基于思维可视化促进学生逻辑推理素养提升的实践与思考——以“函数背景下的数列不等式证明”为例*

李志中 (江苏省宿迁中学 223800)

随着高考改革的不断深入,高考数学也从“知识立意”“能力立意”转向“素养立意”,贯彻“多想少算”的原则,注重在数学应用和探究等方面突出对数学思维能力的考查．数学思维能力包括观察、猜想、类比、归纳、抽象、概括、证明等逻辑推理能力．在教学中如何培养学生的数学思维能力、促进学生逻辑推理素养的提升呢?下面以高三复习课“函数背景下的数列不等式证明”为例,谈谈笔者在基于思维可视化提升逻辑推理素养方面的实践探索．

1 基本情况分析

1.1 学情分析

教学对象是四星级高中高三文科创新班学生,基础良好,有较强的自主学习能力和自主创新意识．

1.2 教学分析

数列是高考的核心考点之一,新课标要求了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性[1]．同时,数列求和是微积分的基础,是初等数学与高等数学联系最密切的内容之一．因此,高考往往会在数列、函数、不等式等知识交汇处进行考查．这就要求我们通过数列章节教学重点培养学生的逻辑推理与数学运算素养,提升数学思维能力,让学生学会用数学的眼光看问题．

教学目标 (1)通过具体问题总结数列不等式证明的常见方法与策略;(2)经历函数背景下的数列不等式证明过程,归纳解题路径,绘制解题思维导图,提升逻辑推理素养;(3)通过小组合作提出新问题、解决问题,体会命题人的思维视角,提高动手实践能力,发展自主创新意识．

教学重点 通过证明数列不等式绘制思维导图,并能逆向构造新问题．

教学难点 函数背景下的数列不等式证明的一般策略与路径,以及如何对函数的自变量合理赋值．

2 教学过程实录

2.1 自主研学 回顾方法

师:前面我们已经研究过数列不等式的证明,请大家先完成下面两个不等式的证明．

师:从两个问题总结一下数列不等式证明的基本策略有哪些?

生:对可求和的数列直接求和证明,不可求和的数列通过放缩转化为可求和的数列．

师:很好!这体现了高中数学中重要的转化与化归思想．那么,在高考题中的数列不等式证明还有哪些不同的考查方式呢?

设计意图让学生总结数列不等式的证明方法,为复杂函数背景下的数列不等式证明做好铺垫．著名数学家华罗庚指出:退到原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍．

2.2 情景活学 归纳方法

例题已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R．

(1)若不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;

师:请大家先完成第(1)题,再思考如何解决第(2)题的证明,你有哪些解题策略?

第(1)题略,答案是a≥1．

生1:是否可以考虑移项构造数列,通过研究数列的单调性来证明?

生2:可以使用数学归纳法证明有关正整数n的等式或者不等式．

生3:能否继续使用放缩法来证明,但是我还没有想到具体的方法．

师:在刚才我们课前练习总结的方法基础上,同学们又提出了两种新的方法,即利用数列的单调性或者数学归纳法来证明.非常好!大家可以在课后尝试证明．但是,在第(1)题利用函数与导数研究不等式恒成立的背景下,我们如何更好地应用已经得到的结论来证明该不等式呢?我们能帮生3解决他的困惑吗?

生:我们可以回到开始解决的问题,证明 第(2)题的时候实际上我们是将数列的和式不等式通过放缩通项进行转化．

师:你能借鉴已有的探究经验来思考新问题,非常棒!我们解决这类问题的基本原理是将证明数列{an},{bn}前n项和Sn,Tn的大小关系转化为证明通项an,bn的大小关系．

生:然后应用不等式的基本性质a1

师:在证明过程中我们分别使用了不等式的传递性与同向相加的性质．那么,例题和我们已经解决的问题有什么区别呢?同学们可以谈谈你们的想法．

生2:左侧相当于已经告诉我们数列{an}的前n项和Sn=ln(n+1),然后求出通项公式．

师:经过各位同学的共同努力,我们找到了不等式证明的关键.那么证明该不等式可以有哪些思路?

生1:可以用自变量x替换不等式中的n,然后移项构造函数,利用导数方法来证明．

师:前两位同学直接构造新函数证明不等式,而第三位同学能联系题目背景思考已有的不等式和证明目标之间的联系,更有全局观念,多观察、善思考,方能减少计算量!

师:那么我们该如何利用第(1)题进行赋值?

师:精彩!你能从要证明的不等式和已有不等式形式上的相似之处进行恰当的赋值．那么,下面请大家回顾一下例题的解决过程,分组合作交流本题的思维流程．

生:我们小组讨论后用算法来表达:

S1 确定函数不等式f(x)≤0;

S2 赋值变形得到an≤bn;

S4 如有需要对其中一侧继续进行放缩．

设计意图借助典型例题创设情境,引导学生在遇到解题障碍时能够类比找到解题方案,并归纳解题的思维流程．通过共同探究让学生能够在比较复杂的情境中把握事物之间的联系,形成重论据、有条理的思维品质和理性精神,发展学生的逻辑推理素养．

2.3 融通用学 拓展思维

师:我们已经绘制出这类数列不等式证明的思维流程图,那么同学们能利用不等式lnx≤x-1或ln(1+x)≤x命制一道数列不等式问题吗?请大家分享一下命制的过程．

师:两位同学能在函数不等式背景下,联系我们课堂开始已经证明的两个数列不等式命制更为深刻的新问题.还有其他的问题吗?

