聚焦数学思想的单元复习教学策略

周泽军

聚焦数学思想的教学是落实“四基”、练就“四能”、发展核心素养的有效途径。教学人教版数学七年级《整式的加减》单元复习课时，笔者借助一以贯之的情境，通过三道例题引导学生在真实情境中类比数的运算，理解式的运算方法，探究式的运算技巧，感知“数”与“式”同脉发展的逻辑关联，感悟类比思想，并基于“数”与“式”运算的一致性，从单元整体视角梳理所学内容，构建结构化的知识体系，发展抽象能力、运算能力和推理能力，强化模型观念和应用意识。

一、立足知识逻辑，凸显类比思想

本环节旨在引导学生从运算的视角理解单项式、多项式的相关概念，获得本节课的研究对象；类比数的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则，体会由数的运算向式的运算过渡的合理性，建立“数”运算与“式”运算具有一致性的观念。课始，笔者用课件出示例1。

如图1，老师从武汉来到天门，先坐火车从武汉站A到天门南站B，再乘汽车从天门南站B到育才小学C，行程中获悉A，B两地相距300千米，用时[53]小时，B，C两地相距30千米，用时[12]小时。

（1）根据以上信息，你可以得出什么结论？

（2）如果A，B两地相距m千米，B，C两地相距n千米（m>n），类比问题（1），你能表示出什么结论？

学生作答问题（1），得出“火车的速度为300÷[53]=180（千米/时），汽车的速度为30÷[12]=60（千米/时），总路程为300+30=330（千米），火车比汽车多行驶的路程为300-30=270（千米）”等结论。学生作答问题（2），类比问题（1）中数的运算，用“[35m]，2n，[m]+n，m-n”等式子表示出火车与汽车的速度、火车与汽车行驶的路程和及路程差等。笔者顺势追问了三个问题：①[35m]，2n，[m]+n，m-n分别是什么类型的代数式？②你能举例说明关于单项式的知识点吗？③你能举例说明关于多项式的知识点吗？通过讨论，学生从运算的角度总结出单项式与多项式的区别，同时结合实例从系数、次数、项三个方面梳理了单项式与多项式的相关概念，巩固与重构了已有知识。在此基础上，笔者出示问题（3）。

（3）如图2，如果A，B两地的距离是（a2－2b+4），B，C 两地的距离是（－3a2－3b+2），类比问题（1）的加减运算，你又能表示出什么？（设AB>BC）

学生通过思考与演算得出A，C两地的距离是“（a2－2b+4）+（－3a2－3b+2）=－2a2－5b+6”；A，B两地的距离比B，C两地的距离远“（a2－2b+4）－（－3a2－3b+2）=a2－2b+4+3a2+3b－2=4a2+b+2”。

为帮助学生在反思中建立结构化认知，笔者接着问：问题（3）的相关计算经历了哪几步？每一步涉及什么概念与法则？有的学生说“去括号”，有的学生说“合并同类项”，有的学生补充了去括号的注意事项，有的学生提出“整式加减的实质是合并同类项”，还有的学生归纳“字母相同并且相同字母的指數也相同的两个单项式是同类项；几个单项式是否为同类项与系数无关”，等等。在此基础上，学生经过讨论，绘制出如下知识结构图（如图3）。

这样教学，凸显了类比思想在理解数学知识内在逻辑中的作用，帮助学生积累了类比学习经验。

二、立足问题本质，渗透思想方法

教师借助问题情境引导学生在整式加减运算中自主发现“无关型”问题，主动探究运用作差法比较整式大小的方法，有利于实现由问题解决到通性、通法的归纳，再到数学思想方法领悟的学习进阶。课堂上，笔者出示例2。

当天下午，老师参观了天门中学，发现天门中学的地形图可以抽象成如图4所示的长方形。其中，M=a2－2b+4，N=－3a2－3b+2，P=2a2－4b+3。求当a=1，b=－2时，老师绕校园走一圈的路程。

学生通过计算长方形的周长“2（M+N+P）=－18b+18”，发现化简M+N+P时，字母a的系数变为零，式子的取值与字母a无关。接着，笔者追问：你能用M，N或P设计一个与字母b无关的算式吗？学生设计出“3M－2N=9a2+8”“M+P－2N=9a2+3”“4N－3P=－18a2－1”等。然后，笔者追问：你能比较代数式2M与P的大小吗？学生通过对9a2+8，9a2+3，－18a2－1进行正负性分析，归纳出可以通过作差比较两个代数式的大小（当2M－P>0时，2M>P；当2M－P=0时，2M=P；当2M－P<0时，2M

三、立足运算核心，领悟分类讨论思想

为让学生关注运算中的数学思想，提升思维品质，实现从巩固解法到领悟思想的升华，笔者出示例3。

校园角落的两处劳动实验基地（如图5阴影部分）让老师印象深刻，若M=[a2-2b+4]，N=[-3a2-3b+2]，P=[2a2-4b+3]，设两阴影部分长方形的周长分别为C1和C2。

（1）若a-2b=3，求C1-C2的值。

（2）试比较C1与C2的大小。

学生利用作差法得出“C1-C2=2a-4b=2（a-2b）”，发现欲求其值，需将“a-2b=3”整体代入，而后比较C1 与C2 的大小时，需要对a-2b的正负性进行分类讨论。这两个问题引导学生在运算中逐步实现由运算技能积累向数学思想（整体思想、分类思想）领悟的进阶。

四、立足单元整体，促进数学思想认知条理化

为帮助学生对数学思想形成条理化的认知，笔者立足单元整体，通过问题（本节课我们巩固了哪些知识点？你对哪些知识有了新的认识？你能说一说本单元主要蕴含了哪些数学思想吗？）引导学生反思，并补全如图3所示的知识结构图。学生参考图3回答前两个问题后，对图3做了补充，即类比数的加减归纳出“无关型”和“大小比较型”两种整式加减运算，以及整式加减运算中蕴含的整体（代入）思想、转化与化归思想、分类讨论思想。在此基础上，笔者引导学生参考例3，设计能运用本节课所学的数学思想方法解决的面积类问题，并列式计算，以明晰同类知识的研究方法与路径，为后续学习打下坚实基础。

（作者单位：武汉市光谷实验中学）

责任编辑  刘佳