浅谈在高等数学教学中培养学生举一反三能力

摘要：对于大学数学而言，提高教师的授课水平，培养学生的理性数学思维和创新能力，是当前大学数学的教学目的。本文通过对高等数学中比较典型的概念和案例等知识点分析探讨，列举出教师在高等数学教学中培养学生举一反三能力的方法。通过这些方法，教师要做到引导学生主动思考，培养学生学会对所学知识点迁移类推，从多角度分析问题，最终做到触类旁通、举一反三。

关键词：高等数学；教学；举一反三

A brief discussion on cultivating students' ability to draw inferences from one case in the teaching of higher mathematics

Dong Lihua

School of Physical and Mathematical Science， Nanjing Tech University， JiangSuNanJing 211816

Abstract： For university mathematics， improving the teaching level of teachers and cultivating students' rational mathematical thinking and innovation ability are the teaching purposes of current university mathematics. Through the analysis and discussion of typical concepts and cases in higher mathematics， this paper lists the methods for teachers to cultivate students' ability to draw inferences from one case to another in the teaching of higher mathematics. Through these methods， teachers should guide students to think actively， train students to learn to transfer analogies to the knowledge points they have learned， analyze problems from multiple angles， and finally achieve bypassing and drawing inferences from one example.

Keywords： Higher mathematics; Teaching; Draw inferences

在教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》明确指出对于理学和工学类专业课程，教师要在课程教学中提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力，平时要注重培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。高等数学是高等院校理学和工学类相关专业的学生进行专业学习和研究的一门重要基础理论课，它为学生提供了一种通用的思维方式，帮助他们学习和理解抽象的概念和复杂的系统，也潜移默化影响着学生的价值观、人生观和世界观。对于教师而言，要牢牢抓住育人的主阵地即课堂教学，要在高等数学教学中培养学生举一反三的能力，这样不仅可以让学生对该课程的知识点掌握的更快，理解的更深入，学得更轻松，还可以让学生拥有数学独特的理性思辨精神。《论语》：“举一隅不以三隅反，则不复也”。举一反三是指从一件事物的情況、道理类推而知道许多事物的情况、道理。形容善于类推，能由此及彼。高等数学的举一反三是从常见的举措和想法入手，提炼想法背后的原理，并依此类推，寻找解决问题的替代方案或从不同角度探索更多的可能性。它不仅能够提高学习效率和思维能力，而且可以提高解决学习和生活中问题的能力。在高等数学教学中，要让学生“举一反三”，是需要教师花时间下功夫专研的。接下来说明教师应该如何在高等数学教学中培养学生举一反三的能力。

对于高等数学的所有知识点，教师首先必须了解并且知道相关定义和定理的来龙去脉即背后的原理。要培养学生的举一反三的能力，教师本身自己得学会举一反三。举一，是要做到对高等数学这门课透彻理解，明白所有相关知识的来龙去脉，然后再清晰地传授给学生，这是“反三”的基。比如一元函数的连续、可导和可微之间的关系以及二元函数这三者之间的关，教师必须对每个概念熟悉掌握，清楚理解它们之间的联系和区别，详细比较一元函数和二元函数的微分学的相似和不同之处。只有教师吃透教材，深刻理解知识点，才能清楚的传授给学生。

在高等数学教学过程中，教师首先不能机械的灌输的知识，比如具体讲授解题步骤时要着重介绍该题解法的原因，让学生知其然也知其所以然。教师要多要求学生多问几个为什么，不能只记住答案就行，要学会厘清思考问题，寻找答案背后的原理。其次，对于高等数学中相关知识的要点，教师也需要时刻点拨学生。要让学生对高等数学的相关知识要点的定义和概念了解清楚不能只知道大概，只有基础知识牢固才能提高对问题的辨析能力，从而做到举一反三。下面举例说明。

案例1 证明 .

对于这个极限的证明，是利用无穷小和正弦函数的有界性得到，即无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。这个极限的证明或者类似极限是在高等数学内容中经常碰到，学生证错的概率大。很多学生证得答案是1是错误地利用下面这个重要极限，即

=1.

这个重要极限是在高等数学极限章节非常重要的，因此教师在教学的过程中应该把该极限证明过程详细地解释并且讲解的过程中要引导学生主动对该问题进行引伸，比如探索当变量  趋向于无穷大该极限的存在性等。这样就可以避免学生只会记住结论而不会巧妙利用该结论去解决问题。

案例2 设函数  在区间  上可导，且 ， 证明：对任意的 ， 总存在 a，b）， 使得

解 令 ，  由已知条件，可得到  因为 ， 由导数零点定理，存在 ， 使得 ， 即

该题称为导数介值定理，它的证明方法本质上是导数零点定理。在这里，需要注意的是连续函数的介值定理不适用，因为一阶导数没有假定连续。从而教学的过程中，教师应让学生明白每个定理使用的前提条件以及要求学生对这两个定理进行对比，从而可以更深刻理解它们之间的区别。

