例析特殊平行四边形中线段最值问题

高艺萌 (安徽省芜湖市万春中学906班 241060)

指导教师 武咸保 (安徽省芜湖市万春中学 241060)

特殊平行四边形中线段最值问题是几何学习中的一个难点,也是常考内容．

1 根据“两点之间,线段最短”求最值

图1

分析 先找出动点P的运动轨迹,再找出PA+PB的值最小时点P的位置即可解决问题．

图2

总结解决有关PA+PB的最小值问题时,常借助对称将线段之和的问题转化为“两点之间,线段最短”的问题来求解,其中确定动点的运动轨迹是关键点．

图3

分析EF为定值,故求△AEF周长的最小值只需求出AE+AF的最小值即可．但E,F都是动点,我们可以利用平移思想将动点E,F平移到一起研究．

总结两动点定长问题一般利用平移思想将两动点平移到一起,构造出一个平行四边形,转化为PA+PB的最小值问题．

2 根据“垂线段最短”求最值

例3如图5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,D是斜边BC上一动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,G为四边形DEAF对角线的交点,则线段GF的最小值为．

图5

图6

总结本题要求最值的线段GF的两个端点都是动点,无法确定最小值位置,但GF是矩形对角线的一半,利用矩形对角线相等的性质将求GF的最小值转化为求AD的最小值．而线段AD的端点A是定点,D是BC上一动点,故依据“垂线段最短”可知当AD⊥BC时AD最短.最后利用勾股定理和面积法求出此时AD的长度,从而解决问题．

3 根据“三角形三边关系”求最值

图7

分析 利用轴对称作出点N关于BD的对称点N′,连接PN′(图8),则PM-PN=PM-PN′．再连接MN′构造出一个三角形,利用“三角形三边关系”求解．

解作点N关于BD的对称点N′,连接PN′,MN′．在△PMN′中,由“三角形三边关系”得PM-PN′

总结利用“三角形三边关系”解决两点之间距离的最值问题时,一般利用轴对称先构造一个三角形,利用“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”,结合动点的轨迹,当三点共线时取得最大值或最小值．

例5如图9,在正方形ABCD中,动点E,F分别从点D,C同时出发,以相同速度沿边DC,CB移动,连接AE和DF交于点P,连接CP,由于点E,F的移动,使得点P也随之移动．若AD=2,则线段CP的最小值是( )．

图9

分析 关键是确定点P的轨迹,由已知条件可知点P在运动过程中,∠APD=90°不变,所以点P在以AD为直径的圆上运动,构造△CPG(图10),利用三角形三边的关系解决问题．

图10

总结若动点的运动轨迹是圆(或弧),且圆外一定点与圆上一动点位于圆心同侧,则当圆心、圆上动点和圆外定点三点共线时,该动点到圆外定点的距离最短．

4 结束语

解决特殊平行四边形中线段最值问题,不仅涉及动点轨迹的寻找,还需要结合图形性质去解决问题．特殊平行四边形本身的相关知识点就多,因此在求解与之相关的线段最值问题时,首先要理清题中涉及的特殊图形的相关知识点,再结合已知条件确定最值位置,此外,在最值线段的求解中一般还会用到勾股定理．

指导教师评语本文详细阐述了特殊平行四边形中线段最值问题的求解方法和技巧．从线段最值的特征出发,对最值类型进行归类．通过对具体例题的分析展示了如何分析问题、解决问题,将未知转化为已知．通过模型的归纳为特殊平行四边形中线段最值问题的解决提供了方向,破解了难点,让学习变得不再困难．