数学理解下学习的生成基础、价值意蕴及发展路径

吴仁芳 赵彬如

[摘 要] 数学学习是学习者获取数学知识、数学能力的有效途径，是数学教育的核心问题。基于数学理解视角，文章从数学概念、命题、推理和证明出发建构数学学习的生成基础，在数学意义、关系、能力、情境和认知中涵育数学学习的价值意蕴，在数学设计、抽象、探究、反思和情境中探寻数学学习的发展路径，以满足数学学习中有效性、核心质、途径源、审视域和情感场的需求。

[关键词] 数学理解；数学学习；数学情境；数学设计

[中图分类号]G633.6[文献标志码] A[文章编号】1674 - 6120（ 2024）06 - 0031 - 13

数学学习具有时代性和发展性，“入乎其内，见其底蕴，出乎其外，见其全体”，需要学习者以海纳百川的胸怀和推陈出新的胆识运用数学知识进行数学理解，发展理性思维。《辞海》将“理解”界定为：运用已有知识揭露事物之间的联系而认识该事物的过程1]。数学理解可认为是学习者对数学中本原性、结构性知识进行主动建构，从而达成数学高阶思维的发展过程。同时，学生数学理解对象的核心是概念和关系，为数学理解而教，通过帮助学生对概念与命题的深刻理解来促进学生学习数学的推理证明，已经成为课程标准所提倡的理念‘3]。数学理解是将知识转换为能力的重要桥梁，是一种提升思维智识的途径。有效的数学教学需要教师认真致力发展学生对数学的理解，通过可操作的符号、技能实现学生对数学真理的追求，聚焦于教师的理解性教和学生的理解性学，促进学生学会学习。而不当或肤浅的理解，很容易造成与核心素养有关的教育教学理论或相应实践在思维方面的混乱4]。因此，在当下剖析数学理解下数学学习的生成基础、价值意蕴及发展路径，对教师师德践行、业务拓展和学生身心发展等具有十分重要的理论和实践意义。

一、数学理解下学习的生成基础

概念、命题、推理和证明等构成数学知识与技能的生成逻辑，而数学理解是沟通数学知识与数学技能的有效桥梁。数学理解是一个不断变化的、有序的生态系统，其通过情境创设厘清数学概念内涵与外延，把握数学命题的意义生成，引起认知冲突，通过判断分析、逻辑推理和证明抽象等思维整合并融合知识隔阂，从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[6]。

（一）在数学概念中生成

数学概念是形成知识体系的基本所在。数学概念是一种思维产物，是人脑在对数量关系和空间形式的本质特点进行多次抽象并将其现实对象的真实意义隐藏起来后形成的，是数量具体性与空间抽象性的辩证统一。

1．数学概念使知识质量蕴涵化。理解一个数学概念，必须明确其内涵与外延，并刻画其质的特征与量的范围。在隐喻模式的支撑下，数学学科注重将已有的基础概念构成的源域映射到陌生的难以理解的目标域，寻找并验证其内在表征的契合关系，并以此推进数学理解学习的认知发展持续化。

2．数学概念使内在关系结构化。从数形关系中抽象出数学概念，通过理想化与抽象化的途径使数学纵横概念中的内在联结关系相互关联与融合．完成思维心智过程的传递与交流，从而促进学生提高抽象思维与理解问题表征，并构建有意义的图景或心理表征，以此发展学生的高阶思维能力，推进数学理解中多元知识结构化。

3．数学概念使符号表达奠基化。在数学判断与推理中，数学概念是构成它们的基础。学生根据数学概念的多重属性及符号语言表达模式，通过拓扑结构原则对所有数学结构中的元素加以取舍，将已有的具体概念映射到抽象概念并相互融合，推进数学理解中隐性思维显性化，以此满足学生更高层次的追求。

4．数学概念使要素隐喻模式化。教师要引导学生正确理解并灵活运用数学概念，将数学知识中的公理与定义等具体概念作为理解抽象概念的“脚手架”。源域与目标域的隐喻模式通过对数学概念要素的性质对比、知识嵌套、拓扑结构标记等途径对抽象概念编码，形成与具体概念相关的结构图，激活个体的身体活动和感知经验，促进数学知识逻辑的连接，形成有序的知识结构体系。