在高等数学教学过程中，教师要善于通过用反例进行教学。通过对相关性质举出反例，能够加强学生对基本概念、定理的理解和掌握，能够帮助打破习惯的思维定势，能够促进思考扩大知识面。巧用反例可以有效地提升学生的逆向思维能力，而这种逆向思维能力又往往会促进对学生创新思维能力的培。学会反例构造的思维方法可以帮助学生认识问题的本质，培养学生的创造能力，激发学生的创新意识，从而做到触类旁通，举一反三。

案例3 若级数  收敛，则必有 =0. 那么若有 能否推出级数  收敛。若  则级数  必发散。同样反之是否成立。

反例展示：调和级数  是发散的，但是  =0. 从而可得上述反之都不成立。

案例 4 偏导数存在的多元函数不一定可微。

解 反例：考察函数

易得  计算得到

可得

因此该函数在点  处不可微。从而可见多元函数偏导数存在只是函数可微的必要条件。

在教学中，使用简单明了的反例便于记忆，也可以帮助学生借助具体实例理解抽象的结论。在教学中多列举出一些反例以及反例构造的缘由是可以帮助学生认识知识的本质，从而可以灵活运用知识，进而对其进行创新。

在高等数学教学过程中，教师要引导学生多角度思考问题，寻找多种解决问题的方法。对于同一个知识点，从不同的角度去讲解，激发学生思考，扩大学生知识面。从问题的不同方面、不同角度思考，才能在掌握“一”的本质下做到“反三”。

案例5 设 ， 证明 <.

解法一 令 （-）-2 可得

以及

由于  可推出  再根据  得到  因为  所以  则有 <.

解法二 令  由微分中值定理， 使得  因为

， 所以 ， 故有

对于该题，教师应该总结出关于两个常数的不等式通用的方法。一个是使其中一个变量为变量  构造辅助函数，利用单调性证明。另外一个常用的方法就是微分中值定理。对于同一个问题，从不同角度思考，尋找不同解决方法，归纳总结其中原理，才可以触类旁通，举一反三。

在高等数学的教学过程中，教师讲解的过程中要用启发式，由浅入深，循循善诱，启发学生对问题进行推广，引申或发。这样才会使得学生懂得一个问题推广到熟悉一类问题，即个别类推到一般。这可以让学生在掌握该知识的基础上对其进行迁移类推并且创新，从而做到活学活用。

案例6 求  之值。

解 ===5.

对于该题，教师在讲解时可以引导学生进行推广和引申，提出下面的例子。求  之值和  之值。这两个例子和案例5解法类似。对案例5进行这种推广，学生对该问题也会有更全面的认识，思考问题也会更加深入透彻。

案例 7 讨论反常积分  的敛散性 .

解 由于  则  是被积函数在积分区间  中唯一瑕点。计算可得

故得到这个反常积分发散。

同样对于该题，教师在讲解时可以引导学生把它引申到一般，提出下面的例子。

案例 8 求反常积分  的敛散性 （， 且  ）.

解法和案例 6類似，立即可得

故当  时，这个反常积分发散。当 1 时，这个反常积分收敛。

总的说来，上述列举的在高等数学教学中培养举一反三能力的方法本质上是同步挖掘出思考的深度和广度。这里的深度是垂直思考，广度是发散性思考即举一反三的能力。垂直思考是一种逻辑式思考，讲究顺序严谨、逻辑推理的合理性。也就是思考的深度，养成追根究底的精神，运用判断力一步步地进行，每一个步骤都必须说得出原因，而且要正确。强调深入问题找出答案，并把焦点放在找出最好的方法上。发散性思考也就是水平思考，意思就是加大思考的广度，突破自我设限的思考。在思考的过程中强调通过自由联想让思考像脱缰野马一样，想到什么写什么。强调思考的数量与流畅度，想得越多越好。这种能力，在我们解决问题时，并不是只找出一个正确答案。思考不是一种单向或者是单层次的思考，而是形成一种思考的网络。在解决问题时，应该避免完全依赖垂直思考，要结合辅助以水平思考方法。

结语

在高等数学教学中，培养学生举一反三的能力是教师教学的任务之一。但是这不是一蹴而就的事情，需要师生持之以恒。教师在教学内容和教学方式上多琢磨，引导学生主动思考，让学生学会对所学知识点迁移类推，从多角度分析问题。当然，学生自己也要主动多和教师交流，学会独立思考和自主探索，自己寻找解决问题的方法。只有这样学生终将在高等数学课程学习过程中养成举一反三的习惯。

参考文献：

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• 于国连.在数学教学中培养学生举一反三的能力 [J]. 鞍山师范学院学报，1994（03）：68-71.

作者简介：董丽华（1991— ），女，汉族，江西抚州人，博士，讲师，研究方向：基础数学。