习题变式 撬动思维

曹志飞

［摘  要］ 在小学阶段，习题变式是教学的重点与难点，它需要学生具备良好的数学思维和创造力，灵活解决变式问题是学生学习能力的体现。文章以几道小学习题为例，对变式教学进行初步研究，旨在创新变式教学策略，促进学生深度学习，培养和发展其高阶思维，最终提升数学素养。

［关键词］ 习题变式；数学思维；深度学习；高阶思维

“习题变式”是指对于某种习题，通过不断更改问题的情境或者思维的角度，在保证习题本质特征不变的情况下，习题的非本质特征不断变化。习题变式对学生的思维能力以及应变能力等方面提出了较高的要求。因此，采取何种措施来更好地实施“变式教学”显得意义重大。本文提出几种常见的教学策略，有意识、有目的地引导学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变”中窥探“变”的模式及规律，打通知识脉络，发展学生思维，稳步提升学生的数学能力。

一、直接变式，熟知解题方法

在变式教学中，“夯实基础”和“循序渐进”是第一要义。因此，引入简单、基础的直接变式是最关键的第一步，直接变式是对于同一类型题目解题方法与技巧的习得。直接变式可以分为形式变式与可逆变式两种［１］，形式变式可以分为情境变式、数据变式以及两种方法结合的变式。当然，不论何种形式的直接变式，其目的都是让学生加深对各种典型习题的理解，熟知解题思路与方法。

比如，教师可以进行针对性的习题变式训练：学校的体育馆要添置一批新的篮球和足球，其中篮球有20个，足球有30个，已知篮球和足球的单价分别为80元和60元，一共需要花多少钱？

第一种是“情境变式”。教师可以将“体育馆”改成“图书馆”，“篮球”以及“足球”则可以变成任意两种书的书名。在实际解题中，学生发现这种形式的变式不会对题目的解法及结果产生本质上的影响，反而能在不断的变式训练中从本质上理解“单价×数量=总价”这一公式。

第二种是“数据变式”。“运算错误”常常是大多数学生的通病，因此，在学生能大致掌握解题套路而又出现运算错误的情况时，教师可对原题的数据进行改动，帮助学生进一步巩固与提升计算水平。

第三种是“综合变式”。在这种变式中，如果教师只是进行“1+1=2”式的变式，即纯粹地对上述两种方法进行堆叠，则意义不大。为了能起到“1+1＞2”的效果，教师可将题目改为：小汽车与客车分别从A地与B地同时相向而行，小汽车每小时行驶80千米，客车每小时行驶70千米，5小时后相遇，两地相距多少千米？可以看出，在改变情境后，学生需要用到“速度×时间=路程”这一公式。虽说改变了公式，但从本质上讲，总价公式与路程公式属于同一认知层面、同一结构以及同一难度的两个公式。如此一来，学生便能对这种同一类型的题目有更为全面的认知，同时也能起到锻炼计算能力的作用，取得“1+1＞2”的教学效果。

第四种是“可逆变式”。教师可以将原题变为：学校的体育馆花费3400元购买了20个篮球和30个足球，已知篮球的单价为80元，足球的单价是多少？在这种变式下，原来的总价变成了条件，原来的单价则变成了结论。在实际教学中可以发现，只要学生明白了此题考查的是单价、数量与总价之间的关系，通过逆向思考，便能顺利地解决问题。总之，所有形式的直接变式都是较为基础和简单的，是学生必须要掌握的。当然，对于教师而言，引导学生把握题目的结构与本质，这是最核心的东西。这样一来，无论题目的情境、数据、条件以及结论如何变化，学生都能熟知解题方法，掌握数学思想。

二、间接变式，提升思维能力

如果说直接变式是一种横向的、同一水平层面的变式，那么间接变式则是一种纵向的、垂直层面的变式［２］。通俗地讲，间接变式可以将一个问题变得复杂且富有层次性，解题时学生需要对题中的各种条件抽丝剥茧，最终拨开问题的迷雾来解决问题。同样地，间接变式可以分为拓展变式和对比变式。当然，无论是何种形式的间接变式，其宗旨都是为了提升学生的逻辑思维能力和判斷能力，从而逐步增强学生数学能力。

