对高三数学二轮复习中的解题教学的几点认识

杨春雷

［摘  要］ 解题教学是高三二轮复习的重要组成部分之一. 在二轮复习的解题教学中，教师应精心挑选题目，合理创设问题，让学生在问题的引导下去思考、去探索、去建构，从而在巩固一轮复习成果的同时，帮助学生建构完善的知识体系，有效提高学生解决综合问题的能力.

［关键词］ 解题教学；二轮复习；教学品质

在高三二轮复习中，不同学校、不同班级所采取的复习方式有所不同，大体可以分为两类，一是以知识模块为专题，通过模块化的方式再复习各章节的重难点内容；二是以数学思想方法为专题，通过数学思想方法的渗透帮助学生认清数学本质，完成知识的梳理与巩固. 无论是以知识模块为专题，还是以数学思想方法为专题，其实都离不开习题，因此習题的设计与讲解是提升二轮复习质量的“法宝”. 在实际教学中，教师应从学生实际学情出发，精心挑选例题，并在此基础上优化例题讲解方法，坚持“以生为本”的教学理念，重视学生主体性的激发，以此打造高品质复习课堂. 不过，在实际教学中，部分教师为了追求课堂的“速度”和“容量”，忽视了学生在课堂教学中的价值，常常通过“强塞”和“硬灌”的方式将自己认为的“最优”方案传给学生，这样不仅不利于学生理解，而且容易将学生带入“题海”，影响教学效果，制约学生长远发展. 因此，在教学中，教师要转变传统观念，既要发挥教师的主导功能，又要发挥学生的主体作用，从而在“主导”和“主体”的协调发展中提升“教”与“学”的品质.

笔者在二轮复习时，致力于习题的设计和讲解，通过设问、变式、小结等实践活动来优化例题讲解质量，有效激发学生的潜能.

精挑细选，减负增效

在二轮复习中，对例题的选择应遵循“小巧精练”的原则，将题型小、结构巧、覆盖广、思维活的相似或相关问题串联起来形成专题，通过基础性训练和发展性训练相结合的方式培养学生的“四基”，提高学生解决问题的能力. 教师作为课堂教学的主导者，讲解重点不是单纯的解题过程，而是引导学生把握题目的本质和核心，挖掘题目中蕴含的思路和方法，让学生在自主探索的过程中将知识转化为技能，有效提高解题能力.

例1较为简单，从练习反馈来看，大多数学生运用代数法就能得到正确答案. 不过，若仅是就题论题，则难以发挥本题的教学价值，因此笔者带领学生挖掘题目背后的信息，以此丰富学生的解题经验，优化学生的认知体系. 在讲解过程中，笔者没有直接点评学生的解题过程，而是带领学生分析问题的背景：从代数角度分析，一次方程ax+by=1和二次方程x2+y2=1组成的方程组有解的充要条件为a2+b2≥1；从几何角度分析，直线ax+by=1与圆x2+y2=1有公共点的充要条件为a2+b2≥1. 不过，例1中的直线是以截距式的形式给出的，而圆是以动点M（cosα，sinα）的形式给出的. 分析至此，笔者鼓励学生重新思考解题过程. 经过几分钟的独立思考，学生发现了不同的解决方案，其效果出乎笔者意料. 在这一过程中，通过对知识背景的挖掘发散了学生的思维，让学生掌握了问题的本质，虽然其占用了一些时间，但是开阔了学生的视野，使学生的创造性思维能力得到了锻炼.

在高三解题教学中，其重点不是追求题目的“新”与“难”，而是重视学生对问题本质的理解. 学生只有掌握了问题的本质与核心，才能以不变应万变，有效提高解题能力. 因此，在实际教学中，教师应多带领学生去探寻问题的知识背景，以此培养学生举一反三的能力.

设置专题，融会贯通

部分教师认为，提高解题效率的唯一途径就是“刷题”，唯有“多做”才能快速地形成解题思路，高效解决问题. 但是要知道“题海”无边，在复习过程中有无数的高考真题和模拟题，若盲目“刷题”势必出现低水平重复，这样既会增加学生的学业负担，又收获甚微. 其实，提高解题效率的关键不在于“量”，而在于“质”，要引导学生“学会做题”，从而达到“解一题、会一类”的效果. 为了提高解题品质，教师在例题讲解时可以将类似的题目放在一起进行讲授，这样通过对比分析不仅可以给学生留下深刻的印象，还可以提高解题效率. 例如复习“函数的零点”时，笔者以专题的方式进行集中讲授，以此让学生对此类问题形成深刻的认识，完善认知体系.

例5 已知函数f（x）=－x2+8x，g（x）=6lnx+m. 是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有3个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

以上例题是笔者精心挑选的几道典型习题，其题型和解法都具有一定的代表性. 这样通过不同方式加以呈现，让学生明白此类问题的特点：①所涉及的函数既可以是具体函数，又可以是分段函数，还可以是复合函数等；②审题时要注意对“存在零点”“有零点”“有几个零点”等关键词的理解；③常用的解题方法为数形结合、零点定理等，尤其在解决零点个数问题时一般需要画图观察. 这样通过一类问题的分析，帮助学生找到解决此类问题的常用方法.

