让“冰冷美丽”焕发“火热思考”

基金项目  全国教育科学“十四五”规划2022年度教育部重点课题“数学深度学习的发生机制、过程特征与目标旨向问题研究”（DHA220411）．

【摘  要】  长期以来，数学新授课被当作复习课，三年课程一年半甚至一年授完，导致概念教学异化为解题训练．长达12年的教学成果聚焦数学概念教学，构建了概念教学价值理念，形成了概念教学内容体系，凝练出概念教学策略，归纳出概念教学流程，创办了首届“陈景润数学创新班”，开辟了概念教学上下联通路径，优化了学生思维品质．

【关键词】  中学数学；教学成果；概念教学；教学实践

2023年7月21日，教育部公布2022年国家级基础教育教学成果奖．数学教育参评项目78项，获奖项目24项，获奖率30.77%，低于生物、地理、物理及语文教育的获奖率．数学获奖项目主要聚焦于热门的育人、创新、建模等，很少涉及冷门的概念教学．笔者的教学成果“让‘冰冷美丽焕发‘火热思考——中学数学概念教学实践与研究”有幸荣获二等奖．以下从成果简介、问题提出、解决过程、解决方法、成果内容、应用效果及反思提升等方面简要汇报，恳请得到各位专家、同行指教，期待下一步继续推进成果应用．

1  成果简介

数学概念是数学教学永恒主题．然而，长期以来过度看重分数、片面追求升学率，导致生机盎然的概念教学被严重异化为“题型+训练”的解题模式，阻碍了学生全面而有个性地发展．成果聚焦于将抽象、枯燥的学术形态数学概念演绎为学生易于理解、接受的教育形态，让“冰冷美丽”概念教学焕发“火热思考”．成果构建了“以生为本、优化思维、提升素养、学科育人”概念教学价值理念，形成了“传授知识、展示过程、渗透思想、发展智力”概念教学内容体系，凝练出“正面突破、严谨推理为主，有意差错、事后补救为辅”概念教学策略，归纳出“一MK、二CK、三PK、四MPCK”教学流程，创办了福建省首届“陈景润数学创新班”，开辟了小学、中学与大学概念教学上下联通路径．该成果的实施转变了数学概念教学方式，提升了学生思维品质，激发了创新能力，得到了宋乃庆、曹一鸣等专家肯定．

2  问题提出

长期以来，学校过度看重分数、片面追求升学率，教师把数学新授课当作总复习课，三年课程一年半甚至一年“跑步”抢完，已经成为不争的事实，导致生机盎然的概念教学严重异化为“题型+训练”的解题模式，这是当前中学数学教育中最值得关注、亟需解决的问题．

2.1  重视眼前利益，轻视长远利益

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用．数学知识建立在概念之上，概念是数学教学永恒主题．然而，目前应试教育依然占据主导地位，一切以分数为重，只顾升学率等眼前利益、短期利益、局部利益，牺牲学生全面发展的长远利益、根本利益、整体利益等现象触目惊心，为学生终身发展流于口号．

2.2  重视解题技巧，忽视概念生成

课堂教学中过度追求概念教学最小化与习题讲解最大化，生机盎然的概念教学被异化为“一个定义、二项注意、三类题型、N套强化”的解题模式，导致学生对基本概念死记硬背、机械模仿．一旦遇到新情景束手无策，学生畏惧乃至厌倦数学，于是教师再一次加大作业数量、灌输特殊解题技巧、增加考试频率，陷入恶性循环，数学育人功能缺失．

2.3  重视概念应用，无视系统工程

概念是数学的细胞、思维的载体．概念是数学教学核心环节．数学从根本上是研究概念．概念教学是一项系统工程，提倡“烧全鱼”．概念教学就是要以概念的产生、发展过程为载体，让学生经历完整的归纳、提炼、精致过程.没有概念引入过程，没有揭示数学本质的“掐头去尾”“烧中段”式的概念教学误人子弟，使提升学科素养成为一纸空谈．

