微元法在高中物理解题中的应用例析

李圆圆

【摘要】微元思想是中学物理中的重要思想.所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法.本文从高中物理中的几个难点问题入手，探讨微元法在高中物理解题中的应用.

【关键词】高中物理；微元法；变力做功

1 微元法在解决变力做功中的应用

变力对物体做功时，很难用功的定义求解变力对物体做的功.当力的大小不变，仅方向随位移发生变化时，这类变力做功问题可用微元法求解.

例1 水平桌面上，长R=5m的轻绳一端固定于O点，俯视图如图1所示，另一端系一质量m=2.0kg的小球，现对小球施加一个F=10N的力，F拉著物体从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（  ）

（A）2∶1. （B）3∶1. （C）2∶1. （D）3∶1.

解析 将圆弧分割成若干个小段I1，I2，…，I，则拉力F在每一小段做的功分别为W1，W2，W3…，Wn，

所以W1=Fl1cos37°，W2=Fl2cos37°，W3=…，Wn=Flncos37°，W=W1+W2+…+Wn=Fcos37°l1+l2+…+ln=Fcos37°·π3R=40π3J，同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·π3R=20π3J，拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2∶1.故选（C）.

点评 力的大小不变，方向与运动方向相同，如果将小球运动的轨迹分成若干个微小段，力在每一微小段上可近似看成恒力做功，由于功是标量，所以力在全过程中做的总功可用各微小段的功之和来计算.

2 微元法在解决空间电场问题中的应用

例2 如图2所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1，O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2=2r，两环分别带有均匀分布的等量异种电荷+Q，－Q（Q>0）.一不计重力的带正电的粒子从O1处由静止释放，静电力常量为k，下列选项正确的是（  ）

（A）粒子在O2处动能最大.

（B）粒子在O1O2中点处动能最大.

（C）O1O2中点处的电场强度为2kQr2.

（D）O1O2中点处的电场强度为2kQ2r2.

解析 根据电场叠加原理，在O2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，以后向左运动速度开始减小，动能也在减小，故（A）错误；带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2运动的过程中，两圆环对粒子的作用力都向左，可见电场对带电粒子做正功.故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故（B）错误；把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为q=Q2πr，根据点电荷场强公式，各点电荷在O1O2中点处产生的场强大小E=kq2r2，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的场强为E=kQ2r2cos45°，两个圆环的场强，再叠加一下，有E总=2kQ2r2，故（C）错误，（D）正确.

点评 高中阶段的学生对点电荷周围空间的电场分布比较熟悉，对均匀带电圆环周围空间电场的分布还比较陌生，如果将圆环分割成无限个小微元，每一个小微元就可看成一个点电荷，然后根据场强的叠加原理求解电场强度.

3 微元法求解导体棒切割磁感线的运动问题

例3  如图3所示，两根电阻不计的足够长的平行金属导轨MN和PQ放在水平面上，两导轨的间距为L，左端连接有阻值为R的电阻.两导轨处于竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中.现有一质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上，给金属棒一个瞬时冲量，使它获得一个水平向右的初速度v0后开始沿导轨向右运动.金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦.

（1）金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？

（2）金属棒向右运动的最大距离是多少？

解析 （1）当金属棒在磁场中运动到某一位置时的速度为v时，此时回路中的感应电动势为E=BLv，

回路中的电流为I=ER+r，

金属棒所受的安培力F安=BIL，

得F安=B2L2vR+r.

（2）金属棒从速度为v0至停下来的过程中，由动量定理得I安=0－mv0.

将整个运动过程划分成很多小段，可认为每个小段中的速度几乎不变，设每小段的时间为Δt，则安培力的冲量

I安=－B2L2R+rv1·Δt+B2L2R+rv2·Δt+B2L2R+rv3·

Δt+…，

I安=－B2L2R+rv1·Δt+v2·Δt+v3·Δt+…，

I安=－B2L2R+rx，

解得x=mv0R+rB2L2.

点评 因金属棒在运动的过程中，每个位置的速度大小均不相同，很难直接用动量定理解答，如果将运动过程分割成若干个小段，在每一个小段上速度的大小可认为不变，采用微元法解题.

4 结语

在高中物理解题中，一些比较复杂的物理过程表面上看起来无法解答，但稍加分析就可用已学过的熟悉的物理规律来解决，将复杂的问题简单化.在使用微元法处理物理问题时，需将其分解为若干个微小的“微过程”，每个“微过程”所遵循的规律相同，这样只需分析这些“微元过程”，然后将“微元过程”用数学手段或物理思想进行处理，是一种“化整为零”再“集零为整”的思维方法，学生掌握了这种方法，有助于深度理解物理概念，拓展了解决物理问题的思路．

参考文献：

[1]刘辉芳.微元法在高中物理教学中的应用[J].中学物理教学参考，2023，52（12）：14-16.

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[3]裴加旺，刘蕊.微元法在高中物理教学中的应用[J].物理之友，2022，38（02）：37-40.

[4]郑成荣.“微元法”在高中物理解题中的应用[J].中学物理教学参考，2020，49（12）：75.

[5]张海军，唐安全.微元法在高中物理解题中的应用探究[J].中学生理科应试，2019（08）：21-23.