注重知识内在联系 着眼知识整体架构

朱明明

［摘  要］ 文章以“点到直线的距离”为例，在大单元视角下架构点到直线的距离公式的学习路径，引导学生通过深度研学在整体把握大单元知识架构的基础上体验知识生成和发展的过程． 通过系列问题设计，引领学生在课堂活动中逐步养成仔细观察、用心思考的良好数学习惯，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

［关键词］ 高中数学；大单元教学；深度研学

新课标研制成员吕世虎教授指出：单元教学设计就是“在教学整体观的指导下，以教材为基础，用系统论的方法对教材中‘具有某种内在关联性的内容进行分析、重组、整合，并形成相对完整的教学单元，以优化教学效果的教学设计”． 单元教学设计着眼于“距离”这一“具有某种内在关联性”的内容，有利于学生构建整体性和系统性的知识，避免“只见树木不见森林”的知识碎片化，体现了新课标的教学要求． 本文以“点到直线的距离”为例，探索单元教学在高中数学教学中的重要意义.

教学过程和设计意图

1. 单元教学，方法引领

节首语：数缺形时少直观，形少数时难入微. 代数和几何，若两者相互结合、共同发展，则会相互加强，以快速的步伐向完善化猛进. 而解析几何正是两者之间的桥梁，是数形结合思想的重要体现.

回忆旧知，引入新知，体现单元教学理念.

师：距离是解析几何研究的对象之一，上节课我们学习了平面上两点间的距离，推导出了两点间的距离公式. 同学们，我们还应该研究平面上的哪些距离呢？

生1：我们还应该研究点到直线的距离.

生2：研究两条平行线间的距离.

师：要想研究这两个“距离”，我们首先要知道它们的定义分别是什么. 你知道它们分别是怎样定义的吗？

生3：两条平行线间的距离是指夹在两条平行线之间的公垂线的长度，也就是从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线所得垂线段的长度.

师：我们发现两条平行线间的距离可以化归为点到直线的距离，因此研究点到直线的距离就显得尤为重要.

设计意图 首先用数学名言让学生知道代数和几何是不可分割的整体，解析几何是两者的纽带；然后通过上节课研究的两点之间的距离，引导学生思考接下来应该研究平面上的哪些距离，以探究新旧知识间的关系，体现大单元教学理念.

2. 有效迁移，自主研学

问题1 开始新课前让我们一起回忆一下上节课是如何研究两点间的距离公式的.

师生交流：运用“化斜为正”思想，构造直角三角形得到A，B间的距离公式.

问题2 根据已有的学习经验，今天你准备怎样推导点到直线的距离公式呢？

学生通过小组讨论得到了两个方案，如图3所示.

师：请两个小组的同学分别说一下你们是怎么想到这两个方案的.

生4：我们是根据定义想到方案1的，因为点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，所以只要求出垂足Q的坐标，然后利用上节课所学的两点间的距离公式，就可以求出点到直线的距离PQ了.

师：很好，第一小组同学想运用我们上节课所学的两点间的距离公式来解决今天要研究的点到直线的距离问题，那么第二小组同学是怎么想到方案2的呢？

生5：因为我们在推导两点间的距离公式时用的是“化斜為正”思想，所以这里我们也想尝试去构造一个直角三角形，用“化斜为正”思想解决这个新问题.

师：老师觉得你们的想法也非常好，其他小组的同学觉得他们的想法好不好呢？好在哪里呢？

生6：好，他们没有直接去求点Q的坐标，而是利用图形的几何特征去求PQ的长度.

通过对比两个方案，让学生找出这两个方案各自研究的重点，在此基础上进一步进行探究.

设计意图 引导学生利用上节课学习的两点间的距离公式及推导方法去探究点到直线的距离公式，让学生体会知识和方法的迁移过程.

问题3 （用方案1解题后）解题时是否遇到过困难？解题后的感受是什么？

生7：太繁了！（抱怨）

师：所以我看到有的同学没有算下去，对吧？（笑，表示理解）现在我们具体来找一找哪几步的计算比较复杂.

师：我们有没有什么办法来避免或优化这几步运算呢？（学生思考）

引导学生带着问题用整体的眼光重新审视条件和目标，寻找优化解题过程的方法.

师：这个想法非常好！接下来我们就可以直接研究这两个整体了，不妨令它们分别为X，Y，然后呢？哦，这位同学说我们可以先解出X，Y，然后代入目标函数得到X2+Y2，或者先将第一个方程转化为BX－AY=0，再将两个方程分别平方后相加，也同样可以得到X2+Y2. 接下来的运算就留给同学们课后自己去完成了.

问题4 （用方案2解题后）对比两个方案，说说两个方案各自的侧重点是什么.

师生交流：方案1运用代数法求点Q坐标后再借助两点间的距离公式算出PQ的长度，侧重于用代数法来研究几何问题，而方案2则运用图形的几何特征来优化代数运算，这就是所谓的数形结合，相辅相成.

设计意图 通过两个方案的对比和总结，让学生体验知识和方法从已知向未知迁移的过程，体会数形结合在解析几何中的重要地位.

师生交流：发现AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）时上述公式依然成立（具体情况如表1所示）.