2.4  重视表面文章，漠视专业素养

数学概念是推理论证的依据，是构建定理的基础，是形成思想的源泉，是解决问题的前提，更是进行思维的工具．数学难就难在概念教学．概念教学涉及两次转化，教师首先将学术形态的概念内化，这是遵循数学逻辑转化；再将自己的知识转化为学生理解的教育形态，这是遵循教育逻辑转化．概念高度抽象，只有深度剖析，才能拓展概念，给学生思维搭桥，易于学生接受．教师没有深厚素养与专业功力，概念转化成为空中楼阁．

3  解决过程

3.1  第一阶段（2010.9—2012.1）：星星之火，举步维艰

长期以来，中学数学概念教学严重异化为“题型+训练”的解题模式，只看结果，以分数论英雄，无止境挤压概念教学时间、空间的现象愈演愈烈．为了彻底扭转“顽疾”，2010年初，团队着手规划与论证，2010年9月正式实施概念教学改革．顾及同行非议与学校担忧，团队决定先在成员班级小范围试验，严格遵照课标要求，优先概念教学．调查发现学生喜爱新的教学模式，不再畏惧数学，学习热情高涨．同事逐步接受乃至效仿，赢得同事信任，化解闲言碎语．这充分表明业已启动的概念教学改革必要且可行，团队信心大增．2012年初，改革推广到整个年段，为全面实施改革与研究奠定坚实基础．

3.2  第二阶段（2012.2—2015.1）：以点带面，攻坚克难

（1）确立数学概念教学理论.

2012年初，概念教学改革由“单打独斗”逐步覆盖全校及两所分校，亟需理论引领．团队在舒尔曼1986年提出学科教学内容知识（PCK，即Pedagogical Content Knowledge）基礎上，将PCK从泛学科分离出来并演绎到数学学科，形成数学教学内容知识（MPCK，即Mathematics Pedagogical Content Knowledge）．尝试基于MPCK下数学概念教学实践．最大挑战就是不少教师不愿意接受甚至抵触MPCK理论，固守解题式概念教学模式．通过观摩教学、专家示范、教学比武等活动，传播MPCK理论，“诱导”他们一起进行概念教学改革［1］．

（2）追踪数学概念来龙去脉.

教材中多数概念（如三角）的引入、提炼过程未能完全展现，使原本高度抽象的概念（如正态分布密度函数）更加苦涩、枯燥．教师要充当教材与学生之间的协调员，担当概念与学生之间的铺路工，合理设置阶梯，给思维搭桥，让学生清晰来龙去脉．没有深度理解概念，教学成为无源之水、无本之木．而教师MK（Mathematics Knowledge缩写，即数学学科知识）欠缺，难以担当铺路工；PK（Pedagogical  Knowledge缩写，即一般教学法知识）欠缺，难以充当协调员；CK（Content Knowledge缩写，即学科内容知识）欠缺，难以担当搭桥人；PCK欠缺，难以承担加密工；MPCK欠缺，难以承担概念教学．

（3）发现教师心理补偿因素.

数学难就难在概念教学，被学术界誉为“冰冷美丽”．通过大量问卷调查、深度个体访谈、持续课堂观察发现，数学概念教学之所以严重异化为解题模式，还有难言之隐：教师专业功力不足而难以深度剖析概念本质（如基本事件个数），常常感觉概念教学“单薄”．教师出于心理因素，不断增加解题教学时间，以此作为补偿学生，求得自我心理安慰［2］．

（4）开辟概念教学新型路径.

概念教学一脉相承、螺旋上升．多数中学数学概念启蒙于小学．为了破除中小学概念“断裂”壁垒，笔者作为核心成员加入东北师大郭民教授立项的教育部重点课题（小学数学），深入3所小学开设示范课．2011年特意邀请小学、初中教师加入团队．2015年遴选2所九年一贯制学校作为基地校，实现小、初、高无缝对接，开辟概念教学新路径．

3.3  第三階段（2015.2—2018.8）：教研同步，辐射引领

（1）遴选教学实践推广学校.

