一道高三统测解析几何试题的命制、测评结果及分析

尤 裕 (江苏省梅村高级中学 214112)

严 鹏 (江苏省镇江崇实女子中学·茅以升中学 212004)

1 命题背景

从以往全国高考数学卷来看,解析几何命题的结构严谨,考查学生的能力全面,不仅考查学生的计算能力,还考查转化与化归的思想,以及对整体和部分的协调性的把握．2022年全国甲卷(理)第20题、2022年北京卷第19题、2021年全国卷第21题、2020年全国卷Ⅰ(文)第21题,均以直线的斜率为考查背景,所以本次高三统测解析几何试题的命制以斜率这个热点问题为背景,对学生的数学运算、逻辑推理等核心素养进行了检验．试题主要考查了直线与椭圆的位置关系,旨在体现解析几何用代数方法解决几何问题的基本思想．

2 试题及解析

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若经过点T(1,0)的直线交椭圆C于A,B两点,点P为直线x=4上任意一点,证明:kPA,kPT,kPB成等差数列．

解析 本题的思维导图如图1所示．

图1

图2

(2) ①当直线AB斜率为0或不存在时,点A,B的坐标易求得,显然kPA+kPB=2kPT.

综合①②,kPA,kPT,kPB成等差数列．

本题考查了椭圆的简单性质及方程思想、直线与椭圆位置关系的相关问题,还考查了计算能力、转化思想及推理论证能力．常规思路是直线方程与椭圆方程联列、消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题．

3 结果及分析

考完后,统计班级本题的得分情况,结果见表1．得分集中在5～6分,均分6.375,高分率8.3%．

表1 第22题得分情况

第(1)题满分的学生与第(2)题是否完成的相关性为23.6%,说明完成第(1)题对第(2)题是否能做对关系不大．从原始数据来看,第(2)题满分的学生,第(1)题均为满分,第(2)题与总分的相关性为95.5%,说明做对第(2)题对本题得11分或12分有很大的相关性．

在解决本题时学生存在的主要问题有:(1)没有讨论斜率不存在的情况;(2)在处理(*)式时不敢动手化简,在分子的展开、化简和代入时产生计算错误．

4 反思与实践

学会学习比学会知识更重要,数学核心素养在学生身上的一个重要表现就是“会学习”．学生的数学核心素养需要在数学活动过程中,通过一次次专心的观察和分析、一次次有序的操作和验证、一次次细心的推演和计算、一次次大胆的猜测和判断、一次次缜密的推理和论证,还有一次次与同学和老师的讨论、质疑、交流等,一点一点建立、积累和提升起来,这些活动经验可以成为学生思维的重要载体．

因此,数学教学中要注意加强数学学习方法的指导,帮助学生积累基本的数学活动经验,使学生学会知识的探究和应用,学会数学的学习．下面提供两个练习供解题实践．

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点．

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB．