数形结合法在初中数学解题中的应用技巧

张凤鲜

【摘要】初中数学以研究问题的数量关系与空间形式为主，重视发展学生数学思维.指导学生明确“数”与“形”的内在关联，使学生学会用“以形助数”“以数解形”等技巧解决数学问题，可提高学生的问题分析、求解能力，促进学生思维发展.文章展开论述了数形结合法的内涵及应用意义，探讨了数形结合法在初中数学解题教学中的应用策略，在具体解题过程中的应用技巧，旨在开阔学生学习视野，提高初中数学解题教学质量.

【关键词】数形结合法；初中数学；解题；应用技巧

引 言

数学解题教学是数学教学的重要构成，对于巩固学生基础知识，锻炼学生逻辑推理、数学抽象、建模应用能力有积极意义.《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“避免死记硬背、机械刷题”，倡导教师引导学生结合数学概念、性质、关系、规律探索数学问题的解题技巧，发展学生的数学思维.数形结合法巧妙地将代数、几何解题方法融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”等方式将复杂数学问题转化为可直观分析、精准计算的数学问题，从而帮助学生快速解题.新课标背景下，教师有必要探索数形结合法在初中数学解题中的应用技巧，并指导学生学习，在提高学生解题能力的同时发展其数学思维.

一、数形结合法概述

（一）数形结合法的含义

数形结合法以“数”与“形”的对应关系为依据，通过转化问题形式达到解决问题的目的，是一种重要的数学解题方法.数形结合法通过“以形助数”“以数解形”的方式简化问题，使抽象、复杂的难题变得简单、直观，以便于帮助学生把握数学问题本质，体会数学解题的规律性与灵活性.数形结合法一般被用于解决数学问题，通过将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，使学生的抽象思维与形象思维达到和谐统一的状态，从而提高学生对规范图形、代数式的观察分析能力，帮助学生顺利解决问题.实际解题中，数形结合法的应用大致可分为两种情形：第一，借助几何图形的直观特征阐明数之间的关系，达到解题目的.比如，应用函数图像直观说明函数的性质，判断函数的最大值、最小值等.第二，借助数字、公式的精确性与严密性阐述几何图形的某些属性.比如，借助勾股定理公式阐释直角三角形的三边关系等.

（二）数形结合法的应用价值

首先，有利于提高学生理解水平.初中数学理论教学内容具有抽象性.学生只有经历数学理论的形成过程，才能领会其内涵，同时将数学理论合理应用到数学问题解答过程中.应用数形结合法，教师可以指导学生在直观观察图形、推理数学公式的过程中总结数学规律，抽象数学原理，提高学生的理论理解水平.比如，在勾股定理部分的教学中，教师通过出示“毕达哥拉斯家的地砖图形”指导学生用代数公式表示直角三角形三边平方的关系，使学生在“以数解形”的过程中探究数学原理，提高学生对相关知识的理解水平.

其次，有利于提升学生解题能力.数形结合法可实现“数”与“形”的灵活互化，避免学生从单一角度出发解决问题，丰富学生的解决问题途径.比如，解决比较两个一次函数中y值大小的问题时，教师可指导学生将两个一次函数的解析式代入数值，运算后求值、比较大小；教师还可以指导学生应用描点法画出两个一次函数的图像，通过观察图像比较y的大小.

二、数形结合法在初中数学解题教学中的应用策略

数形结合法主张“以形助数”“以数解形”，应用“数形结合”的思想分析问题、解决问题，是一种直观观察与抽象分析并重的解题方法.要在初中数学解题教学中指导学生应用该方法解决复杂问题，就要培养学生良好的解题思维.初中学生思维发展具有递进特征，教师应当按照其思维发展特征组织直观演绎教学、合作讨论教学、练习应用教学等多种教学活动，由此逐步激发其抽象意识，培养其逻辑思维，提升其解题能力.下面，文章将结合人教版初中数学解题教学案例，说明数形结合法在初中数学解题教学中的应用策略.

（一）直观演绎，激发数形结合意识

数形结合法具有应用直观几何图形、位置关系表达抽象数量关系的特点.根据该特点，教师可以在解题教学中组织演绎教学活动，使学生认识到此方法的简便性，激发学生“以数解形”“以形助数”的解题意识.

（二）组织讨论，发散数形结合思维

注入式教学会限制学生的思维，造成其无效学习.要在初中数学解题教学中有效发挥数形结合法的育人作用，需要教师应用生本教学方法代替注入式教学方法，由此发散学生思维，促进其有效学习.为此，教师可以在解题教学中组织讨论活动，通过师生讨论、生生讨论激活学生的具象思维、抽象思维，同时引导学生从不同角度出发分析数学问题，久而久之可提高学生的数形结合思维水平.