2015年团队遴选福建省厦门市同安区教师进修学校、江西省湖口县教育科学研究所、重庆市第二十九中学等3个单位作为实践检验单位．2016年确定江西省湖口中学、新疆博乐市七中、福建教育学院、厦门市教科院等8所学校作为推广示范基地．受益师生数万余人，尤其为西藏、新疆等边远地区做出突出贡献．

（2）凝练数学概念教学策略.

2018年团队首次凝练出“正面突破、严谨推理”为主，“有意差错、事后补救”为辅的概念教学策略．发表“概念教学不妨尝试事后补救”“理性思考严谨推理”等20余篇概念教学策略论文，数篇论文全文转载．

（3）首创数学概念教学流程.

团队创立了“一MK、二CK、三PK、四MPCK”概念教学流程．明确“为何教、教什么、怎么教”．发表“注重数学本质引导素质教育”“基于MPCK视角下初中数学概念教学”等30余篇概念教学流程案例论文．

（4）实施教育科研课题研究.

团队完成2项全国、8项省级等各级课题16项．其中，2015年以良好等级完成全国教育科学规划重点课题“小学生数感发展与特征研究及课程设计”．2016年以优秀等级完成省级规划课题“优化数学思维品质的魅力课堂模式研究”．2019年以良好等级完成全国教育科学规划课题“基于MPCK视角下概念教学案例研究”．2022年以优秀等级完成省级规划课题“基于深度学习的概率统计概念教学研究”．系列课题研究为概念教学实践提供理论引领，将概念教学推向新的高度．

3.4  第四阶段（2018.9—2022.6）：创建平台，深度推广

（1）物化成果，渴望历史突破.

总结概念教学实践的经验教训，先后发表100余篇论文，出版3部专著、3部合著．2021年出版概念教学校本教材《初高中数学衔接教材》．2018年出版专著《概念：数学教学永恒主题》，并荣获第六届全国教育科学研究优秀成果奖二等奖，这是福建省基础教育界30年历史性突破．

（2）培育成果，冲击国家奖项.

历时12年，经过4个阶段，辐射闽、赣、渝等全国50所学校，应邀在各地开设280余场讲座、观摩课，接待参观交流100余次．在教学实践的基础上，培育教学成果．2020年6月，教学成果“让‘冰冷美丽焕发‘火热思考——中学数学概念教学实践与研究”获得厦门市基础教育教学成果奖一等奖．2020年12月，该成果荣获福建省基础教育教学成果奖特等奖，列为省级推广项目，冲击2022年国家级基础教育教学成果奖．

（3）捧回苏奖，登上全国舞台.

2020年12月，笔者登上中国中学数学届最高领奖台，授予第十三届“苏步青数学教育奖”一等奖（全国仅4人），并在颁奖典礼暨中学数学教育论坛作主旨发言．2022年4月，笔者受邀在中国数学会数学教育分会首届学术年会作90分钟概念教学成果报告，深度推广教学成果．

（4）为党育人，弘扬“景润精神”.

学生数学思维、素养显著提升，连续两届入围数学冬令营并获全国一等奖．教师在各级大赛中摘金夺银．学校教学质量持续攀高．2021年创办并领衔福建省首届“陈景润数学创新班”教育教学，标志长达12年的数学概念教学改革取得重大突破，致力为国家培育高素质的数学英才．

4  解决方法

4.1  领衔一支团队，凝聚集体智慧

2018年9月，笔者领衔厦门市首届名师工作室高中数学王淼生名师工作室．依托名师工作室优势资源，聚焦数学概念教学．通过“名师送培”“团队下乡”“跨区进校”等渠道，极大提升教师，尤其薄弱和农村校青年教师专业化成长．

