一次函数实际应用之“最”

杨金林

一次函数在现实生活中有着极为广泛的应用，以一次函数为载体的实际问题则是历年中考试卷的热点题型之一，尤其是“最值”型实际应用问题更是频频出现．现以2023年中考试题为例予以说明，供同学们参考．

一 最低费用

例1 （2023·扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大，某商店购进甲、乙两种头盔．已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，每只甲种头盔的价格比每只乙种头盔的价格高11元．

（1）甲、乙两种头盔每只的价格各是多少元？

（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按原价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最低？最低总费用是多少元？

解：（1）设乙种头盔的价格为x元／只，则甲种头盔的价格为（x+11）元／只，根据题意，得20（x+11）+30x=2920，解得x=54，x+11=65.

答：甲、乙两种头盔的价格分别为65元／只和54元／只．

（2）设购买m只甲种头盔，（40-m）只乙种头盔，购买头盔的总费用为w元．

由题意知m≥1/2（40-m），解得m≥131/3，故最小整数解为m=14．

w=0.8×65m+（54-6）（40-m）=4m+1920.

由4>0可知，w随m的增大而增大．

所以，m=14时w取最小值，最小值为4×14+1920=1976．

答：购买14只甲种头盔时，购买头盔的总费用最低，最低总费用为1976元．

二 最大利润

例2 （2023·辽宁）端午节是我国首个人选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．

（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都要有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．若甲、乙两种粽子的售价分别为12元／个、15元／个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．

①求w与m的函数解析式，并求出m的取值范围．

②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

解：（1）设甲种粽子的进价为x元／个，则乙种粽子的进价为（x+2）元／个．

由题意得1000/x=1200/x+2，解得x=10．

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，则x+2=12．

答：甲種粽子的进价为10元／个，乙种粽子的进价为12元／个．

（2）①购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200-m）个．

由题意得w=（12-10）m+（15-12）（200-m）=-m+600．

因为甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，所以m≥2（200-m），解得m≥1331/3.

所以，w与m的函数解析式为

w=-m+600（1331/3≤m<200，n为整数）．

②因为-1<0，所以w随m的增大而减小，因为m≥1331/3，所以m的最小整数解为134．

所以当m=134时，w取最大值，最大值为-134+600=466，则200-m=66．

答：购进甲种粽子134个、乙种粽子66个能获得最大利润，最大利润为466元．

三 最优方案

例3 （2023·通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10t货物，且每台A型机器搬运450t货物与每台B型机器搬运500t货物所需天数相同．

（1）求每台A型机器和每台B型机器每天分别搬运多少吨货物．

（2）已知每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元．该公司计划采购两种型号的机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880t的需求，且购买金额不超过55万元，请帮助该公司求出最省钱的采购方案．

解：（1）设每台B型机器每天搬运xt货物，则每台A型机器每天搬运（x-10）t货物．

由题意可得450/x-10=500/x，解得x=100.经检验，x=100是原方程的解，且符合题意．

x-10=100-10=90（t）.

答：每台A型机器和每台B型机器每天分别搬运货物90t和100t．

（2）设公司采购A型机器m台，则采购B型机器（30-m）台．

采购金额w=1.5m+2（30-m）=-0.5m+60.

因为-0.5<0，所以w随m的增大而减小．

所以当m=12时，公司采购金额w取最小值，此时w=-0.5x12+60=54（万元）．

答：当购买A型机器12台、B型机器18台时，采购总费用最低，最低费用为54万元．