（二）在数学命题中生成

数学命题是表达论域中有多少数学对象具有或不具有某种性质或关系。命题通过一定的规则把概念和概念联结起来，从而获得一个完整的思想。数学命题帮助学生掌握数学基本规律，理解数学基本结构，提高解决问题的能力，促进其发展合适的理解方式和思维方式。

1．数学命题使认知实践抽象化。命题通过逻辑方法或经验事实进行分析、证实、判断。实践是命题抽象性的判定标准，学生的思维所依赖的范畴或认知图式根本上是实践活动的范畴或图式的隐性认知，通过实践从而获得揭示命题间的联系并理解命题的过程，帮助学生在数学实践等问题情境中驱动思维，实现认知意义建构。

2．数学命题使知识关系有序化。数学命题通过使命题形成链状，让先行命题为后续命题提供认知固着点，促使学生发现推理关系的枢纽，构成学生的推理及解决问题的基础。数学命题通过命题串联单元网络并形成一定的序化图式，能有效调动学生认知过程中的所知和能知建构体系化认知，有利于学生知识的有序检索和融会贯通。

3．数学命题使逻辑理性合理化。数学命题被视为逻辑理性的代表。学生通过有目的、有意识、能动地改造世界并表达一种主体理性与非理性的隐性预设，而后通过理解内生的逻辑展开命题理性的推理以及思辨性的判断和反思，实现创造性思维与感性具身要素等非理性想象和情感的培育和体验，确保数学命题的正当性以及合理性。

4．数学命题使逻辑意义心理化。命题的学习过程就是命题的逻辑意义向个体心理意义转化的过程[7。数学理解中能持久保持的不是命题本身，而是命题表达的意义。数学命题经过认识主体选择认识对象并抽象加工成思维存在的形式，通过有效的命题关联与建构，逐步抽象化生成新的结构。

（三）在数学推理中生成

数学推理是由一个或几个已知的数学命题判断推出新的数学命题的思维形式。在认识数学的性质和关系的过程中，需要学生基于一些数学概念与命题，作出恰当的理解并进行合乎逻辑的推理。数学推理具有演绎、归纳、类比的性质，具有发散思维、充实猜想、说明论证、扩充知识体系等多方面的功能。

1．数学推理使思维缜密化。数学推理推动学生主动确认问题的本质属性，训练学生心智的活泼自由性，增进其理解事物的逻辑性与敏锐性；同时，在数学推理中运算和思维均不可偏废。复杂的推理不仅需要学生依靠数学公式与数学运算得出结论，还要依靠数学思维运筹帷幄，增进思维的广度、宽度、深度，全面把握问题。

2．数学推理使认知深刻化。从推理的形式上看，数学推理的目的在于通过逻辑上的核实、校对确定命题的真实性，然而对事物的浅显认识往往阻碍了推理的前行。数学推理需要比较、联结、提炼、反思，每一个环节都离不开已有的正确概念、命题与新命题之间的关联，通过联结使学习者对新命题的认同方式从逻辑意义上过渡到心理意义上，逐渐扎根于学生心理。

3．教学推理使品质坚毅化。数学推理的迂回挫折性使学生实实在在地参与到推理的智力活动中，体会在不断辨别、组织、重组中将概念、命题整合成符合逻辑的信息体。在通过实现推理目标的途径中，学生在面临推理失败的情况下依然选择坚持，忍耐力、复原力等卓越属性被塑造。

4．数学推理使知识系统化。代数推理、空间推理、数据推理、综合推理囊括了数学学科中的上位知识和下位知识。在数学推理中，学生把推理过程看成一种“征服对象”，挑选合适的数学知识作为工具完成推理流程，将学习到的零散知识进行加工，梳理知识系统的内在意义、一般过程与思想方法，增强学生对知识的组织判断能力。

