APP下载

浅谈美育教育对学生数学学习心理的积极作用

2024-06-10张昌金

中学数学杂志(高中版) 2024年3期
关键词:美育教育

【摘  要】  《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确提出通过数学学习,认识数学的审美价值.教师在数学教学中应當关注学生的学习心理,利用数学之美积极调动学生学习的积极性.数学中有很多内容具有美学价值,如图形美、结构美、思维美、变换美,教师充分利用这些美学资源可以大大提高教学效果.

【关键词】  美育教育;图形美;结构美;思维美;变换美

进入高中阶段,学生往往会感觉到数学学习很吃力,抽象知识多、运算量大、思维要求高、题目千变万化.特别是高中起始阶段,这种感觉尤其明显,本来这些学生经历中考选拔后认为自己还是相当优秀的学生,满怀希望想把高中数学学好,可是经历了集合与常用逻辑用语的学习后,意识到高中数学不容易学好,甚至有学生发出感叹:数学,想说爱你却并不是一件容易的事.学生数学学习心理受到伤害,兴趣随之衰减.这时有经验的教师常常会利用好的教学时机,培育学生的积极学习心理,调动学生学习数学的兴趣,让他们爱上数学,享受数学.

怎么去培育学生的积极学习心理呢?方法有很多,每位教师的认识也可能千差万别.笔者根据多年的教学经验,觉得数学教学中恰当结合美育教育能让学生发现数学之美,感知数学之美,享受数学之美,能给学生带来震撼之感,学习兴趣会油然而生.下面以人教版普通高中教材《数学》(2019)必修一“基本不等式”为例,在教学活动中开展美育教育,让学生爱上数学.

1  数学美育教育之图形美

在课堂的学习活动中,学生主要通过“看、听、做”来学习数学,“看”是很重要的环节,图形的呈现能形成视觉冲击感,形成好印象.在这一节内容中可以先推证:a2+b2≥2ab当且仅当a=b时等号成立.这里选用教材前一节内容中的图形来证明.

如图1,c=a2+b2,所以大正方形的边长为a2+b2,

S大正方形=a2+b22=a2+b2,S阴影=4S直角三角形=4×12ab=2ab

因为S大正方形≥S阴影当且仅当a=b时等号成立,从而a2+b2≥2ab当且仅当a=b时等号成立.

由a2+b2≥2ab当且仅当a=b时等号成立得a2+b2≥2a·ba>0,b>0即得基本不等式:

ab≤a+b2(a>0,b>0)当且仅当a=b时等号成立.

这个图形有三角形“相等”美,三角形和正方形还有“拼接”美,浑然一体,学生很容易被“吸睛”,唤起学生学习兴趣.这种利用图形关系来证明代数关系,有“直观”美,还体现了学科核心素养之直观想象(图形)、数学抽象(基本不等式)的数学素养.

基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0)当且仅当a=b时等号成立,还可以有如下的几何解释,同样体现了图形美的价值,很简捷、形象,也体现了数形结合的思想.

图2如图2,AB是圆的直径,点C是线段AB上异于点A,B的一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的垂线交弧AB于D,连接AD,OD,BD.OD=OA=a+b2,利用三角形相似,可得△ACD∽△BCD,于是ACCD=CDBC即CD=ab. 当且仅当点C与圆心重合即a=b时等号成立,形象的解释就是:半弦不长于半径.

2  数学美育教育之结构对称美

与基本不等式有关的很多题中条件和探究目标都是“对称”的,基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0)本身的结构就是“对称”的(将a与b互换位置,式子没变).

利用这种结构对称,我们可以突破基本不等式求最值的难点,那就是在放缩的过程中保证“对称”的相关量能相等.如下面的两个题:

题1  已知x>0,y>0,x+y+xy=3,求x+y的最小值及xy的最大值.

题2  已知x>0,y>0,则x+12y2+y+12x2的最小值为    .(提示:所求式子显然没有最大值,所以做填空题求最小值时一定有x=y,代入后就转化为求2x+12x2(x>0)的最小值,没难度了,答案为4.这就是数学“对称”美的力量)

3  数学美育教育之霸气美

基本不等式中有一个词组是“当且仅当”,体现出一种无与伦比的霸气,意思是你不能离开我,离开我就可能犯错.这就告诫我们利用基本不等式求最大值或最小值时,务必考虑取等号的条件,只有取等号的条件满足,才能肯定所求式子有最大值或最小值.

题3  已知x∈R,求函数y=x2+4+1x2+4的最小值.

分析  有些学生会这样思考:因为x2+4>0且x2+4·1x2+4=1,所以由基本不等式得x2+4+1x2+4≥2x2+4·1x2+4=2,因此函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2,这就错了,因为取等号时x2+4=1x2+4即x2+4=1,但x∈R,x2+4=1不能成立.

正解  因为x2+4+1x2+42=x2+4-1x2+42+4,而x2+4≥2,-1x2+4≥-12,所以x2+4-1x2+4≥2-12=32.

于是x2+4+1x2+42=x2+4

-1x2+42+4≥322+4=254,当且仅当x=0时取等号,因此函数y=x2+4+1x2+4的最小值为52.

注  此题还可以用对勾函数的知识来求解.

4  数学美育教育之思维美

数学是思维的体操,所以数学美有艺术之美.基本不等式中的一题多解方法,思维切入不同,效果差异大,平时多训练,学生像欣赏艺术体操运动员优美的舞姿一样乐在其中,又恰如有艺术灵感来临,跃跃欲试,参与进来,步入“沉浸式”学习状态,自然对数学就爱得更深了.

题4  已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则a+2b的最小值为(  ).

