例谈微元法在高中物理解题教学中的巧用

陈峰

【摘要】微元法是一种解决物理问题的常用方法，将其应用于高中物理解题教学中，能够帮助学生快速找到解题的正确思路，抓住问题的本质，以此提高学生的解题效率和正确率.本文以实践教学为例，讨论微元法在物理解题教学中的应用，旨在创新物理习题教学形式，促进学生学科素养的综合发展.

【关键词】微元法；高中物理；解题教学

素质教育背景下，高中物理的解题教学要突出对学生解决问题的能力、建模能力与逻辑思维等方面的培养.在此背景下，传统的题海战术已不适用于素养指向下的物理学科教学，所以，教师必须改变教学形式，将微元法带入高中物理解题教学中，帮助学生掌握物理学习、解题的技巧，引导学生攻克在物理学习时遇到的难关.

1 微元法概述

微元法是一种常用于解决物理问题的方法，是一种将问题拆解成微小的微元，再由微元入手，分析问题主体，随后解决整个问题的方法.所以，微元法的核心是微元，即通过巧妙的思路解析，将大问题化为小问题，将复杂问题化为简单问题.在整个问题情境中，快速抓住可代表问题主体的极小部分，随后再从微元，由点及面地分析整体并解决问题.使用微元法解决物理问题时，学生可以快速定位问题的核心，并找到解决问题的思路，适用于高中复杂的物理题型.在解答物理问题时，学生也能更深层次地理解物理规律的应用方式.

2 微元法的应用流程

2.1 取元

在使用微元法解题的过程中，取元是最重要的一步.学生必须在复杂的物理问题中快速找到元，选取最优的元，才能找到该物理题目中的重点与核心问题.很多学生在使用微元法解题时，没有找到问题的本质，选择的元是错误的，后续的解题思路与解题求和过程自然也会存在问题.取元必须遵循以下三点：第一，确保选取的元的计算是简单的，这也是微元法的根本，即将复杂的问题简单化，若元的计算过于复杂，也算是违背了使用微元法解题的初衷，没能从根本上降低解题难度.第二，根据问题取得的元可以通过加权叠加得到结果，即在单个元的计算时，既要考虑到元自身的权重，又要考虑到元叠加后的整体意义，保证加权叠加后的元可以代表问题整体.这样可以避免遗漏叠加或重复叠加.第三，取元的过程必须遵循物理规律，能体现出物理规律，加权叠加取得的微元，可以通过极限概念来解释，若需要解答的习题是无限小的物理习题，那么便可以直接套用物理规律中的极限概念，可以不做限制地取元.

例1 已知有一个均匀的带电圆环，半径为r、带电荷量为Q，带电圆环的轴线处，有一P点，距离圆心长度为L，求P点电场强度.

静电场中的问题情境种类较多，其中圆环、球面或圆饼等带电物体较为特殊，学生在遇到这类题型时，很容易摸不着头脑，不知如何下手.实际上，这类特殊带电体的静电场问题，主要是考查学生是否能完全理解静电场这部分知识，是否了解了其中的抽象概念，能否灵活应用并迁移这部分内容.此时，用微元法将各种特殊带电物体分割成微小的元，再针对单一元开展计算，便可以快速得到问题答案.初次接触这道题时，先立足整体读题，随后取元.在本题中，均匀的带电圆环作为一个整体，可以分解成无数个微元.每一个微元都是整体的重要组成部分.因此，所有的元共同构成了这个带电圆环.从题目中的已知条件可以得知，圆环各个部分的带电量是均匀的，所以每一段微元都带有相等的电荷量，符合取元规律，再根据库仑定律便可以得出微元的电场强度.

2.2 模型化解元

选取正确的元以后，再将元转化为求解过程，利用物理建模开展模型化解元.通过极限相等模型或对近似模型的转换，能有效降低习题难度.转化的过程便是物理建模的过程.之后，再通过针对元的简单的计算，便可以快速找到解题思路.模型化解元的过程是微元法的核心，也是将复杂问题简单化、抽象概念直观化的方法.模型化解元也可以看作是将变量的元化为常量，并针对常量开展求解的过程.所以，正确使用模型化解元可以帮助学生快速简化复杂的解题步骤，还可有效提高学生的做题速度.

例2 已知一圆环放置于水平面上，圆环内有一颗光滑的小球，给小球施加力F后，小球绕圆环做半径为R的圆周运动，已知力F的大小是恒定的，力F的作用方向沿圆环切线方向，求力F的做功大小.

在解答这一道题时，有很多同学看到题目后，便想利用W=FLcosα求解，但这个公式只能解决恒力做功.在本题中，力F的情况明显为变力做功，因此不适用该公式，所以使用微元法解答变力做功问题，通过模型化解元，将变力F的做功转化为恒力F的做功，便可以快速得出问题答案.不难看出，模型化解元的过程需要学生灵活运用此前学过的各项物理公式、物理定义，熟练掌握不同公式的应用特征、特殊应用场景，并在解题的过程中，正确使用各种物理公式进行解元，才能够真正将复杂题目转化成简单题目，省略部分无用的解题步骤，快速得到问题答案.

2.3 用元求和

用元求和即在针对元开展简单计算后，通过叠加求和得出最终结果的方式.对元的叠加求和，需要学生利用此前學习的物理知识以及部分数学知识，通过求和公式将数据叠加计算.可以说，用元求和是微元法在高中物理解题中降低题目难度的核心体现，通过叠加求和的方式，将复杂的问题化为最基础的元，再通过简单的计算形式解决复杂问题，能有效降低解答题目时的计算难度，还能提高学生解题的正确率.