4.2  依托两个平台，高端示范引领

笔者近年受聘为中国教育科学研究院、中国数学会中学数学工作组、全国数学教育联盟、北京师范大学、福建教育学院、集美大学等兼职教授、核心专家，联合厦门大学创办福建省首届“陈景润数学创新班”．两个平台无缝对接中小学课堂与高校平台，实现高端引领．坚持“专家请进来”与“团队走出去”相结合，拓宽专业视野，攻克系列疑难数学概念．

4.3  建设三个基地，推广应用辐射

团队深入3个实践检验、8所示范推广学校，开展概念教学专题讲座、示范课达200余场．纵使疫情期间也从未间断，仅2022年上半年，线上讲座与线下授课30余场，成果辐射到全国50余所学校．

4.4  瞄准四大赛事，促进概念教学

概念教学实践与研究12年来，团队成员踊跃参加四大权威性教学比武：两年一届全国青年教师优秀课大赛、三年一届福建省教师教学技能大赛、三年一轮厦门市创新及厦门市基本功大赛，囊括所有比赛一等奖，打造了一支精良教师队伍，引领一批青年教师成长．

5  成果内容

5.1  彰显育人价值，构建数学概念教学价值理念

数学教育教学宗旨在于育人．长期以来过度看重分数、片面追求升学率，只顾眼前、局部利益，牺牲立德树人、全面发展等长远、根本利益导致数学育人功能缺失．成果扭转了“题型+强化”的概念教学模式，破除了愈演愈烈的三年课程一年半“跑完”及新授课当作复习课等“顽疾”．成果聚焦将抽象、深奥的“学术形态”数学概念演绎为学生易于接受、理解的“教育形态”，形成了“传授知识、展示过程、渗透思想、发展智力”的概念教学内容体系．着眼长远、根本利益，围绕学生终身发展，构建了“以生为本、优化思维、提升素养、学科育人”的概念教学价值理念．通过概念教学散发数学巨大魅力，彰显数学价值，诠释数学本质，感染学生，激励学生，让学生亲近数学、热爱数学，享受数学，增强自信心，树立理性思维，陶冶学生真善美情操．

5.2  划分概念类型，创新中学数学概念教学策略

数学难就难在概念教学．将概念精准归类并针对特定概念采取相应对策是高效教学保证．成果将中学数学概念划分为基础型概念（夯实根基，如集合）、核心型概念（悟透本质，如函数）、高频型概念（灵活应用，如离心率）、易错型概念（正反辨析，如样本空间）、孤独型概念（纵横联系，如残差分析）、深奥型概念（突破瓶颈，如条件概率）．基于此，凝练出“正面突破、严谨推理”为主［3］［4］，“有意差错、事后补救”为辅的概念教学策略，即从正面情景引入中抽象概念本质，在论证提炼过程中诠释概念重点、难点，在事先“预设差错”的认知冲突中巩固概念，在后续纠正错误的思维碰撞中精致概念［5］．

5.3  构建对接平台，开辟概念教学上下联通路径

概念教学是一项系统工程．中学与小学乃至高等数学概念一脉相承、螺旋上升．中学数学概念教学中遇到困境，究其根源在于中学与小学概念教学衔接断层、缺乏高等数学理论对中学数学的高屋建瓴．比如，概率统计概念，从小学统计意识培养到初中概率启蒙再到高中概率统计系统学习并一直延伸到高等数学中专业的概率论、统计学理论研究．再如，函数概念，从初中一次、二次函数的“变量说”到高中幂、指数、对数函数及数列“对应说”一直拓展到大学数学分析“关系说”．甚至有些数学概念是高等数学知识下沉（如残差分析、定积分等）．

