一维随机游走模型的两类问题

2024-06-10湖北省鄂南高级中学437000阮效辉

中学数学研究(广东) 2024年7期

湖北省鄂南高级中学(437000) 阮效辉

湖北省赤壁市第一中学(437300) 柏世豪

每一位数学教师都应该对“概率与统计”有属于自己的完整理解,并且在教学实践中逐步提升,不断修正,从而促使教学水平持续发展.在研究概率与数列递推问题时,笔者借助高等数学的概率研究将之与一维随机游走模型结合,从两类随机游走模型出发,结合例题进行分析求解,探究数学模型下的解题方法.

1 无限制随机游走

数轴上一质点,它的位置只能位于整数点处,在时刻t=0 时,位于点x=i(i ∈N+),下一个时刻,它将以概率α或β(α ＞0,β ＞0,α+β=1)向左或向右平移一个单位,用Xk=n代表经过k个时刻后该点位置到达n,质点到达位置n有两种方式: ①从n+1 左移1 个单位;②从n-1 右移1 个单位,那么由全概率公式可得

记质点到达位置n的概率为Pn,P(Xk=n|Xk-1=n-1)=β,P(Xk=n|Xk-1=n+1)=α,则Pn=αPn+1+βPn-1.

例1有n个编号分别为1,2,···,n的盒子,第1 个盒子中有2 个白球1 个黑球,其余盒子中均为1 个白球1 个黑球,现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子,再从第2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子,以此类推,从第n个盒子中取到白球的概率是____.

分析第n个盒子取到白球的概率受第n-1 个盒子取球结果的影响.

解记事件An表示从第n个盒子里取出白球,则

变形若该质点向左移动一个单位的概率为α,向右移动一个单位的概率为β,原地不动的概率为γ(α ＞0,β ＞0,γ ＞0,α+β+γ=1),该质点到达位置n有三种方式: ①从n+1 左移1 个单位;②从n-1 右移1 个单位;③在n原地不动,那么由全概率公式可得:

记该点到达位置n的概率为Pn,P(Xk=n|Xk-1=n-1)=β,P(Xk=n|Xk-1=n+1)=α,P(Xk=n|Xk-1=n)=γ,则Pn=αPn+1+βPn-1+γPn.

例2马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1 次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第n-1,n-2,n-3,···次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子,盒子中都有大小、形状、质地相同的2 个红球和1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换,重复进行n(n ∈N*)次操作后,记甲盒子中黑球个数为Xn,甲盒中恰有1 个黑球的概率为an,恰有2 个黑球的概率为bn.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Xn的期望.

解析(1)由全概率公式可知:

(2)由全概率公式可得:

2 两端带吸收壁的随机游走

假定质点在时刻t=0 时位于x=n,下一个时刻,它将以概率α或β(α ＞0,β ＞0,α+β=1)向左或向右平移一个单位,而在x=0 及x=a+b处各有一个吸收壁,我们来求质点在x=0 处被吸收或在x=a+b处被吸收的概率.

若以Pn记质点的初始位置为n而最终在x=a+b处被吸收的概率,显然P0=0,Pa+b=1,这里研究的是最终被吸收的概率,考虑的时候向后考虑.

如果某时刻质点位于x=n(1 ≤n≤a+b-1),则它最终在x=a+b处被吸收,有两种方式实现: ①接下去一次移动是向右的而最终在x=a+b处被吸收;②接下去一次移动是向左的而最终在x=a+b处被吸收,按全概率公式有:Pn=αPn-1+βPn+1,n=1,2,···,a+b-1[1].

变形若该质点向左移动一个单位的概率为α,向右移动一个单位的概率为β,原地不动的概率γ(α ＞0,β ＞0,γ ＞0,α+β+γ=1),如果某时刻质点位于x=n(1 ≤n≤a+b-1),则它最终在x=a+b处被吸收,有三种方式实现: ①接下去一次移动是向右的而最终在x=a+b处被吸收;②接下去一次移动是向左的而最终在x=a+b处被吸收;③接下去一次移动是原地不动的而最终在x=a+b处被吸收.按全概率公式有:Pn=αPn-1+βPn+1+γPn,n=1,2,···,a+b-1.

2019 年全国一卷高考压轴题是一个两端带吸收壁的随机游走模型.在这个题中pi表示: 甲药的累计得分为i分时,最终认为甲药比乙药更有效的概率.题干中直接给出了pi=api-1+bpi+cpi+1,但实际上这个递推关系可以直接推出,因为当前得分为i分时,下一轮得分有3 种情况: ①扣一分得分变为i-1 分;②不扣分仍为i分;③加一分得分变为i+1 分,即pi=api-1+bpi+cpi+1.

下面我们再看一个例题:

例3甲、乙两人进行象棋比赛,赛前每人发3 枚筹码.一局后负的一方,需将自己的一枚筹码给对方;若平局,双方的筹码不动,当一方无筹码时,比赛结束,另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知,在一局中甲胜的概率为0.3,乙胜的概率为0.2.若Pi(i=0,1,···,6)表示“在甲所得筹码为i枚时,最终甲获胜的概率”,则P0=0,P6=1.证明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,···,5)为等比数列.

分析Pi(i=0,1,···,6)表示“在甲所得筹码为i枚时,最终甲获胜的概率”,在i=0 或6 时,游戏就会停止,这仍是两端带吸收壁的随机游走,故向后考虑.