比如，教师对习题进行间接变式处理：超市新进了一批牛奶和饼干，共500千克，已知牛奶的数量为40箱，每箱重量为10千克；饼干的数量为25箱，则每箱饼干的重量为多少？

第一种是“条件的拓展”，教师可以对原题中的一些直接条件进行间接化的处理，将题中的“饼干的数量为25箱”这一条件改为“饼干的数量要比牛奶的数量一半多5箱”。可以看出，这种变式方法对于原题中“饼干的数量”这一直接给出的量设置了障碍，学生需要根据牛奶的数量来求出饼干数量。在这种变式下，学生只要能在熟知解题方法的基础上，学会多思考一步，审清题意，搞清逻辑，题目便可迎刃而解。

第二种是“问题的变化”，教师可以改变原题的情境与问法，比如将题目改为“超市原本计划上半年卖出660箱牛奶，但实际上每个月多卖出22箱，则实际上多少个月完成了销售目标”。在此题中，“数量×月份=总数量”这一公式依然是解决问题的关键，但不同于原题中的直来直去，学生无法像原题那样单凭数量等式去机械式地解决问题。此时，学生需要积极思考，去发现“每个月卖出的牛奶数量在增长”这一关键信息。如此一来，学生便能根据关键信息去思考“实际每个月牛奶的销售数量”，继而依据题中条件得出“实际每个月牛奶的销售数量为132箱”，最终解决问题。

第三种是“对比变式”，教师可以在不改变题目结构和情境的基础上，对原题的运算方法进行改变，将原题改为“超市新进了一批总重量不超过480千克的牛奶和饼干，已知牛奶的数量为40箱，每箱重量为10千克；一盒饼干的重量为7千克，则饼干的箱数是多少”？可以明显看出，该变式题在运算方法上对学生提出了不同的要求，学生在计算完“480-40×10=80千克”后，需要利用“余数”来解决问题，这是在原题中没有体现的内容。

总之，在间接变式下，习题会以另外一种面貌呈现在学生眼前，题中的信息变得更加复杂，但题目的本质并未发生改变，学生只需要积极调动自己的思维，充分地思考，那么所有的间接变式问题都能轻而易举地解决。

三、开放变式，提升创新能力

创新能力作为小学数学十大核心素养之一，对于小学生的成长具有至关重要的作用。因此，在练习题的选择上，教师可以进行针对性的变式训练，来更好地帮助学生提升创新能力。通过研究发现，相比于封闭式习题，开放式习题更能有效锻炼学生思维能力以及提升创新能力。教师应给予学生更多接触开放式习题的机会，让学生思维不断活跃，促使他们不断提升创新能力。

比如，教材中常常出现如下习题：已知有一块长为6米、宽为4米的长方形园地，现要画出一块长为4米、宽为2米的区域来种植树木（如图1），则该区域的面积为多少？占整个长方形园地的几分之几？可以看出，这是一道非常简单的分数类题目，适合学生初期学习，但并不能起到提升学生创新能力的作用。对此，教师不妨将此题目进行开放式处理，将原题改为：已知有一块长为6米、宽为4米的长方形园地，现需要在该园地上开辟一块区域来种植树木，要求此区域的面积是园地面积的一半，该如何设计？在实际教学中可以发现，“沿着长方形横向或者纵向进行对半画线”是学生能快速想到的一种方法。除此之外，学生则一筹莫展。此时，教师可以进行点拨：“难不成只有将图形一分为二这一种方法吗？”经过思考，有的学生指出：“可以将长方形分为偶数个大小相同的小图形，然后取出其中的一半。”在实际操作中，有的学生沿着长方形的纵向等距地画出3条线段，从而得到4个大小相同的小长方形，最终挑选其中的2块区域作为种树区域；有的学生“依葫芦画瓢”，沿着长方形的横向等距地画出3条线段，也得到4个大小相等的小长方形。这时，教师需要继续引导：“在这些方法中，不是单纯地用竖线，就是纯粹地使用横线，大家有没有其他想法呢？”通过质疑，有的学生想到了将横线与竖线融合的方法，把长方形沿着纵向和横向等距地各画出1条线段，从而得到4个大小相等的图形，最终选取其中的2块区域即可（如图2）。