（四）在数学证明中生成

数学证明是以一些真实的命题、公理为前提来确定另一个数学命题正确性的思维过程，具体地说是由数学基本概念、命题为基础，从题设条件人手，遵循数学基本逻辑、运算规则，通过逐步归纳、演绎，得出结论的过程，即寻找命题之间的传递性。

1．数学证明使论证过程检验化。一个完整的证明应当包括对命题的论证演绎推理过程及核实命题正确性的检验过程。在论断中，学生将自身对数学概念、命题、公理的理解以“数学文本”的方式呈现；在验证中，对文本自始至终进行完整视域融合上的阅读与检验[10]，由此建立了学生数学证明上阐释性论证与理解性检验的综合统一体。

2．数学证明使认识价值化。数学证明在浅层上带给学生数学知识论的价值，在更深层面具有数学认识与方法论的价值。在数学知识体系不断发展壮大的历史长河中，许多学者以孜孜不倦的探索精神追求运用数学证明、论证诸多数学命题的真实性，并使之成为逻辑自洽的公理体系，形成了猜测、猜想、检验、反例、尝试、反驳等数学证明基本和永恒的品质[II]。

3．数学证明使推理意义化。数学证明以情境化的方式基于学生生活环境的一致性和普遍性与实践元素相结合。人的意向作用是程序运作中的非智力因素，逻辑干扰对其影响不大。从实践角度看，数学证明不是推理意义的固化痕迹，而是找寻数学生命意义的活动，在潜移默化中习得数学推理研究方法，使学生终身受益。

4．数学证明使未知归真化。数学证明是数学发展的必要途径。数学证明在学科意义上是数学与理化自然学科最主要的区别，它对数学学科中对错未知的猜想进行分类：若错误，则弃之；若正确，则将其转化为命题、定理。数学真命题是数学证明的可判性与正确性在数学发展上的应有之义。

二、数学理解下学习的价值意蕴

数学理解既体现为个人发展的内在驱动，也体现为时代需求的外在选择。数学理解不仅仅将新的概念与命题与先前的概念与命题建立联系，而且随着数学理解的不断深入，学生能够通过数学中的推理与证明等对知识构建认知和赋予意义，建立复杂交错的关系，创建一个丰富、整合的认知结构。在情境知识的应用过程中，学生体会和感悟数学学习，并逐步将知识本位的单一课程价值取向转变为数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的多维度、综合性价值取向的心理过程‘12]。本文从意义、关系、能力、情境和认知“一体五面”的角度对数学理解下学习的价值意蕴进行阐述。

（一）意义构建优化学习方式的有效性

从意义角度看，理解实质上是学生结合自身的经验和理论知识，在知识符号代表的社会意义中构建内部的心理表征，进而获得心理意义的过犁13]。从认识论障碍角度看，理解就是领会意义的行动，理解不可避免地涉及在越来越详尽的猜测和证实猜测之间不断发展的解释过程[14]。

1．数学理解通过学生经历复杂艰辛的心智付出并结合自身的经验构建理论知识的过程，赋予学习方式个性化。个体在对知识构建意义的时候，由于自身认知与经验的缺失，学生对新旧信息的处理方式常常取决于自我状态表现，以此对信息进行再理解与再构造，从而实现构建意义与达成自我理解。这里构建意义的过程其实就是人们赋予“经历”意义的过程[15]。这种过程需要赋予知识意义并建立一个具有赋予自我的意义构建，以形成独具特色的稳定的学习风格。

2．数学理解通过学生用自己的语言正确地叙述概念，超越知识浅层，深入刻画知识结构体系，解释概念所揭示的本质属性，构建内在表征，理解知识符号代表的社会意义与形成的单元结构产生思维活动，赋予学生学习思维的意义建构，促进学生对数学潜在问题进行心理加工以及对理性观念的自我创造和澄清。这种自我能保持学生完成教学过程中的基本活动，形成知识取向，这种指向知识的偏好性的行为方式与行为特征有助于学习方式的蜕变。