例3 河上有一只静止的船，船的质量为M，长度为L，在不计算水阻力的前提下，有一名小朋友（质量为m）在静止的船上从船头走到船尾.在小朋友运动过程中，船是否会发生位移，位移是多少？

这道例题相对复杂.先分析题目中的情境，即小朋友在船上走，船静止于河上，将船的速率设置为v1，小朋友的速率设置为v2，题干中说到不计算水阻力，所以整个系统受到的合外力是零.根据动量守恒定律可以得出mv2=Mv1，此时取元，将小朋友在船上行走的时间总和切分成无数个微元的时间对象，以Δt表示，在Δt内，小朋友从船头走到船尾的任意一个时间段的运动状态都可视作匀速运动，这是将整体时间切分为无限小的时间后微元的展现形态，所以，在Δt中，小朋友的位移Δs2=v2Δt.船的位移Δs1=v1Δt.继续推导可得出mΔs2=MΔs1.将切分后的所有元单位叠加并求和后，m∑Δs2=M∑Δs1，题目中所述，小朋友从船头走到船尾，所以小朋友相对于船的位移为船的总长度L，根据物理规律，L=s1+s2，由此便可计算出船的位移大小.

3 微元法在高中物理解题教学中的实践应用案例

3.1 在“运动学”问题中使用微元法

例4 某正做匀加速直线运动的物体，初始速度为v0，加速度为a，已知运动时间为t，位移为x，推导可用于表达x与t的关系式：x=v0t+at2.

使用微元法解题时，要先将该物体加速直线运动的整个运动过程分解成无数个细小的微元，随后将微元置于平面直角坐标系中，开展模型化解元.在直角坐标系中，微元可以看作是以高为t，以纵轴长度为上下底的梯形.t越小，坐标系中的梯形就越趋近于长方形.如图1所示，将图中的阴影面积看作是物体的总位移，便在平面直角坐标系中构建出了位移和时间的模型，想要求阴影部分的面积，可以将下半部分的长方形与上半部分的三角形面积相加，即x=v0t+at2，至此，完成了表达x与t关系式的推导.在解题时，通过微元法直观地展示出了速度和时间的变化关系，模型化解元的过程精简凝练，模型相对理想，使用数形结合思想解释位移的几何函数后，便可以完成关系式的推导与论证.

3.2 在“静力学”问题中使用微元法

例5 将一个均匀的质量为m的圆形绳套在一个光滑的圆锥体上.圆锥体的顶角为α，光滑圆锥体置于水平面上.求圆形绳平衡时绳的张力大小.

细绳类问题区别于常规的受力分析题，这类问题的情境特殊，如果使用常规的思路分析解题，那么学生很容易陷入思维误区，解题难度较大.使用微元法，便可以快速定位问题关键，完成受力分析.题目中可得到的已知条件相对较少，仅有圆形细绳的质量和圆锥体顶角这两个直接条件.先通过取元，将圆形细绳分化为均等的若干个微元，微元质量为Δm，微元对应的圆心角设置为Δθ，单独对微元做受力分析，该微元受到周边细绳的两个测拉力、微元自身重力以及圆锥体面给的支撑力，且微元处于受力平衡状态.此时再进行运算，便可以得出微元所受的张力大小，再通过叠加求和，即可得出圆形细绳平衡状态下受到的张力大小.总结来说，在解决细绳类受力分析题型时，使用微元法转换视角，将整体变为极微小的元后，找到微元质量和细绳整体间的质量关系，在受力分析后便能得出问题答案.

3.3 在“电磁感应”问题中使用微元法

例6 有一足够长的条形匀强磁场，处于一定空间内，以等距离状态分布.该匀强磁场的磁感应强度大小B=1T，磁感由方向垂直纸面向里，相邻磁场宽度d=0.5m，假设现有一质量为m=0.1kg，边长为L=0.2m，电阻为R=0.1Ω的正方形线框位于匀强磁场左侧，自磁场边缘水平进入磁场，正方形线框的速度为v0=7m/s，求该线框可以完整地穿过条形磁场区域的个数n.

高中物理电磁感应这部分题目，主要考查学生是否了解了电磁感应的本质，能否把握其中的物理规律，这类题目复杂多变，问题情境复杂，思路多变且极其灵活，在学生使用常规思路找不到突破点的时候，便可以使用微元法，根据问题中的情境正确取元，随后再通过建元建模和叠加求和得出问题答案.根據题目中的线索，线框运动过程中仅在进入磁场、离开磁场时才会相应地生成感应电动势.在垂直纸面向里的匀强磁场中，线框水平切割速度为v时，F安=B2L2vR，将整个运动过程切分成极其微小的元，取其中道极短时间设置为Δt，再根据动量定理，便可以得到F安·Δt=m·Δv，之后再求解，便可得出问题答案.

4 结语

微元法是高中物理解题教学中的常用方法，能够将复杂的物理题目简单化.通过取元、解元、用元，可以快速找到问题核心，将复杂的概念拆分成基础的元结构，再利用模型化解元将抽象内容转化为具象内容，将变量变化为常量；之后，使用各种物理规律、物理定律，对基础的元结构进行分析与处理，构建物理模型；最后，再通过元的加权叠加求和等方法，便可以直接得到题目答案.掌握微元法不仅能有效提高学生的解题能力、解题速度以及解题准确性，还可以培养学生的物理建模思维、逻辑推理能力，可以帮助学生巩固基础、牢固根基，能从根本上提高学生的物理水平.

参考文献：

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