一类圆锥曲线中线段比值和为定值问题的解答及结论推广

汉中市龙岗学校(723100) 唐宜钟 卫 静

在圆锥曲线问题中,与线段比值有关的问题需综合运用平面向量、解析几何、函数、不等式等多种知识,其表征多样,计算繁杂,全面考查学生的数学运算和逻辑推理能力.一直以来,备受出题人的青睐,在高考和各种模拟考中屡见不鲜.同时,由于涉及的量较多,运算难度大,这历来也是教学的一个难点问题.笔者所在学校在进行联考时,遇到一个线段比值和为定值的问题.在考场中,学生给出了多种解法,笔者尝试将相关思路和解法进行了归纳.

1 解法探究

2 结论推广

3 背景深溯

4 备考启示

4.1 知识先行,技巧提速

圆锥曲线重点考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.其中,直线和曲线的定义、常见性质,直曲联立,韦达定理,弦长公式,向量运算,与不等式或函数知识结合的处理,都属于圆锥曲线问题的基础知识和基本技巧.在实际教学过程中,要求学生掌握基础知识和基本技能.只有熟悉条件如何转化,关系式如何化简,结论如何揭示.遇见问题,才能做到有的放矢.同时,圆锥曲线中,数学运算能力要求极高,而且某些问题或者运算使用常规算法十分繁杂,容易出错.这一方面要求我们具备较强的数学运算能力,一丝不苟的精神和相当的耐心,另一方面需要我们掌握一定的代数技巧,使用巧算、速算,进行计算和检验.另外,某些特殊的题目,也需要特殊的代数技巧.如本文中使用的动点转移法和比例点差法,都属于圆锥曲线中的特殊代数技巧,解决这类线段比值问题有奇效.

4.2 模式识别,妙手开局

解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾.其中,“拟定计划”是关键环节和核心内容.“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程.波利亚建议分两步走: 第一,努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等);第二,如果找不出直接的联系,就对原来的问题做出某些必要的变更或修改,引进辅助问题,再进行转化和化归.“模式识别”在中学数学中,应当被看成是首要的思维策略[2].圆锥曲线大多数问题,都有其较为固定的解题模式.同一类问题,也有多种解题模式.根据题目特点,能够迅速识别并选用合适模式,是解题的关键.基于对模式的深刻理解,妙手开局更是能事半功倍.如在本文中,使用线段比例作为变量,使用比例点差法,都是这类问题的妙手.

4.3 高位贯通,常规表达

所谓高位知识,是指在学生知识体系之外,高于学生认知的知识,其包括高等数学的弱化,初等数学的升华,跨学科的融合等等.高位知识并非深不可测,教师可以通过对现有知识、常见题型和解题模式进行总结、升华,最后自然地生发而成.如本文中的极点极线的部分知识,即可通过比例点差法进行总结推广.而今,随着教学教改的深入,极点极线知识几乎已经变成了高中优生的必备知识.有着适当的高位知识,学生对某些问题就能够变雾里看花为走马观花,发现某些问题的命题逻辑.使用高位知识,一方面能够将题目、解法、解答技巧进行贯通.如本文中,为何无需具体的椭圆(因为最终的比值形式只需要离心率即可),为何题问是三角形面积之比(可以转化为线段比),为何要使用比值作为变量(调和点列的比),为何使用比例点差法作答(调和点列的推导技巧).另一方面,高位知识可以更好在较高维度将许多知识进行贯通,趋近问题的本质.如在本文中,利用调和点列和极点极线的知识,就可以将问题推广至整个圆锥曲线并更易理解.当然,在高中知识体系内,所有解答必须常规,不能将解答变成玄学.这要求我们在深刻理解问题的基础上,使用高中的语言和算理逻辑进行书写.当然,这样的书写允许适当地使用某些代数技巧.