3．数学理解通过学生重建和完善内在层次的心理意义，最大限度地激发求知欲，赋予知识内核的意义构建，实现学习方式的发展。数学知识体系的构建不但需要学生经过反复的信息加工、细致的深度建构以及复杂的高阶思维掌握全新的知识点与技巧，而且需要学生优化自身偏好性的行为，利用新掌握的知识、技巧处理实际境域中的复杂问题，并重建自己的认知体系，以便对发生根本变化的境域作出适宜的反应。

（二）关系联结突破学习策略的指向性

从关系角度看，学生不仅要把握世界中的一种真实关系，而且要有能力将真实的关系与其他可能却并不存在的关系区分开来[16]，可能关系就构成了“模态空间”[17]。认知者掌握的“模态空间”越大，他对某个对象的理解就越深。

1．数学理解通过学生对数学概念间关系内涵的深刻理解对概念外延的精准掌握以及对概念内部关系的清晰表述来实现，这意味着以概念关系为核心的意义复原与生成过程[18]。构建过程的关系联结规定着数学思维范式的生成方式，这种生成性能保持学生“有意识地将学习方法和技巧运用到学习过程中，并能够对学习过程进行调控”[19]。这种指向过程调控的外显操作过程或内隐规则系统有助于学习策略的突破。

2．在同一个数学概念的各个表征形态之中，或者在同一表征形态的相关概念之中，一旦形成了概念内部表征之间的关联，就会形成理解的知识网络，构建网络的关系联结，从而帮助学生深刻理解数学知识与关键能力的关联，将不同类事物赋予联系。同时在这种关系联结作用下，促进学生从编码系统中，通过过程调控形成具有意义的认知结构，及时调整学习策略，把握知识所蕴含的思想方法、理性品质以及精神价值。

3．学生在数学学习中由浅入深地理解数学网络知识之间的内部表征和现有学科知识网络与数学相关信息之间的交叉表征，能帮助学生顺利进行知识迁移，并提高学生对数学的理解。对某个数学概念、方法或事实彻底地理解，需要多方位、多角度、多维度地把握数学关系，使它和现有的网络以更强的或更多的联系相联结[20]，这样有助于学生获得更好的学习策略。

（三）能力确立达成学习动机的自我性

从能力角度看，数学理解是一种结构化的学习能力，是在学习过程中表现出的认识数学的个性特征[21]。学生在学习数学时获取结构化的数学关键能力尤为重要。关键能力是指个体适应生活情境需求所不可或缺的知识、技能和态度，是可持续发展的关键，是与“专业能力”并行的两大“职业能力”影响因素22]。本文所说的关键能力主要是指向能力、基础能力、高阶能力。

1．指向能力确立激发学习需要的生成。通过应用演绎、归纳和类比进行推理、分解、组合，帮助学生寻找与设计合理的学习手段，从学科视角对接学生能力中的认识能力、合作能力以及创新能力[23]，构建指向能力。同时，通过对情境以及与之关联问题的探索，引起认知冲突，引发思辨，利用情感促进数学学习，使之更符合学生认知的心理发展规律，激发学生对数学学习的需求。

2．基础能力确立诱发学习期待的愿景。学生通过数学理解对数学知识结构化、网格化与泛在化等产生大量的情感联系，并由此促使学生形成表达数学概念与情境的能力，而这些能力都与某种普遍性的、生成式的和特定表征的数学现象互相联系，对推理、推断、迁移与应用等都至关重要，是人的认识发展过程以及人类整个智力发展进程的重要基石。同时，通过数学课程的学习，培养学生形成数学层面上发现、提出、分析、解决问题的连贯性能力，使学生能够更好地理解和应用问题所蕴含的潜在数学知识，产生解决较高难度问题的心理期待，激发学生继续学习的愿景。

3．高阶能力确立构建学习动机的达成。数学实践活动能影响学生的学习效率、心理倾向，使学生掌握处理数学问题的技能，并在不同的教学情境中获得理解、判断的相关能力。在高阶能力的构建中，培养学生能够以数学之视发现问题，以数学之思分析问题，以数学之语表达问题，将知识转化为抽象思维、逻辑能力，以此来达成学习动机，从而实现学生必备品格与核心价值观的培养，为知识的深度理解与实践创新提供动力源。

