巧借几何特征 形解圆锥曲线——以2024 年九省联考第18 题为例

湖州市滨湖高级中学(313000) 郑梦华

浙江省湖州中学(313000) 祝峰泽

解析几何是一种借助解析式进行图形研究的几何学分支,高中解析几何常借助平面直角坐标系将几何问题代数化从而研究图形的几何性质.圆锥曲线问题是高考数学的最大热门之一,其分值大、难度高,常出现在压轴题.本着“小题小做”的原则,选择和填空题中往往采用数形结合思想解题,解答题常采用通法——韦达定理将几何问题代数化,但是纯代数方法意味着彻底摒弃了解析几何的核心——形,机械式的计算,随着试题难度的增加,得到的代数式愈加复杂,对学生的运算素养和应试能力提出更高的要求,此时回归问题的几何本质显得更加重要.近日教育部组织命题的九省联考中,笔者解18 题时使用了代数方法,虽最终顺利解决,但其过程可谓“翻山越岭”,此时不免思考,能否利用条件中的中点等几何特征,将问题“化繁为简”? 在其他圆锥曲线问题中能否也这样“大题小做”? 基于此,文章分别对抛物线、椭圆、双曲线三个问题对代数法和几何法进行比较,由此,得到一些建议和反思.

1 原题呈现

例1(2024 年九省联考第18 题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.

(1)证明: 直线MN过定点;

(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求ΔGMN面积的最小值.

分析 相较常规圆锥曲线试题,该试题两小问均有一定难度,其中第(1)问采用韦达定理解决即可.试题第(2)问求三角形面积的最值,如延续第(1)问思路设点设线结合韦达定理也可解出,但计算过程中涉及到多个参数,对学生的应试能力是一大挑战,若能寻找其中的几何关系,可极大减少运算量.试题考查学生运用坐标解决平面解析几何问题的能力,同时也突出解析几何中“形”的主体,既让天赋较差的学生有路可走,也体现出高考选拔人才的主旨.

2 以“形”妙解圆锥曲线

2.1 抛物线中的应用

2.2 椭圆中的应用

2.3 双曲线中的应用

评注解法一为常规的分类讨论,设出不同的标准方程,利用两点间的距离公式求解函数的最值,计算量偏大,其中还涉及到二次函数最值分类讨论问题.解法二在得到渐近线方程后只需计算点到渐近线的距离即可.

3 总结和反思

文章从三种圆锥曲线的例题出发,将代数方法和几何方法进行比较,结果表明在解决圆锥曲线解答题时适当借助几何特征,能够避免多参数、大数据计算等困难,也为考试节约出宝贵的时间.

教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长王尚志教授提出,中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.《普通高中数学课程(2017 年版)》将学生在直观想象方面的素养列为六大数学学科核心素养之一.平面解析几何其核心是“几何”,但是,在我国高中数学课堂往往摒弃了几何特征,甚至在圆的问题中也使用韦达定理等代数方法,这不利于学生的直观想象素养提升.通过几道例题的思考,我认为在高中数学解析几何课堂中,要更多地强调条件或问题的几何特征,尤其是涉及到垂直、面积、中点等条件时应充分挖掘内在的几何信息,不能简单地丢给学生“韦达定理硬算”一句话,同时对于一类问题,可引导学生建立数学模型,将复杂的文字、数量关系转化成直观的图形,从而理解该问题的几何本质,也落实了学生的直观想象核心素养.