以人教版八年级数学下册“勾股定理”一课的解题教学为例，教师可以出示问题，并组织学生讨论：

例2 如图2所示，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30，求BC的长.

围绕此例题，教师可先提出问题驱动学生思考直角三角形的构造，之后通过组织学生合作讨论发散学生的抽象思维、联想思维，使学生联系勾股定理的代数、几何知识构造直角三角形（见图3），在讨论中求出BC的长.

这样，通过组织讨论发散学生的逻辑、抽象、几何直观思维，使其在讨论中形成绘图构造数学模型、代入数值解决几何问题的数形结合思维.

（三）练习应用，锻炼数形结合能力

“实践出真知.”在初中数学解题教学中组织课内练习、课外练习等多种练习活动，可为学生提供更多实践机会，确保学生在实践中感悟数形结合法的应用优势，同时总结其应用技巧.实际教学中，教师可以先组织学生应用数形结合法解答典型数学问题，再组织其解答变式问题，让其在应用此方法解答多种类型数学题的过程中积累更多解题经验，从而提升数形结合能力.

这样，通过组织学生依次应用数形结合法解答典型例题、拓展例题巩固学生解题学习成果，同时锻炼学生举一反三的迁移思维，确保学生形成应用数形结合法解决初中数学难题的关键能力.

三、数形结合法在初中数学解题中的应用技巧

数形结合法可被用于代数问题、几何问题、统计问题等的解题过程中，通过“以形助数”“以数解形”的方式化简问题，求得答案.下面，文章将结合具体例题，分析数形结合法在数学解题中的应用技巧，以供参考.

（一）解代数问题的应用技巧

解题过程 分别求出两个不等式的解：x-1<0，解得x<1；x+1>0，解得x>-1.使用数轴画出两个解（如图5所示），确定两个不等式解的集合，得到答案：-1

技巧分析 此问题以不等式组的解集为考点，可运用不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大大小小中间找，小小大大找不到”解决.考虑到一些学生记忆力不佳，存在漏记、错记问题，可应用数形结合法，将不等式组内各不等式的解在数轴上表示出来，确定不等式解的交集部分，从而得到问题答案.

（二）解几何问题的应用技巧

例5 如图6所示，在Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1=55°，则∠2=（ ）.

A.55° B.45° C.35° D.25°

解题过程 根据已知信息，联想平行线的性质与直角三角形内锐角互余的知识点，观察图形，进行推理：

因为a∥b，

所以∠1=∠ABC=55°；

又因为∠ABC+∠2=90°，

所以∠2=35°.

技巧分析 此题以平行线的性质、直角三角形的性质为考点，数形结合法是解题关键.先对应题目给出的信息找到相应角，再结合观察确定∠1的内错角，结合“两直线平行，内错角相等”这一性质得到∠ABC的角度，再结合“直角三角形的两个锐角互余”这一性质进行数学运算，得到∠2为35°.

（三）解统计问题的应用技巧

例6 某市体育局对某运动队的某体育项目进行测试.测试后队员的成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据测试成绩绘制尚不完整的统计图（见图7）.

技巧分析 此问题以条形统计图、扇形统计图与中位数、平均数为考点，要求学生综合统计图给出的信息、统计知识解决问题.用数形结合法解决此类问题时，需先识图提炼重点信息，再应用统计模型列式计算，得出问题答案.为保证解题正确率，得到答案后还可将数值代入图形，看是否匹配.

结 语

初中数学解题教学肩负着夯实学生基础知识，锻炼学生解决数学问题能力的重任.初中数学教师应明确数形结合法的含义，在解题教学中指导学生学习数形结合法的一般应用策略，逐渐提高学生的解题能力.

【参考文献】

[1]杨霞，杨其，金晓玲.探究数形结合思想下的初中数学解题策略[J].新课程，2022（41）：82-84.

[2]王立仁.借助数形结合思想破解中考题：中考数学压轴题解题技巧分析[J].现代中学生（初中版），2022（22）：29-30.

[3]周维.数形结合在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2022（22）：33-34.

[4]吴燕琴.数形结合思想下的初中数学解题方法研究[J].数学大世界（上旬），2022（10）：59-61.

[5]张嘉铭.数形结合下初中数学典型题解题策略探究[J].数学学习与研究，2022（25）：158-160.