（四）情境践行改善学习态度的养成性

从情境角度看，数学理解是人们在共同的情境化的社会实践中持续协商产生的，通过主体对客观结构的心理运算，形成一种整体的、动态的、层次的、超验回归的心理过程[24]。要创设良好的数学课堂情境，需要教师对情境价值有深刻的领会和理解‘25]。“情”就是课堂中因为问题而产生的情感氛围，“境”就是由问题建构的一个学习域[26]。

1．真实情境孕育探究态度。通过人的思维活动与行为所赖以依存的真实世界中的情境，营造一个让学生更愿意全力投身探究本原问题的氛围，引导学生从不满足于已有的答案或结果出发积极探究全新的问题，寻求更富有可能性解决问题的思维方法，培育创造精神，形成不断探索的态度。

2．协商情境稳固态度内涵。意义是学生内在的认知结构与新认识的心理表征的联系，是人们在共同的情境化的社会实践中持续协商产生的，是主体对客观结构的心理运算。构建协商的情境，学生会经历数学认知发生的情境，感受认知生成过程中的情感态度，获得丰富的感性体验与系统科学的数学认知。这种情感能让学生对学习保持较为持久的肯定或否定的行为倾向，铸就稳定的认知态度。

3．现实情境提供态度改善的实践场。数学理解在实践场中通过观察猜想、归纳推理、类比联想、关联化归、概括反思等一系列思维形式，使学生获得发展。在这一实践场中，学生的认知、技能、经验、情绪、动机、价值观、情感等构成了数学理解的情境。从情感角度看，学生对学习数学的担心、惧怕、忧虑、信心、动机以及认同与归属感等体验，可以通过数学理解改善数学学习态度。

（五）认知默化发展学习智慧的生成性

从认知角度看，数学理解是一个认知内在默化的心理过程，是将新旧知识进行主动联系的过程，在这个过程中一个静态的概念被获得并应用[27]。在数学教学中，认知的内部表示和外部表示构成了理解的框架，理解是一种认知状态。在布卢姆看来，教育的六种认知过程是对知识保持与迁移的过程[28]。

1．从数学知识的最初状态到数学关键能力的获得，数学理解不仅帮助学生理解数学符号、概念、公式与定理，而且把具有抽象性和逻辑性的数学知识结构与具有学生感知、记忆、思维和想象的心理结构融合起来，帮助学生将数学知识整体化、有序化与网络化，获得具有整合的认知结构，突破现有学习框架的束缚，实现学习智慧的可能。

2．学生以原有数学经验、信念为背景自己去建构知识，在开放的学习环境中，主动、自主地选择学习内容，全面深刻地理解数学的性质、规律以及内在本质，将零散、混杂、无序的数学知识进行关联化、结构化和模式化，实现对数学知识领域松散型主题的融通以及数学基础知识、关键能力、核心价值观和学习智慧的共生，促进数学的科学、审美、文化和应用价值的统一，实现学习智慧的可生。

3．在数学学习过程中，学生不断调控自己的情绪、策略、技能等，结合自己的感知、记忆、思维、想象和言语了解心理、意义赋予的形成机制，构建具有可利用、可辨别、稳定的整体知识结构，培养高水准达成自我境界的综合能力。了解学习本质和概念，将知识转化为智慧和能力，在具体的学习情境中选择合适的认知与有效的学习策略，并将知识迁移到新的学习情境中，实现学习智慧的可用。

三、数学理解下学习的发展路径

数学理解是一系列思维活动，是思维主体在宏观和微观上了解思维认知结构、多维度把握数学关系、对认知意义进行深度赋予的过程。通过数学设计、数学抽象、数学探究、数学反思、数学情境等路径发展数学理解能力，实现概念结构化、命题系统化、推理严谨化与证明有序化，将它们连成线、铺成面与结成网，从而培养学生学会学习。