针对实际情况，团队特意遴选两所九年一贯制作为实践推广基地，让小、初、高数学教师相互观摩相关概念现场教学（如统计、圆等），达到小学、初中、高中概念教学到位而不越位．联合厦门大学创办福建省首届“陈景润数学创新班”，聘请高校专家定时定点传授疑难概念教学．期间，笔者受邀登上中国数学会、全国数学教育联盟、北师大、西南大学、集美大学、福建教育学院学术论坛开设70余场讲座，实现了中小学与高校一体化，突破中小学与高等数学概念教学断层局面，彰显概念教学整体性、连贯性与传承性，开辟中学数学概念教学上下联通新路径．

5.4  揭示心理因素，夯实专业功力丰富MPCK理论

概念教学是衡量专业功底的标杆．通过大量问卷调查、个体深度访谈，发现数学教师难言“秘密”：一直以为解题教学替代概念教学就是为了短期提高分数，其實还有心理因素：教师因专业功力不足而难以深入悟透概念本质，常常感觉概念教学“单薄”，出于自卑、内疚与畏惧等复杂心理因素，通过不断加大解题教学时间、灌输特殊解题技巧与增加考试频率补偿学生，求得自我安慰，这是团队前期概念教学实施与研究中没有预料的．系列成果“让冰冷美丽焕发火热思考”“概念是数学教学永恒主题”连载在《福建教育》，引发高度关注．“解铃还须系铃人”，消除心理因素关键在于夯实教师专业功力．有实力才有底气、勇气、锐气．鉴于此，团队加大力度深度追踪概念来龙去脉、洞察概念本质、参加教学比武并传播教学成果．

追踪概念来龙去脉．比如绝大部分教师认为高中三角函数就是初中锐角三角函数延伸及拓展，依然采取终边法定义三角函数．其实，三角源自天文学，后来从球面三角独立而得到平面三角并形成近代三角学，标志三角学从静态研究演绎为反映周期运动变化的一门具有现代数学特征的学科，因此三角函数主要功能是研究周期性而不是解决三角形边角关系．成果“追寻三角学发展史  领悟主编意图  理清教学困惑”被全文转载，达到精致三角概念，厘清教学误区．

深究概念本质内涵．再如“定积分”概念，绝大部分教师直接把微积分基本定理告诉学生，然后套用定理进行重复、机械、低效乃至无效训练．经过教学实践与理论研究，团队发现引入过程表明定积分内部元素是积式、生成进程显示其外部结构是特定和式、形成结果标志其本质就是极限、应用过程强调选取恰当区间、巩固过程暗示并非“均等分割”、精致过程诠释逼近是解决与和式相关问题且与面积密切相关，创造性地解决问题［6］．成果“利用定积分概念解题几个注意点”被全文转载，并获厦门市第四届教育科研优秀成果一等奖．

团队创立“一MK（概念本质）、二CK（相关知识）、三PK（针对策略）、四MPCK（诠释困惑）”教学流程，便于教师操作、学生理解．研发基于MPCK视角下启蒙小学、形成初中、升华高中、完善大学的核心、疑难概念教学系列经典案例．完成全国规划课题“基于MPCK视角下概念教学案例研究”，出版专著《概念：数学教学永恒主题》［1］，发表“基于MPCK视角下初中数学概念教学”等40余篇论文，丰富MPCK理论内涵与实证案例［7］．

6  应用效果

（1）奠定学生终身发展.

学生喜爱数学，自发成立数学建模、讲好“景润故事”等课外兴趣小组，体验成功愉悦，享受数学快乐．我校在全国数学竞赛中300人次获奖，连续两届入围数学冬令营并获全国一等奖．每年录取清北30余名学生．陈汜玄等3人勇夺高考省状元．数学成绩尤其突出：高考65人满分，500人145分以上，连续十年高考均分、优生率稳居全省第一，奠定了学生终身发展根基．

（2）成就教师专业成长.

