奇偶讨论 柳暗花明——从河北省名校最新联考一道数列题谈起

安徽省太湖中学(246400) 李昭平

安徽省安庆市绿地实验学校(246001) 项张荣

1 试题分析

则柳暗花明,实现证明目标.数学解题的智慧,让考生拍案叫绝.

2 解答过程

3 运用强化

我们知道,数列递推式中的脚码、数列通项的分段表示、求数列的通项与和式、证明数列不等式、比较大小关系等等,常常要涉及到对项数的奇偶讨论,有时对项数的奇偶讨论又是必须的,否则无法求解.比如上述引例就是如此,从中联想到对项数n奇偶讨论,又在无法直接放缩的探究中,联想到并项后整体放缩,转化为熟知的等比数列求和,新颖独特,具有很好的创新性

3.1 在求通项中对项数奇偶讨论

点评本题在利用递推公式时要注意左边Sn,Sn-2的脚码,如果对项数不分奇偶讨论,叠加会很麻烦,甚至无法求和,所以对项数分奇偶讨论是必须的.本例在求数列通项公式时,因为递推公式中的符号影响引起对项数的奇偶分类.

3.2 在求和中对项数奇偶讨论

例3已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+n2,其中n ∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(-1)nan+2n,求数列{bn}的前n项的和Tn.

解析(1)当n≥2 时,2Sn-1=an-1+(n-1)2与2Sn=an+n2相减得,2an=an-an-1+n2-(n-1)2,即an+an-1=2n-1,因此an+1+an=2n+1.两式相减得,an+1-an-1=2,所以an=n,n ∈N*.

(2)易知

点评本题一是考查递推数列的函数观点求通项;二是考查并项求和法,注意对项数n奇偶讨论求和式.

3.3 在比较大小中对项数奇偶讨论

解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则

点评本题以等差数列和分段数列为载体,通过给定的条件构建方程组,得到{an}和{bn}的通项,再求和式Sn与Tn,作差比较Sn与Tn的大小.其中求Tn时必须对项数n奇偶讨论是难点,也是易错点和关键点.能有效考查学生对分段数列的理解、项数n奇偶时Tn表达式的特征、运算技巧和逻辑推理能力.

3.4 在求最值中对项数奇偶讨论

例5(2023 年6 月重庆七校三模) 已知数列{an}是单调递增的等比数列,且各项均为正数,其前n项和为Sn,a1a5=81,S2,a3,a4-S3成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}的前n项和Tn满足: 6Tn-bn=5(n ∈N*).求{anbn}的前n项和Pn的最小值.

点评本题一是考查递推数列的函数观点求通项;二是考查和式Pn的单调性(类比函数单调性处理),此时要对项数n奇偶讨论.

3.5 在恒成立问题中对项数奇偶讨论

例6(2024 年1 月安徽合肥模考)已知数列{an}满足an+an+1=4n-3(n ∈N*).

以上我们从一道最新模考题出发,通过分析、解答、运用,强化了数列中对项数n奇偶讨论的认识与理解.这给我们的启示是: 好的高考题或模考题往往具有针对性、示范性和创新性,如果认真思考、认真研究、认真比较,就能得到很多有价值的东西.数学教师如果在教学中恰当运用,能有效培养学生思维的发散性、深刻性、广阔性,促使学生的思维能力和解题水平达到一个新的高度.