（一）数学设计生成数学理解中学习的有效性

数学学习在发生机制上体现为充满好奇心与想象力的沉浸式学习，在行为进程上呈现为研究知识关系与结构的理解性学习。这种理解的发生是通过设计获得应用知识或信息加工的过程，在分析语言和心理的变化过程中重构本来意愿。数学设计指向数学理解的技术结构层面，是发展的有效环节。

1．生成结构中的数学设计。数学设计指向知识的学习必须是结构化学习，因为只有在内容结构化中进行的问题处理才能够提升学生的基本技能与必备素质。因此，每一个单元教学设计需要从思考期望学生“学会什么”出发，到证明“学生何以学会”，最后在“实现理解”的实践活动中获得新的数学知识与技能。

2．生成整体中的数学设计。数学学科独特的逻辑性表明，零散的数学知识在抽象思维的带领下可以透过其背后的隐喻来探索其关联性，认清知识系统内部有序的推论。数学设计促进数学理解发生的教学过程是围绕一定整体性的单元知识展开的，鼓励学生从被动学习走向主动学习，潜在地推动学科内在知识体系的构建，实现知识的延展创造。

3．生成发展中的数学设计。学生是发展中的人，随着学生心智的发展，已有经验将不再满足学生的需要，因此教学设计要处于不断的发展变化中。数学设计引导学生体悟知识发展的动因，满足学生发展的需求，在大单元、大概念、大学科导引过程中突出学生未来发展的需要，强调学习兴趣和爱好养成、学习信心增强、学习观念提升、学习习惯培养、学习热情激发等，以发展自主学习的能力。

4．生成交互中的数学设计。数学教学的发生是双边交互的过程，是教师的教与学生的学统一的过程。数学设计旨在促进数学理解在师生数学活动互动中生成，通过教师对数学资源的引导，满足学生对认知和自我实现的需要，有利于学生自主学习动力的内生。

（二）数学抽象强化数学理解中学习的核心质

数学理解需要学生在抽象思维中沉浸式理解数学本质，目的是激励学生不断探索、创新，并掌握知识的意义和价值，力求让学生做到学习知识不浮于表面低层次的外在表征，能深入本质通达高层次的内部表征。数学抽象指向数学理解中学习价值的思维结构层面，是其发展的核心特质。

1．强化归纳中的数学抽象。归纳是从特殊到一般原理的思维方式，是学生总结提炼经验的过程。通过对数学对象特例的分析，比较、判断数学对象具有普遍本质和规律，让学生学会从量或形的视角，去观察、理解现实的思维对象，从而使个体在数学思维活动中获得对心理意义的深刻认识和对数学问题的深度理解。

2．强化演绎中的数学抽象。演绎是由一般到特殊原理的思维方式，是寻求前提与结论之间充要条件的过程。通过假设命题运用逻辑规则假设另一个命题，利用层次性、理想化、形式化、符号化等手段抽象提取本质属性，从而产生创造性的数学思维，达成学生逻辑思维与直觉思维的统一，帮助学生形成有意义的、自我反思的数学学习状态，远离固化的、机械式的浅层学习。

3．强化类比中的数学抽象。类比是从未知与已知的比较出发推测知识属性的一致性或相异性，是平行性思维迁移的过程。通过对数学知识间主要性质特征的推理，在探究知识之间联系的过程中理解新知，经由自主思考、提出质疑、争辩讨论来促进知识的裂解、聚合和迁移，将学生培养成善于独立思考、敢于质疑、能够批判地进行分析和评价、主动地建构知识体系、灵活地处理问题以及创造性地解决问题的高素质人才。

4．强化直觉中的数学抽象。直觉是人的大脑不经过分析推理而对事物的直接感觉，是知觉的直接洞察。通过在以往数学经验理解的共鸣中探寻数学真理的本质而产生的直觉，有利于学生不受传统思维的禁锢，从整体上把握数学问题，掌握数学的精髓，为解决数学问题提供预见性的指引，展示数学思维的前瞻性。

