APOS理论指导下的数学概念教学

张琦

［摘  要］ 概念是构建数学知识体系的核心，正确理解概念是掌握数学基础知识的前提. 研究者以APOS理论为指导设计“组合”概念教学，让学生全面、深刻理解概念的同时，完成知识点的自我建构，切实提高学生的数学能力，发展学生的数学素养.

［关键词］ 概念；APOS理论；自我建构

概念具有高度的抽象性. 为了让学生正确理解和掌握概念，教师应结合教学实际创设有效问题，让学生通过问题的探究与解决获得正确的认识，形成深刻的理解. “排列与组合”既是高中数学教学重點，又是高中数学教学难点. “排列与组合”是处理随机抽样计算的基本方法，其在生产生活中有着广泛的应用价值. 不过“排列与组合”的思想方法与以往所学的知识完全不同，因此为教师的“教”和学生的“学”带来了压力与挑战. 笔者在教学“组合”概念时，以APOS理论为指导进行教学设计，取得了较好的教学效果，现将教学设计过程呈现给同行，供参考.

APOS理论概述

20世纪80年代，杜宾斯基等人针对学生学习特点提出了APOS理论，该理论指出：数学概念的学习需要经历“操作、过程、对象、图式”四个阶段. “操作”阶段，教师会结合教学实际设计一些教学情境，从而为接下来经历知识的形成过程做铺垫. “过程”是概念教学的关键，通过前面“操作”阶段的铺垫，教师要预留时间让学生独立思考，提出自己对新概念的看法，进一步顿悟概念的意义. “对象”阶段则是引导学生将已有知识与新知建立联系，以此深化学生对知识的理解. “图示”阶段，引导学生从多个角度反复感知概念，抽象概念的本质属性，从而达到对概念本质性的理解，构建新的知识网络.

“组合”概念教学设计

1. “操作”阶段

在“操作”阶段，以学生已有认知为起点，结合教学实际创设问题情境，以此让学生获得直观感知能力，调动学生探究的积极性.

问题1 上节课学习了“排列”，请说一说何为“排列”.

问题2 某列火车在上海虹桥站与宁波站之间往返运行，途经嘉兴南、杭州东、绍兴东，共需准备多少种不同的火车票？

设计意图 通过创设问题情境引导学生回顾“排列”概念及排列数的计算公式，为接下来“组合”相关知识的学习做铺垫.

问题3 某校举行朗诵比赛，某班从3名选手中任意选取2名代表本班参加比赛，共有多少种选取方法？

设计意图 从学生熟悉的生活情境出发，引发学生认知冲突，以此让学生感悟探索新知的重要性和必要性，提高学生参与课堂的积极性.

问题4 从集合｛1，2，3，4｝中任意选取3个数组成一个新集合，则可以得到多少个新集合？对新集合中的数进行排序，得到一个三位数，这样一共可以得到多少个三位数？其结果与排列数A的计算结果是否相同？

设计意图 让学生在问题的探索中体会组合与排列的区别与联系，为后面组合数公式的推导提供依据.

2. “过程”阶段

“过程”阶段需要引导学生对上述问题进行进一步的反思抽象，提炼其本质特征，形成“组合”的概念.

问题5 问题2和问题3是排列问题吗？你是如何计算的？

设计意图 通过对比分析让学生发现有些问题已经难以利用已有的排列数公式解决，由此引发学生认知冲突，调动学生探索新知的积极性.

问题6 以小组为单位，尝试应用学过的知识得到以上实验中的所有抽样结果.

设计意图 通过进一步操作与讨论，让学生发现问题2中的起始站有顺序之分，属于排列问题，可以利用排列数公式得到结果. 而问题3则是从3人中任意选取2人，并无先后顺序之分，是一个同时选择的问题，所以不能应用排列数公式来求解. 这样通过小组合作进一步引发认知冲突，从而为接下来的探究活动埋下伏笔.

问题7 问题4与问题2和问题3有哪些共同点，又有哪些区别呢？

设计意图 归纳总结问题的本质特征，初步了解求组合数的基本方法，为接下来概念的抽象和公式的推导做铺垫.

问题8 结合上述问题的解决，请思考排列与组合有何区别和联系.

设计意图 引导学生提炼解决问题的方法，感悟排列与组合之间的区别与联系. 学生通过交流发现，也可以按照如下步骤求解排列数：先取出一个组合，然后对组合中的元素进行排序，最后根据分步乘法原理完成计算.

3. “对象”阶段

“对象”阶段应重视引导学生探究问题的本质，进而帮助学生理解和掌握概念.

问题9 你能列举一些与上述特征相符合的生活实例吗？结合实例的基本特征，你能否给组合下定义呢？

在教师的带领下，师生通过有效互动进一步归纳总结问题的本质特征，得到组合的概念.

设计意图 通过列举生活实例丰富学生的感性认知，淡化数学的抽象感，提高学生学习的积极性. 同时，引导学生从实例中进行抽象概括，有利于培养学生的数学抽象素养，强化学生对组合的认识.

问题10 阅读教材，说一说组合数的数学符号及其表示意义.

设计意图 回归教材，让学生利用文字语言和符号语言进一步表征组合数，深化对组合数及其数学符号的理解.

问题11 结合排列数公式的探究经验，推导组合数公式.

问题12 （1）从集合｛a，b，c，d｝中选取3个元素组成新集合，有多少种不同的选法？

（2）对于凸n（n≥3）多边形，它有多少条对角线？

设计意图 问题12是学生比较熟悉的问题，易于调动学生解决问题的积极性. 同时通过问题的解决促进学生内化知识，提高学生数学应用能力.

4. “图示”阶段

“图示”阶段需引导学生从不同角度反复理解对象，构建全新的知识框架图，促进学生理解和内化知识.

问题14 现有50支中性笔，其中黑色47支，红色3支. 从50支中性笔中任意抽出3支. （1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3支笔中，恰好有1支是红色的抽法有多少种？

设计意图 问题13主要考查学生对组合数公式的掌握情况；问题14主要考查学生是否真正理解组合数的意义，是否能够灵活应用相关知识解决现实问题.

问题15 组合有什么样的特征？它与排列存在怎样的区别和联系？

问题16 什么样的问题可以用组合数公式来计算？

问题17 通过本节课的学习，你有哪些收获？你能将其与之前的知识联系起来，绘制出知识框架图吗？

设计意图 设计上述三个问题旨在引导学生归纳总结本节课所学内容，进一步理解组合的概念以及组合数公式的特征，让学生明晰组合数公式的应用价值. 同时，教学中引导学生绘制知识框架图，将新知与旧知有机地结合起来，形成全新的、高级的概念框架图，可以提高学生的认知水平.

5. 课后作业

略.

教学思考

笔者在APOS理论的指导下进行了本节课的教学设计，将概念学习的四个阶段应用到知识点的各个层面，深化学生对概念的理解与掌握，实现了学生知识网络的建构和学习能力的提升.

在教学中，笔者从学生已有知识出发，结合教学情境引导学生复习排列相关知识，为新知学习做准备；然后给出具体练习引发学生认识冲突，让学生通过具体问题的解决逐渐抽象概括组合的特征，感受组合的概念；接下来引导学生经历由具体到抽象的过程，归纳总结组合的概念，明晰组合与排列的区别与联系；最后通过进一步的归纳总结，将组合与排列有机地结合在一起，从而完善知识网络，完成新知的构建.

总之，在概念教学中，教师要认真研究教学内容，善于将APOS理论与实践教学有机地结合起来，引导学生经历概念形成过程，由此让学生全面、深刻地理解概念，有效提升概念教学质量.