随着越来越多方法的出现，不断激发学生的发散性思维；同时，可以惊喜地发现，有学生将三角形的知识融入此问题的解决思路中（如图3所示）。总之，在实际教学过程中，教师要经常设计一些开放式的习题，帮助学生突破思维定式，让学生大胆地提出自己内心的奇特想法，鼓励学生“天马行空”地想象［３］。时间长了，学生高阶思维能力的养成以及创新能力的培养也将瓜熟蒂落、水到渠成。

四、综合变式，发展综合素养

小学数学知识本身的内在联系是紧密的，是一个不可割裂的整体。因此，这就要求学生必须拥有掌控知识全局的能力。同時，从习题设计的角度来说，如果学生学习一个新的知识点，那么在练习的时候，教师不能总是单一地呈现和该知识点相关的习题，而应该在习题中有效融入一些与新知识点相关的知识与内容。这样一来，学生既能熟练地掌握新知识，又能及时地巩固旧知识，并且还能知晓两者之间的联系，真正起到融会贯通的良好效果，从而提升自身的综合素养。

比如习题：现有一个用篱笆围成的长方形菜园，已知菜园的长为6米，宽比长少2米，则长方形菜园的面积是多少？显而易见，这是一道非常常规的“已知边长求面积”类问题，只能承担夯实学生基础的作用，起不到提升学生综合能力的效果。对此，教师可将原题改为：用一根长为24米的篱笆围出一个长方形菜地，同时要求围成的菜地尽可能大，那么长与宽分别是多少？此时长方形菜地的面积是多少？可以看出，此题既考查了学生对于周长的理解，也体现了学生对于面积的应用，甚至还包含了分类讨论的思想。在实际练习中可以发现，大多数学生虽然能从题目中读出“长方形的周长是24米”这一重要信息，但不能很好地利用“围成的菜地尽可能大”这一条件。这时，教师便可稍加引导，让学生知晓要根据周长来罗列出大小不同的长方形，最后得到面积最大的长方形。依据这个思路，学生罗列出“长为11米，宽为1米”“长为10米，宽为2米”等长方形，最终发现“长为6米，宽为6米”的正方形的面积最大。此时，教师可以根据习题的答案延伸问题：“答案所得的是什么图形？如果篱笆的长为48米或60米，那么菜地的面积最大是多少？此时又是什么图形？”学生带着这些疑问，利用分类讨论的思想，成功地得到了“在周长不变的情况下，围成的正方形的面积大于所有的长方形的面积”这一结论。可以发现，在单一的习题变得综合化后，学生需要考虑的问题变多了，用到的知识更广了。可以预见的是，经过长期练习，学生必将能熟练地运用各种数学知识，最终提升自我的综合能力。

总之，习题变式具有重要意义，其核心就是为了提升学生的创新能力和思维能力，最终更好地发展学生的素养。同时，变式题的数量不在多而在优，教师一定要遵循学生的心理特点，依据适度性原则设计出层次分明的变式题，让学生在循序渐进的过程中获得更好的发展。

参考文献：

［１］ 施翠琴. 小学数学问题解决中的变式教学研究［Ｊ］. 宁波大学，２０１３.

［２］ 李强. 小学数学练习课变式教学存在的问题及策略研究［Ｊ］. 宁波大学，２０１８.

［３］ 马启健. 高阶思维发展下中低年级习题变式的策略探究［Ｊ］. 教师，２０２１（０９）：４６－４７.