看似寻常最奇崛 多思多解蕴素养——滨州市2023中考试题第20题评析与教学思考*

陈元云 (山东省惠民县辛店镇中学 251710)

邢成云 (山东省滨州市教育科学研究院 256600)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标》)在评价建议的条目一中指出:“不仅要关注学生知识技能的掌握,还要关注学生对基本思想的把握、基本活动经验的积累．”[1]中考作为义务教育阶段的终结性评价工具,每一道题都凝聚了专家的智慧与期望．在此,笔者以2023年滨州市中考试题第20题为例,在试题评析的基础上,立足解题教学谈谈自己的思考,与各位同行共勉．

1 试题分析

1.1 原题呈现

如图1,(1)已知线段m,n,求作Rt△ABC,使得∠C=90°,CA=m,CB=n;(请用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

图1

(2)求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(请借助上一小题所作图形,在完善的基础上写出已知、求证与证明)

1.2 解法探索

本题包含两个小题,每小题均有多种解法,限于篇幅,下面只提供每种解法的简要解析．

第(1)题有两种解答思路:思路一,先作出直角,再在所作直角的两条边上分别截取线段m,n即可得出要求作的直角三角形;思路二,先作出线段m,再过线段m的一个端点作出其垂线,后在所得垂线上截取线段n,由此得到符合题意的直角三角形．因思路二中“作一条线段等于已知线段”“过一点作已知直线的垂线”这两个基本作图没有多少开放性,本文不再讨论,而思路一中作直角的开放性较大,故下面仅提供“作直角”的不同方法．

方法1 如图2,过直线MN上一点C作直线MN的垂线(实质是作出平角∠MCN的平分线),得∠DCN=90°.

图2

方法2 利用“过直线外一点作已知直线的垂线”[2]62这一基本尺规作图作出垂线后,即可产生直角.

方法3 利用基本尺规作图作出“线段的垂直平分线”[2]63得到直角．

以上三种方法都是直接使用基本作图一次性完成,对本小题的解答而言是最基本、最经济的方法．但若从教学研究的视角去思考如何作直角,笔者发现可有如下另外的7种方法．

方法4 如图3,以点D为圆心、DM长(DM可以为任意长)为半径画弧,在弧上任意找两点M,N,连接DM,DN,得出等腰三角形DMN,再利用尺规作图作出其顶角的平分线或底边的垂直平分线,得出∠DCN=∠DCM=90°．

图3

方法5 如图4,以点M为圆心、ME长(ME可为任意长)为半径画弧,在弧上任意找两点E,F,再分别以点E,F为圆心、任意长(图中EN)为半径画弧,两弧相交于点N,得出筝形MFNE;此处若EN=ME,则得到菱形MFNE(图5).在图4与图5中,连接MN,EF,均可得出∠ECN=∠ECM=∠MCF=∠NCF=90°．

图4

方法6 如图6,以点O为圆心、OC(任意长)为半径画弧,在弧上任意找两点C,D,连接OD,OC,延长DO,在其延长线上截取OE=OD,连接CD,CE,则△DCE为直角三角形,即得∠ECD=90°．

图6

方法7 如图7,在射线MN上顺次截取MD=DE=EF=FG=GN(MD为任意长),以点M为圆心、MF为半径画弧,再以点N为圆心、ND为半径画弧,两弧相交于点C,连接CM,CN,则∠MCN=90°．

方法8 如图8,以任意长为半径作⊙O,作出⊙O任意一条直径MN,再作出直径MN所对的任意圆周角∠C,即可得出∠C=90°．

图8

方法9 如图9,以任意长为半径作⊙O1,再作出⊙O2(⊙O2的半径出现两种情况,与⊙O1的半径不等(图9)或者相等(图10)),使⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆相交于M,N两点,连接O1O2,MN,则∠MCO1=∠MCO2=90°．

图10

方法10 如图11,以任意长为半径作⊙O1,在⊙O1上任取一点为圆心作等圆⊙O2,两圆相交于点C,连接O2C,O2D,DC,可证DC即为⊙O2的切线,则∠DCO2=90°.

对于第(2)题,解题方法有10种:

图12

方法2 (倍长中线法)如图13,延长CO至点D,使OD=OC,连接BD．易证△AOC≌△BOD,得出BD=AC,再证得△BDC≌△CAB,得出CD=AB,从而结论易证．当然,受对称思想的启发,此题也可以延长CO至点D(图14),使OD=OC,连接AD．证明方法同上．

图14

或者过点O作OD∥BC(图16),根据平行线分线段成比例基本事实,即可得出点D为AC中点,后续证法同上．

图16

上述两种构造方法亦可改为过点O作出垂线段OD,证法类似．

图18

图20

与图22对应的证明方法同上,不再赘述．

图22

图24

2 试题定位

本题第(1)题属于简单的综合尺规作图[4],考查了两类基本作图:一类是作一条线段等于已知线段,另一类是作垂线(直角)．对于作已知线段的等线段,方法唯一;而对于作垂线,可谓起点低、入口多,并且若从用尺规作图作直角这一转换思路来考虑的话,方法多元(前文已述)．试题第(2)题,是证明直角三角形的一个性质定理,是人教版八年级下册教材第53页“思考”栏目中的内容;此小题在考查这一知识点的同时,还借机考查了证明一个文字命题是真命题的方法．