师:这位同学能从等差数列求和公式入手命制这样一道漂亮的数列不等式,体现了数学的朴素与简洁之美!高考真题往往也有异曲同工之妙,请大家来看一道高考题:

(2017年新课标Ⅲ卷)已知函数f(x)=x-1-alnx,a∈R．

(1)若不等式f(x)≥0恒成立,求a的值;

设计意图引导学生运用“类比、特殊化、强化/弱化结论”等策略提出新问题并解决问题,激发学生学习数学的兴趣,促进学生实践能力和创新意识的发展．

2.4 类比迁移 形成策略

(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

师:思路非常清晰!这位同学能举一反三,把刚才我们的探究过程类比迁移到了该问题的解决中,根据题目变化合理调整解题方案．

设计意图通过变式检验学生的应用能力,鼓励学生合理运用数学语言与思维进行表达与交流．

2.5 课堂小结(略)

3 教学反思

3.1 创新试题情境,促进深度学习

高考试题往往源于教材,通过深挖基础概念,在试题设计上进行创新,一方面是创新试题情境,选取新颖的呈现形式,另一方面是拓宽思维的深度和广度,强调灵活思考与准确理解[2]．灵活新颖的情境有利于激发学生学习数学的热情,锻炼学生创新思维、发散思维等,培养学生的动手实践能力,形成笃定持久的学科兴趣,这是培养拔尖创新人才的时代需求．在函数背景下研究数列不等式的证明,需要合理使用函数构造不等式,再通过恰当的赋值证明数列不等式,试题兼具开放性与探究性,重点考查学生的思维过程和创新意识．

层次丰富的数学情境使得设问具有一定的跨度,这就需要我们在课堂上有意识地创设数学情境,用数学问题链组织和驱动教学[3]．通过问题链的设计及解决帮助学生积累解题经验,激活学生原有认知域中与问题相关的知识、方法,批判性地思考新问题与新事物,主动进行知识与方法的迁移运用,最终实现深度学习．

3.2 有效设计提问,引导学生思维深度参与

高效的提问往往能激发学习兴趣、启迪心智、拓宽视野,使得课堂变成师生、生生之间的思维碰撞与交流,这就要求教师在课堂提问环节进行有效的设计[4]．本节课通过设计课前问题来复习已有解题经验,为新问题的解决做好铺垫,同时可以调节课堂的紧张氛围．小组讨论时设计的开放性问题让学生进行充分的联想,唤醒已有知识、方法,同学之间相互补充,促进教学难点的突破．在实践应用环节,让学生提出新问题,体现其对问题解决的较高参与度,同时把自己头脑里的理解传递给教师;以原创问题的提出为契机,强化学生主动学习的意识,培养自主思考的能力．

在高三专题复习中教师提问的设计要具备启发性、开放性、延伸性,通过有效设计,将学生在思考中的困惑、挣扎、沮丧、收获甚至震撼与感动呈现出来,在面临更为复杂的新问题的处理中,长期形成的思维的韧性与深刻性将帮助他们度过难关,从而提高学习成绩．

3.3 思维路径可视化,发展逻辑推理素养

在活动实践、与他人的交流和总结反思中展开学习,学生更容易形成有逻辑的思考与表达．我们需要在课堂上将教学内容(包括数学思维)可视化地呈现,通过学生交流与展示,看见思维、诊断思维、培养思维,帮助学生重新建构知识系统,促进学生理解与联想记忆,提升学生创造力．思维可视化为抽象逻辑、思想、智慧提供具体化或表象转换,可以有效提高信息获取、处理、应用的效能．为实现思维可视化,需要我们在教学设计中体现教学重难点学习过程的可视化与问题解决路径的思维可视化[5]．

在本节课的情境活动环节,学生通过无领导讨论之后的交流分享充分展示思维的多样性,既有问题解决过程中的难点,也有易错点,更有对问题解决的聚焦联想,让每一种有代表性的思维都可见、可想．在融通用学环节,学生在解决一类问题后通过归纳画出思维流程图,引发对问题本质的深刻思考,代替传统的记笔记.学习不再是被动地接受教师的思想与实践,而是将解题经历中的思维作为一种新的知识进行学习．在反思评学环节,学生通过类比迁移解决新问题,最终实现思维可视化的实践,体现思维对每个人都是可探索、可挑战、可进步的．这样的教学设计更有利于激发学生的探索欲,培养学生复杂背景下的逻辑思维能力,发展学生的逻辑推理素养．