设计意图 通过讨论AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）这种特殊情况来完善点到直线距离公式的应用范围，体现学生数学思维的严谨性和完备性.

3. 典型例题，学会应用

例题：求点P（－1，2）到下列各直线的距离.

（1）y=－2x+10；

（2）3x=2.

追问：运用点到直线的距离公式解题时你有哪些体会？

师生交流：（1）用此公式时要先建立直线的一般式方程；（2）斜率不存在或为0时，直接利用图形性质求解更快捷.

设计意图 通过设置具体、直观的问题，深化学生对点到直线的距离公式的理解，强化和巩固学生运用公式的能力.

学以致用：某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的“宽带光纤电缆改造”工程． 经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区光纤电缆接入点的坐标为P（－1，2），离它最近的只有一条光纤电缆线通过，其方程为2x－y－10=0． 要完成这项工程至少需要多长的光纤电缆线？（单位：千米）

生10：求解这道应用题，首先根据题意找出本题要求的是“至少需要多长的光纤电缆线”，由点到直线的距离的定义可知，就是求点P（－1，2）到直线2x－y－10=0的距离，于是将实际问题转化为了我们熟悉的数学问题，接下来的运算我们在例题中已经完成，最后就是检验作答.

师：回答得很完整，请坐！由此可知，解决实际问题的一般步骤是：首先将实际问题转化为数学问题，然后通过逻辑推理或数学运算来解决这个数学问题，最后就是检验作答. （此时展示图5所示的解决步骤供学生观看）

设计意图 通过设置社会生活中的实际问题，进一步加深学生对点到直线的距离公式的理解，强化学生灵活运用公式解决问题的能力.

4. 总结反思，提升认识

师：同学们，通过本节课的学习你们有哪些收获呢？

生11：我们学习了点到直线的距离公式，掌握了代数法、几何法，体会了数形结合和转化与化归思想.

师：很好，我们发现两条平行线之间的距离可以化归为点到直线的距离，而点到直线的距离可以化归为两点间的距离，接下来我们还可以研究些什么呢？

下面一起梳理本节课学习的内容，然后让学生利用今天所学的知识去研究两条平行线之间的距离公式. 所谓复习旧知，构建新知，探索未知.

设计意图 在课堂小结的同时，用“单元”思想引领学生关注知识的系统性、整体性和延展性.

5. 布置作业，自主提升

（1）知识巩固型作业：课本第38页的练习1、练习3和练习4.

（2）思维拓展型作业：上网查阅相关资料，写一篇小论文《点到直线距离公式的推导》.

设计意图 作业布置体现层次性、选择性和开放性.

教学反思和四大特点

本节课所学内容是苏教版选择性必修第一册第一章“直线与方程”的最后一个内容，它在研究直线的方程和两条直线的位置关系的基础上，借助上节课研究的两点间的距离公式，进一步研究点到直线的距离公式，为下节课学习两条平行线之间的距离公式打下了基础，体现了大单元教学理念. 在本节课课堂教学中，学生在问题的引导下参与度高、活动充分、思维活跃，课堂生态好. 从学生作业反馈来看，课堂效果也很好.

1. 创设合理情境，提出新问题

遵循学生的认知规律和教材的编写意图，本节课通过创设“两点间的距离公式及推导”这一数学情境，提出问题“我们还可以研究些什么”，继而引出课题“点到直线的距离”．这样的设计自然顺畅，既符合学生的认知规律，又符合数学知识的发展规律，更符合普通高中数学新课标的要求和新教材的编写意图．

2. 遵循单元设计，建构知识体系

对于高中数学学习而言，完整的知识体系不能只包含知识，还要包含其内部纵横交错的关联. 在大单元设计中，教师首先对一个单元要有整体认识，随后基于关联性学习引导学生养成自主梳理、构建知识体系的习惯，找到认知体系，形成思维体系. 本节课就是通过“点到直线的距离”这一载体，将整个“平面上的距离”一节内容串联起来，帮助学生厘清了知识的来龙去脉. 心中装绿洲，眼中看森林，运用大单元设计的教学，无论是学习质量还是学习效率都远远高于传统低效的碎片化教学.

3. 设计关键问题，促进深度学习

教学设计中以学生熟悉的情境为铺垫，通过“我们还可以研究平面上的哪些距离”“根据已有的学习经验，怎样来推导点到直线的距离公式”等问题的引导，围绕具有挑战性的学习任务，主动思考，全身心参与，体验成功，这样“获得发展的有意义的学习”就是深度学习．

4. 把握数学本质，实现育人价值

本节课教学过程采用“双线”设计，以“数学公式的发现—推导—验证—应用”为明线，以“事实方法—数学方法—数学思想—数学本质观”为暗线. 明线以数学知识为载体，完善学生的数学知识体系；暗线以数学思想方法为载体，体现数学本质. 利用明线和暗线培养学生的数学学科核心素养，让学生“数学化”思考、解决问題，这正是用“数学的方式”落实学科育人价值．

5. 注重“解决问题”，培养核心素养

本节课教学设计注重由“解题”到“解决问题”的转变，引导学生关注“解题”背后的一般方法与思想，探究问题解决过程中的一般规律和数学本质，培养学生的数学学科核心素养．