当然,试题命制恪守兼顾评价与导向双重功能的基本原则,故此试题除考查学生对相应知识点的掌握情况外,还考查教师对尺规作图及其教学的理解与把握．“尺规作图是培养综合素质的高效途径之一,知识含量少、益智作用大,是地道的思维体操．”[5]教师在教学中是否关注到尺规作图的价值?是否注重教学内容的一致性与完整性?这都是此题考查的初衷．对整道题的预测难度系数为0.5,区分度为0.6,而实际难度系数为0.24,区分度为0.55,如此大的反差无疑暴露了教学中存在的问题——“掐头去尾烧中段”现象愈演愈烈,这不得不引起数学教育者的深思．

3 教学启示

3.1 转变观念,有效促成感性到理性的认知升华

《课标》在教学建议中指出:“第四学段,在对图形性质的研究过程中,核心素养的感悟由感性上升为理性,要求在建立空间观念、几何直观的基础上,逐步形成推理能力．”[1]86从本题学生的答题情况可看出,学生的几何直观大多还停留在感性阶段．例如,用尺规作图作出直角,90%以上的学生用手里的直角三角板或直尺去“想当然”地画出来;同样,对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论,80%以上的学生知之也能用之,而面对如何证明这一结论,学生的答题情况让人汗颜．尽管《课标》在教学建议中明确提出五条具体要求,但教学中落实了多少、又落实到什么程度,都需要教师反求诸己、深入反思,去探明数学课堂教学的真谛．就像本题,若课堂教学中注重培养学生的感性经验,并通过感性经验的积累把感性上升为理性,注重对问题的过程性思考,此题的解题结果定会是另一番景象．教师在教学中须认识到培养学生“抽象能力、几何直观、空间观念、推理能力”等核心素养的关键所在,在“知其然—知其所以然—何由以知其所以然”的逻辑链条上下功夫,而不是在“讲题与刷题”中兜圈．

3.2 渐进完善,遂成教学内容的结构化认知体系

《课标》在教学建议的条目二中指出:“为实现核心素养导向的教学目标,不仅要整体把握教学内容之间的关联,还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联．”[1]85同样,《课标》在教材编写建议中也提出:“构建内容结构既要关注数学内容之间的逻辑联系,又要关注核心素养整体性培养的要求．”[1]93受此启发,教师在教学中不仅要在每个章节之内落实单元整体教学,还要在各章节之间以及不同专题之间落实好结构化教学．如本题中用尺规作直角的逐步完善,可依教材的学习顺序“角的平分线—线段的垂直平分线—等腰三角形—特殊四边形(矩形、菱形)—圆”渐进完善,逐步形成前后逻辑连贯的主线;或在中考复习阶段以数学逻辑结构化集中呈现,把初中学段相关确定直角的方法来一次大盘点,在提炼出作直角的10种不同方法的同时,凝聚成强而有力的“CPFS”认知大结构[6]．同样,对于本题第(2)题的证明,随着教学的不断推进,也能逐步析出10种证明方法,尤其是在学生学习了《圆》这一章的内容之后,再探索这一性质的证明方法,意义与价值会更大．若把这10种方法统摄起来看,它是对“中点”问题的一次大盘点,同样也形成了系统性的“中点”概念域认知结构．故结构化的体现不仅仅在每节课、每个单元,更重要的还有“阶段性或终结性”的结构化总结．惟其如此,学生在感受知识进阶的同时,才能更好地实现数学核心素养发展的阶段性、整体性与一致性．

3.3 立足教材,统合课程资源,优化课堂教学

“教学实践中,要善于发挥经典作图题的多解功能,引导学生多角度逆向探索问题,启发学生广泛联想,……形成结构化、整体化思路,发展学生的思维能力．”[7]这一论述应该成为数学教学的一个缩影,尺规作图只是数学教学中的一小部分,其他部分的教学都应落实这种发展学生思维能力的方式与方法．《课标》在教材编写建议的第四条指出:“注重教材创新,深刻理解课程理念,细致分析课程性质、目标、内容等,着力在教材的内容结构、内容组织、内容呈现、栏目设置、习题编排等方面有所突破．”[1]95教学中教师根据这一教材编写建议,在将国家级课程落实到校本课程的过程中,应结合学情,站在课程的高度,循着“立足教材-高于教材-整合教材”这一重构与创生教材的路径,统合课程资源,引导学生养成多角度思考问题、全方位联系问题的习惯,树立课程意识,优化课堂教学,变教专家结论为教专家思维,与教学中的“盲目刷题、照搬套路、机械记忆”现象告别．