能力，还有效提升了“四能”，这些都是建模过程不可或缺的一部分，又是培育建模思想的必经之路．

总之．从生活实际出发抽象数学模型．发展模型思想是高中数学教学的重要任务之一．也是培育学生数学核心素养的重要途径，借助课堂揭露数学模型为知识与应用的纽带．可不断提升学生的建模意识．发展学生的模型思想，进一步凸显数学建模的价值与意义．