（三）数学探究夯实数学理解中学习的途径源

理解问题需要知识相互整合，涉及各科知识以及不同知识收集手段的融合。数学学习要求学生在多个知识之间展开联系和探究，把现有的认知转化到全新的情境中，以达到对数学知识的理解与持续掌握，获得数学关键能力的发展。数学探究指向关系联结下数学理解中学习价值的实践结构层面，是学生发展的重要途径。

1．夯实能动中的数学探究。学生的能动性主要体现在从传统的知识接受者向自觉的学习主体转变，是学生主体对外部数学知识的刺激做出的积极应答。数学探究帮助学生在问题解决的过程中，基于已有的认知自主地思辨、质疑与审视、批判，发挥主观能动性促进数学理解发生，并有效结合外界学习任务，形成对一个有着共同特点或相似特性的知识点群之间的关联性理解。

2．夯实问题中的数学探究。数学问题是学生在数学活动中通过已有经验而无法解决的情景状态，是激发学生探讨的对象。数学探究帮助学生通过探究型的教与学，揭示数学概念和定义的本质与非本质关系，运用发散思维将数学知识间所蕴含的多个深层关联进行延伸并拓展深化，逐步加深对问题的认识与理解，激发解题的兴趣、拓宽解题的思路，促进对问题的深度理解。

3．夯实迁移中的数学探究。数学迁移是学生新旧知识之间的连接，是一种学习对另一种学习的影响。数学探究帮助学生将传统碎片化、封闭的知识结构，变为系统性、连贯的知识结构，并通过思维演绎、提取应用和知识创新，将知识和方法迁移到真实情境，让新知情境成为问题求解的主体，为学生指明了由熟知情境到陌生情境的认知转化。同时，在学习过程中形成的行为规范和价值观以不同形式迁移到日常生活中，形成良性循环。

4．夯实应用中的数学探究。数学应用是学生解决问题时数学实用价值的体验，是数学学习的根本目的。数学探究帮助学生在现实生活情境中理解、思考数学问题，分离生活元素与数学元素，构建数学模型，深入挖掘数学本质，从而找到数学应用核心，理解数学的社会意义与抽象意义，增强责任意识与学习活力，为人类发展做出贡献。

（四）数学反思聚焦数学理解中学习的审视域

教师在评价反思中提高教学质量，在教学反思中改进教学对策，通过交流与反思不断超越自我，将反思教学实践落实到课堂、落实到学生，实现数学真正的理解。数学反思指向数学理解中学习价值的能力结构层面，聚焦数学理解中学习的审视方式。

1．聚焦体验中的数学反思。数学反思是基于当前教育对学生学习体验与参与、品格与价值观以及情感缺失的回应，是心灵的反观自照。学生通过体验用数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，再对问题进行探究形成批判认知，最终形成独立思考、分析和解决问题的能力。反思体验的实质是学生对数学问题的再思考、再剖析，在论证、求解的基础上，实现数学知识到数学情感的升华，培养对数学学习的积极态度。

2．聚焦评价中的数学反思。数学反思需要考虑学生的个人情感、行为态度与价值观，采用持续性的评价方式对学生数学学习的目标进行合理评价，保证对学生形成适时的、及时的、不间断的监控和管理，以直观简洁的数学语言向学生解释和表达数学的概念、结论、应用以及思想方法。对评价的反思也可以促进评价方式的多元化，打破仅靠试题形式的评价手段，实现对学生知识、能力、综合素质的多方面考量，促进“五育并举”的人才培养。

3．聚焦批判中的数学反思。数学批判是学生独立分析、敢于否定思维品质的体现，是凌驾于学生本身知识储备之上的一种质疑精神。数学反思不仅是一种面向理解基本知能而采用比较判断与甄别抉择的学习方式，更是学生对自己思维过程及结果进行批判洞察与移情体验的再认识，能促进学生高阶知能的发展、迁移和生成，在假设猜想、实际操作、实践验证与回顾总结过程中，形成具有批判性、创造性与元认知、复杂心智特征的高阶思维能力。

