一道高考真题的解法探究与教学思考

曲娜

摘要：本文通过对2023年高考新课标Ⅱ卷17题的研究，从正余弦定理、平面向量、平面几何、经典的几何定理等几个角度来进行分析，从而发现很多不同解法及蕴含的数学思想.

关键词：高考真题；解三角形；一题多解；教学思考

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0021-03

2023年高考数学全国卷落实党的二十大精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展；反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用.扎实考查数学运算素养，要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.如2013年新课标Ⅱ卷第17题以解三角形、正余弦定理、同角三角函数基本关系式等数学内容，考查数学运算素养.

1 试题呈现

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3.D为BC的中点，且AD=1.

（1）若∠ADC=π3，求tanB；

（2）若b2+c2=8，求b，c.

本题主要考查学生逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养，突出基础性要求，彰显综合性要求，蕴含中国高考评价体系四翼的要求［1］，促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接和考教衔接.本题主要考查解三角形的相关知识点，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，通过正余弦定理、平面向量、平面几何、经典的几何定理等几个角度来进行分析，从而发现很多不同解法及蕴含的数学思想.

2 第（1）问的解题方法

方法一在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，

解得AB=7，再利用正弦定理可知，1sinB=732，求得sinB=2114，

進而求得tanB=35.

本方法是灵活利用面积公式、余弦定理、正弦定理求解得出来的.

方法二在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，

解得AB=7，再利用余弦定理变式可得，cosB=4+7-12×2×7=5714，进而求得tanB=35.

本方法是灵活利用面积公式、余弦定理、余弦定理变式求解得出来的.

方法三（余弦定理+面积公式）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ABC中，再利用面积公式S=12×4×7×sinB=3，求得sinB=2114，

进而求得tanB=35.

方法四（三次余弦定理）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，则AC=3.

在△ABC中，利用余弦定理变式可得，cosB=7+16-32×4×7=5714，进而求得tanB=35.

方法五（二次余弦定理+正弦定理）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，则AC=3，

在△ABC中，利用正弦定理可知，712=3sinB，求得sinB=2114，进而求得tanB=35.

方法六（面积公式+两角和的正切公式）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，则AC=3，

S=12×3×7×sinA=3，解得sinA=277，并求得tanA=-233，同时可得tanC=33，利用两角和的正切公式可得，tanB=-tanA+C=35.

3 第（2）问的解题方法

方法一（面积公式+平行四边形法则）：利用面积公式可得，S=12×b×c×sinA=3，即

bcsinA=3，①

利用平行四边形法则，可得2AD=AB+AC，两边平方得

即4=b2+c2+2×b×c×cosA，整理得，

bccosA=-2，②

①/②得，tanA=-3，则A=2π3，带入①后，得bc=4，再由已知b2+c2=8，

解得，b=c=2.

方法二（中线长定理+面积公式）：由中线长定理可知，

b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

3=12×3×1×sin∠ADB+12×3×1×sin （π-∠ADB），解得sin∠ADB=1，

即AD⊥BC，底边中线也是底边高线，所以三角形△ABC是等腰三角形，

解得，b=c=2.

方法三（中线长定理+面积公式+余弦定理）：由中线长定理可知，

b2+c2=2AD2+BD2，

可得BD=3，

利用面积公式可得，

S=12×b×c×sinA=3，

即bcsinA=3，

在△ABC中，由余弦定理可知，

12=b2+c2-2×b×c×cosA，

可得bccosA=-2，

两式相除可得，tanA=-3，则A=2π3，得bc=4，再由已知b2+c2=8，

解得，b=c=2.

方法四（中线长定理+面积公式）：由中线长定理可知，b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

由初中面积公式得

S=12底×高，

可得3=12×23×h，解得h=1，

AD=h=1，底边中线也是底边高线，所以三角形ABC是等腰三角形，解得，b=c=2.

方法五（中线长定理+余弦定理+面积公式）：由中线长定理可知，b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

在△ACD中，由余弦定理可知，

1=b2+3-2×b×3×cosC，

整理得，bcosC=b2+223，③

在△ABC中，由面积公式可得，

3=12×23×b×sinC，

整理得，bsinC=1，④

将③、④平方相加得，b2=1+b4+4b2+412，解得b=2，代入b2+c2=8，可得c=2.

4 結束语

2023年的高考，三角函数解答题设置有一定灵活性，学生不易快速找到解题突破口.本文的分析有助于理解问题的本质，从而找到解决此类问题和类似问题的共性，打通学习数学的任督二脉，最终让学生的思维得到发展.

（1）通过高考真题的研究，引导我们在教学中多做微探究，让数学本质理解更透彻；在课程标准指导下重视教材，多练变式，让学生思维更生动；适当记忆常用定理，公式，多总结，让知识更系统.

（2）高中数学教师需要潜心研究高考，从解题、一题多解全方位提升个人学科素养.正所谓知其然还要知其所以然，刷百题不如吃透一题.高考改革万变不离其宗，这个“宗”就是对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，这就要求我们能够寻根溯源，抓住问题的本质.

（3）高考试题引导我们备课时要更加注重思维能力和思想方法的渗透，不能死记公式.而要关注学生，引导其自主学习、合作探究，真正掌握知识，灵活运用，不断地提高自身的思维能力，凭借对知识的灵活运用，来获得更加理想的分数.

参考文献：

［1］ 洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询：访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015（6）：35-39.

［责任编辑：李璟］