团队培养国家“万人计划”教学名师1人，数学特级教师4人、正高级教师4人，“苏步青数学教育奖”一等奖1人，福建省高层次A类人才1人，厦门市高层次人才2人，厦门市本土领军人才、拔尖人才、杰出教师6人次，省市学科带头人及厦门市专家型教师25人次，全国优质课一等奖3人，连续四届6人次摘取福建省教学技能大赛一等奖．

（3）促进学校内涵发展.

创办并领衔福建省首届“陈景润数学创新班”教育教学，标志数学教学及课程改革取得重大突破．实现中学与高校无缝对接，开辟概念教学新路径．学校摘取全国文明单位、全国教育系统先进集体、省示范性中学等80项省级及以上荣誉．清华、北大、复旦等40所著名高校授予优质生源基地．

（4）创造教学科研新高.

数学概念教学成果荣获国家级基础教育教学成果奖二等奖及福建省基础教育教学成果特等奖．专著《概念：数学教学永恒主题》摘取第六届全国教育科学研究优秀成果二等奖，实现厦门市基础教育界历史性突破．团队发表论文300篇，核心论文30篇，全文转载8篇，出版著作3部、合著3部．完成2项国家、8项省级等各级相关课题16项．

（5）赢得各界关注肯定.

受邀在中国数学会年会、全国数学教育联盟年会等高端平台作专题报告，数万师生受益．成果推广辐射至赣、闽、渝等全国50所学校．中国教育报、省市电视台等30家媒体40次报道．当代教育名家、西南大学宋乃庆教授评价：“成果取得显著成效，具有重要现实意义和推广价值．”；当代教育名家、国务院特殊津贴获得者任勇先生称赞：“成果让冰冷美丽焕发火热思考．”；义务教育数学课标组长、北师大曹一鸣教授认为：“成果对数学课程改革与实施具有重要意义和推广价值．”

7  反思提升

历时12年数学概念教学实践与研究，在学生成长、师资建设、学校发展、教育科研、课程改革等方面取得一些成绩与突破，但团队深知理论研究不够，推广应用不足．目前正在继续实施2021年度省级规划课题“核心素养视域下中学数学概念教学案例研究”及2022年度全国教育科学规划重点课题“数学深度学习发生机制、过程特征与目标旨向研究”的研究．团队昨天已经起航、今天正在探索、明天继续反思、未来会一直坚守在数学概念教学实践之路、研究之路、辐射之路、示范之路上．让“冰冷美丽”数学概念教学焕发“火熱思考”，这是我们永恒的追求！

参考文献

［1］  王淼生．概念：数学教学永恒主题［M］．厦门：厦门大学出版社，2018．

［2］  王淼生．让“冰冷美丽”的数学概念教学焕发“火热思考”［J］．福建教育，2021（06）：23-26．

［3］  王淼生．理性思考  严谨推理［J］．中学数学教学参考：中旬，2016（10）：66-68．

［4］  王淼生．理性思维  严谨论证［J］．中学数学教学参考：中旬，2018（10）：67-70．

［5］  王淼生．概念教学不妨尝试“事后补救”［J］．中小学数学：高中版，2015（12）：40-43．

［6］  王淼生．利用定积分概念解题的几个注意点［J］．中国数学教育：高中，2014（05）：57-60．

［7］  陈燕梅，王淼生．基于MPCK视角下的初中数学概念教学：以“平均数（1）”为例［J］．数学通报，2018（12）：5-8．

作者简介  王淼生（1966—），男，江西九江人，正高级二级教师，特级教师，国家“万人计划”教学名师，福建省高层次A类人才，厦门市高层次A类人才，厦门市本土领军A类人才，厦门市拔尖人才，厦门市杰出教师，中国数学奥林匹克高级教练；荣获“苏步青数学教育奖”一等奖、第六届全国教育科学研究优秀成果奖二等奖、国家级基础教育教学成果奖二等奖、福建省基础教学成果奖特等奖；发表300余篇论文．