A.26-3  B.22  C.42-3  D.26

解法1  (消元法)由ab+a+b=3得a=3-bb+1,因为a>0,所以3-bb+1>0,得0<b<3.

a+2b=3-bb+1+2b=4-(b+1)b+1+2(b+1)-2=2(b+1)+4b+1-3≥22(b+1)·4b+1-3=42-3,当2(b+1)=4b+1即b=2-1时取等号,选C.

这是最本真的解法,虽然看起来没什么技巧,但能够解决问题,也是有用的办法.

解法2  (万能“k”法)设a+2b=k,则a=k-2b(k>0),由ab+a+b=3得,(k-2b)b+k-2b+b-3=0,即-2b2+(k-1)b+k-3=0,由Δ≥0解得k≥42-3,当b=2-1时取等号,选C.

这也是一种朴实的解法,同时也是一种通法.

解法3   (换元法)由ab+a+b=3得(a+1)(b+1)=4(a>0,b>0),设m=a+1,n=b+1,则a=m-1,b=n-1,mn=4(m>1,n>1),所以a+2b=(m-1)+2(n-1)=m+2n-3≥2m·2n-3=42-3,

当m=22,n=2时取等号,选C.

这种方法是根据所求式子特征去变换已知等式,过程简捷,思维要求高但难度不大,对培养学生的数学思维能力正合适.

上述三种方法都是基本不等式中的常用方法,这些思维能力是学生可以达到且必须达到的.教师培养学生的思维能力时,选题要具有针对性,题选得好,能让他们节节上升,这样学生既有成就感,又觉得意犹未尽,从而激发他们积极的学习心理.

5  数学美育教育之“放缩”美

放缩法是利用不等式求最大值和最小值以及证明不等式的“最高”技巧,它的美在于一切都刚刚好,放大一点不行,缩小一点也不行,就象“黄金分割”,恰到好处,尽善尽美.

题5  已知实数x,y满足2x2+4xy+5y2=1,求x2+y2的最大值和最小值.

解  因为1=2x2+4xy+5y2=2x2+2(2x)·y+5y2≤2x2+4x2+y2+5y2=6x2+y2,即x2+y2≥16当且仅当2x=y时取等号,代入原条件等式得x2=130,y2=215时x2+y2取得最小值为16.

另一方面,1=2x2+4xy+5y2=x2+y2+x2+x·(4y)+4y2=x2+y2+(x+2y)2≥x2+y2,即x2+y2≤1当且仅当x=-2y时取等号,代入原条件等式得x2=45,y2=15时x2+y2取得最大值为1.

此题本身是一个难题,也可以用万能“k”法求解,思维难度高,过程比较麻烦.但我们看到用放缩法求解显示了无比的优越性,可见放缩之美,美到极致.

6  数学美育教育之变换美

基本不等式运算中经常出现换元、拼凑、代换等基本方法,但在具体的题目中,因为条件和求解目标的变化,所选用的方法也就各不相同,这就为培养学生的多角度思维、多层次思维提供了良好机会,学生常常会乐在其中,总觉得很多地方都还有思维进阶的可能,教师就要放手让他们去思考、去探究,不轻易去点拨,不要让学生失去培养自己思维能力的机会,尽情地让他们去体会思考的乐趣,体会攻坚破难的勇气和智慧,这对他们终生有益.

题6  若正数a,b满足1a+1b=1,则aa-1+4bb-1的最小值为    .

解法1  由1a+1b=1得ab=a+b,即(a-1)(b-1)=1,所以aa-1+4bb-1=(a-1)+1a-1+4(b-1)+4b-1=1a-1+4b-1+5≥21a-1·4b-1+5=9,当且仅当a=32,b=3时取等号,因此aa-1+4bb-1的最小值为9.

解法2  aa-1+4bb-1=11-1a+41-1b,设m=1-1a,n=1-1b,则1a=1-m,1b=1-n

(0<m<1,0<n<1),此题转化为已知正数m,n满足m+n=1,求1m+4n的最小值. 1m+4n=1·1m+4n=(m+n)1m+4n=nm+4mn+5(这一步用了1的代换).

nm+4mn+5≥2nm·4mn+5=9当且仅当m=13,n=23时取等号,

因此aa-1+4bb-1的最小值为9.注此题也可用消元法,还可以利用权方和不等式求解.

通过高中数学课程的学习,学生能提高学习数学的兴趣,增强学好数学的自信心,养成良好的数学学习习惯,发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神;不断提高实践能力,提升创新意识;认识数学的科学价值、應用价值、文化价值和审美价值[1].在数学的美育教育教学过程中,实际上已经融入了课程目标,数学之美愉悦了学生心灵,激发了学生的积极学习心理,提高了学生学习的动机,充分调动了学生的学习兴趣,学生就会产生愉快、喜爱的情感,就会热爱数学,热爱生活,对前途充满期望,不畏艰辛,努力攀登.

参考文献

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版2020年修订[M].北京:人民教育出版社,2018.8

作者简介  张昌金(1968—),男,四川资阳人,本科,高级教师,四川省特级教师,四川省骨干教师,成都市优秀教师,内江市优秀教师;从事高中数学教学与研究工作.

猜你喜欢

美育教育
深入挖掘小学数学课堂中的美育因素
高职院校音乐教育存在的问题及对策研究
美育教育在小学语文教学中的潜化探究
小学语文教学中渗透美育教育探讨
开展创意、释放能量、汇聚智慧
“舞动”的音乐课堂
情感教育在高中美术教学中的运用
初中语文教学中美的教育
试论我国音乐教学的和谐审美
小学语文教学审美教育初探