深度学习理念下高中数学课例评析

文/广东省吴和贵名教师工作室 广州市番禺区石北中学 姜宝松

深度学习强调课堂教学要面向学生的认知， 其重要特征是联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用。 抓住数学内容内在联系和本质，凸显问题研究过程，促进学生思维进阶， 从而引导学生实现深度学习。 本文以《平面与平面垂直》公开课为例， 阐述深度学习理念的应用。

一、从现实进入数学

师： 我们知道两个平面的位置关系：平行和相交（课件给出图形）。两个平面平行的判定和性质都已经学习。 今天让我们一起来探究两个平面相交的情形。 现实生活中，堤坝侧面和水平面， 打开的笔记本电脑等，都呈现出两个平面相交的情况， 并且都给我们有角度的感觉。数学家把两个平面相交所成角的情形，抽象出来，定义为二面角。

点评：由两个平面的位置关系，开门见山引出平面与平面的相交情形。 通过现实生活中三个情形，引入二面角的概念。 在深度学习理念下，复演知识的发生历程，学生通过数学观察和抽象， 体会从现实抽象到数学知识的历程， 在定义的学习中培养空间想象能力。

二、由旧识类比新知

师：既然二面角是一个角，如何度量它的大小？ 之前我们学过哪些角？

生：平面上的角，异面直线所成角，直线与平面所成角。

师： 平面的角可以直接度量大小。 异面直线所成角，如何定义？

生：通过平移，变成相交的直线。

生：变成相交的直线，所成的锐角或直角。

师：非常好！直线与平面所成角呢？

生：找到射影，直线与射影所成角即为线面角。

师：不错。异面直线所成角和直线与平面所成角的定义中， 我们发现，空间的角是通过“平面化”，转化为平面角来定义的。 那么二面角如何“平面化”……

点评：通过问题串设置，梳理已经学习的角。温故知新，类比所学的角，建立起二面角的平面角概念，从而使各种角的概念结构化， 构建了关于空间角的知识体系。 空间角的定义其本质是进行“平面化”，学生在此过程中体会到解决空间问题的降维思想。 给出二面角的平面角定义后，教师与学生一起探究、辨析定义的合理性， 学生在构建新概念的同时，培养学生批判性思维。回到现实环节， 在打开的证书中寻找二面角的平面角，学生“即学即用”，建立起实际生活与数学的桥梁， 学生再次体会到定义的合理性。

三、用问题深化理解

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AB-D 的大小？

分析引导，棱是？ 观察图形中，二面角的平面角是？接着练习，展示学生解答情况，请学生讲解。

师： 总结作出二面角的平面角的方法， 在棱上一点作出两条与棱垂直的直线； 如果已知一个面的垂线，作一条，连一条；作棱的垂面。

点评：二面角的平面角，其本质是棱的一个垂面与两个半平面的交线所成的角， 是空间的角降维到平面上。 其作图和证明过程是完成线面垂直关系的论证， 体现数学的转化思想。 求解二面角的平面角是一个难点， 利用几何法解决时， 常用“猜想—证明—求解”的思路，这也是我们探究和解决数学问题的常用路径。

四、巧探究启发思维

师： 根据对二面角的平面角的学习，二面角的取值范围是？ （展示打开的证书）

生：0°～180°。

师：0°是什么情形？

生：两个半平面重合。

师：180°是什么情形？

生：一个平面。

师：二面角的取值范围是闭区间，在此过程中，有一个特殊情况，90°。 按两个平面互相垂直的定义，要先作出二面角的平面角，证明是直角。 能否简化？ 类比在证明两个平面平行时，（指向天花板和地面）， 我们是利用一个平面内有两条交线平行另一个平面。 证明两个平面垂直，能否一样转化为线面关系呢？

探究活动1： 每个同学拿出一支笔与桌面成垂直状态， 拿书本完全贴近笔， 书本与桌面什么位置关系？旋转（左右）书本，两个平面是什么位置关系？

探究活动2： 建筑工人在检查砌墙是否与地面垂直时， 用铅垂线靠近墙面。

点评： 在二面角的平面角习题中， 平面与平面垂直判定定理的探究与证明中， 研究数学空间问题的思路不断重现， 学生不断体会由猜想到证明的研究问题路径， 充分体会到数学的转化思想， 学生的思维得到进阶发展， 体现出了深度学习的理念。

五、精应用掌握原理

例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面BDA1⊥平面ACC1A1。

例3：AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 点是圆周上不同于A、B 的一点， 求证： 平面PAC⊥平面PBC。

……

点评：例题由学生自主完成，通过复杂问题的解决， 提高学生空间想象和推理论证能力。 平面与平面的垂直，抓住线面垂直的关键，学生体会到问题解决中转化的思想。 从知识迁移到应用， 学生体会到数学的严谨性，从猜想到证明，体悟到解决数学问题的一般方法。 在现实场景中寻找平面与平面的垂直关系，学生用数学的眼光去观察世界，体验到数学在现实生活中的实际应用和存在。

六、妙总结提升感悟

师： 本节课我们的定理和问题解决，都是通过观察、猜想、证明来完成的。 这也是我们研究数学问题的常用路径。再观察我们的教室，是不是很多面面垂直关系？ 有没有一种透过现象看到本质的感觉？ 这就是数学的魅力！

点评：通过总结，梳理本节课主要所学知识， 对知识和方法进行反思构建，更好地形成学科知识体系。本课所涉及的降维思想、类比思想、转化思想是数学中常见的思想，教师的补充，让学生在经验上明悟，在学科思想上升华。观察、探究、猜想、证明这是数学学科和人类科学发展史上常用的方法， 在本节课从始至终得到连续体现， 让深度教学的思想得到完美诠释。

七、结语

课堂教学的巧妙设计， 引发学生进行主动学习，学生在问题驱动、活动与检验中进入到深度学习，从而对知识进行自主建构和思维进阶。 课堂中充分培养了高中数学的关键能力， 落实了直观想象和逻辑推理的素养提升， 学生经历了数学内部的逻辑发展， 经历了数学到现实的外部拓展， 贯彻了新课标中对学科育人目标， 诠释了新课标中的学科育人价值。