4．聚焦监控中的数学反思。数学监控是以学生数学活动为对象，进行自觉的计划、检验、调节和管理，是元认知领域的范畴。数学反思不仅是一种由结果指向的反思，更是一种过程性的反思。学生自发对数学活动各个时期进行监控，能刺激反思频率的增加，促进学生在不同知识的纵横对比中及时补充、修正，加深对数学知识的洞察，在反思中不断进步、不断收获。

（五）数学情境承载数学理解中学习的情感场

数学学习理论提倡数学教师对教学内容进行情境化，在复杂情境中把握知识之间的关联，在实际情境中发现、提出、分析与解决问题，感悟数学本质，引导学生理解学习内容与过程。数学情境指向情境践行下数学理解中学习价值的情感结构层面，是学生发展的情感承载。数学情境的主要任务就是把已知数学关系转化为需要探索的未知关系并置于实际背景中，其核心在于激发学生的问题意识，形成问题空间，引发学生的数学思考。

1．承载本真中的数学情境。数学本真中的情境是数学活动在生活中所涉及的实际问题和对环境的真实反映，是数学在社会发展中的现实缩影。数学情境是通过交互活动产生的真实情境，而不是抽象或符号化的虚拟情境。在实际情境中应用知识，将会引起认知冲突，引发思辨，通过判断分析、逻辑推理等思维培养学生的数学理解能力。

2．承载实践中的数学情境。在实践中，教师通过努力追求自身成功或展现个人能力来理解和改变环境。一切实践情境从其本质来看都是存在能动机制的人进行实践活动的情境，是蕴含人的能动性过程的实践情境。在教学中，教师通过自己的积极情绪调动学生的学习状态，运用自己的知识、技能和方法等创造性地解决问题，达到最佳教学效果[32]。

3．承载生活中的数学情境。生活是数学概念、命题、定理产生的背景，正是生活的需要催生了数学的发展。数学情境通过生活将数学思维转化成现实中的实例，发展学生思维的灵活性、解放性，打破数学学科孤立知识的壁垒，促进多学科领域情境的结合，培养学生的跨学科意识。

4．承载情感中的数学情境。情感是个体在数学活动刺激下产生的复杂心理反应，是学生心灵的真实写照。数学情境利用情感促进了数学学习，使之更符合学生认知的心理发展需求。情感是发生在数学学习过中的内驱力，不但涉及个人外显的情感行为，更符合个体内在的心理活动，愉快的情感可以创设更好的数学教学环境，从而推动数学理解的再生。

综上所述，数学理解在数学学习过程中彰显了重要的引领作用。在数学理解下的数学学习是一个复杂且内隐、多维的心智过程，是学习基础生成、学习价值涵育、学习途径探寻的核心，是实现高质量数学育人、高水平数学教学以及人才培养的必要条件。同时，数学理解赋予数学学习高阶性、创新性、铸魂性，使学生从中获得理解及自主学习的能力，享受数学创造中的乐趣，达到内化核心素养、外化数学精神的教育目的。

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（责任编辑：彭文彬）

Generation Basis， Value Implication and Development Path

of Learning Under Mathematical Understanding

WU Renfang ZHAO Binru

（Department of Mathematics and Statistics， Hunan Normal University， Changsha， Hunan， 410081， China）

Abstract： Mathematics learning is an effective pathway for leamers to acquire mathematics knowledge and ability，and it is the central issue of mathematics education. Based on the perspective of mathematical understanding， this studyconstructs the generation basis of mathematical leaming from mathematical concepts， propositions， reasoning， and proofs，nurtures the value implication of mathematical learning within the mathematical meaning， relationship ， ability， context， andcogjiition， and explores the development path of mathematical leaming through mathematical design， abstraction， inquiry，reflection， and context， so as to meet the needs of effectiveness， core quality， approach source， review field， and emotionalfield in mathematics leaming.

Key words ： mathematical understanding ; mathematical leaming; mathematicl situation; methematicl design