巧设问题，引领复习

在二轮复习中，常常出现远离课本的情况，因为部分教师认为，在一轮复习时已经对课本内容进行了重点讲解，若二轮复习再以课本为依据，则难以调动学生学习的积极性. 为此他们更喜欢在各类复习资料中寻找新题、难题，以期通过变化的题目来开阔学生的知识面，达成巩固一轮复习成果的目的. 但课本是复习的重要依据，若在复习时远离课本势必引起教学目标的偏移，影响教学的最终效果. 那么如何发挥课本价值，提高课本的吸引力呢？笔者认为，在实际教学中，教师应该认真地研究课本，通过创设问题串来彰显课本的逻辑魅力，从而让学生的思维在问题的驱动下走向深处. 例如复习“向量的三点共线”时，笔者充分挖掘课本资源，通过创设问题串引导学生进行有效复习.

例6完成证明后，笔者又引出了课本中的一道原题：

为了发挥例题的示范功能，发散学生的数学思维，在完成以上两个例题的解答后，笔者对其进行了拓展延伸，通过变式进一步挖掘题目背后的价值.

在复习中，教师应从学生熟悉的课本内容出发，把层层递进的问题串联起来形成专题，帮助学生从整体上把握知识. 对于变式题，学生有既熟悉又新鲜、既触手可及又深不可测的感觉，可以引导学生通过沉思，积极探寻解决问题的方法. 上述两道教材例题让学生独立完成，两道变式题引导学生合作完成，让学生通过互动交流发现解决问题的突破口，顺利解决问题. 当然，在探究中，教师要给予一定的指导，避免学生因走错路而挫伤学习信心. 当学生完成变式题的求解后，教师还应引导学生对问题进行比较分析，将变式题中获得的结论与原认知结构相融合，将知识、方法、经验统一起来，形成新的认知结构.

在日常教学中，教师要认真研究教材，通过合理的整合和拓展来开阔学生的视野. 同时，为了诱发学生思考，教师要结合学情创设问题，从而让学生在问题的驱动下学会思考和探索.

合理引导，落实“四能”

数学学习离不开解题，其关系着知识的巩固、技能的提升、能力的培养和思维的发展. 在解题教学中，要打破传统的“灌输”模式，为学生提供一个可以展示思维能力的舞台，教师可以创设一些启发性问题用来提高学生的参与热情，提高学生学习的主动性和积极性，使学生的思维能力和心理都能得到和谐发展.

例8 若实数a，b，c，d满足（b+a2－3lna）2+（c－d+2）2=0，求（a－c）2+（b－d）2的最小值.

审题后学生感觉已知条件太少，字母太多，由此产生了畏难情绪. 此时教师要做的不是给学生解题过程，而是培养学生敢于直面问题的勇气. 为了让学生能够自己找到解决问题的出路，教师可以创设引导性问题帮助学生厘清思路. 那么思路从何而来呢？笔者认为，应该从已知和结论的联系上来. 基于此，笔者设计了如下问题进行引导：

（1）（a－c）2+（b－d）2有何特点？由此你联想到了什么？

设计意图 引导学生由数思形，联想到（a，b）与（c，d）两点间距离的平方.

（2）（b+a2－3lna）2+（c－d+2）2=0有何特點？

设计意图 引导学生换元，从而将条件转化为x2+y2=0的形式，得到x=y=0，即c－d+2=0，b+a2－3lna=0.

（3）c－d+2=0对于点（c，d）意味着什么呢？

设计意图 引导学生联想到点（c，d）在直线x－y+2=0上，同时联想到点（a，b）在函数y=－x2+3lnx的图象上.

（4）通过以上分析，本题的本质是什么？

设计意图 通过以上问题的逐层分析，帮助学生认清本题的本质，即求曲线y=－x2+3lnx上的点到直线x－y+2=0的最短距离.

（5）若满足以上条件，则此时曲线y=－x2+3lnx上的点应在什么位置？

设计意图 引导学生借助经验发现过该点的直线是y=－x2+3lnx的切线，且与直线x－y+2=0平行.

（6）该题与教材中的哪类问题类似？

设计意图 引导学生回归教材，通过联想教材中相似的问题来寻求解决该题的突破口.

将复杂的问题拆分成若干个“起点低、梯度小”的小问题，让学生通过小问题的解决逐渐发现问题的本质，找到正确解决问题的方法. 在实践教学中容易发现，学生融会贯通的能力相对较差，因此教师在讲解问题时不要急于求成，而应遵循循序渐进的规律，通过由浅入深的问题来降低思维的难度，让学生分析和解决问题的能力在潜移默化中得以提升.

归纳小结，完善认知

在高三二轮复习中，大多数师生喜欢埋头苦干——学生拼命做，教师卖力讲，忽视了归纳小结的价值，使得学生做得苦，教师讲得累，收获却甚微. 其实归纳小结既是重要的学习方法，又是学生应具备的学习习惯；既是一个整理思路的过程，又是一个吸收知识的过程，还是一个数学抽象的过程. 其有利于学生学习能力的提升，有利于学生核心素养的落实.

总之，在高三二轮复习中，教师既要精心挑选例题，又要合理设计问题，通过由浅入深的问题来启发学生的思维、激发学生的潜能，让学生的学习能力和思维能力在独立思考和合作探究中稳步提升.