浅入深出“串题成链” 化繁为简“思维拓宽”——以“定义法求圆锥曲线的轨迹方程”为例*

徐士权 (江苏省宿迁中学 223800)

随着新课改的不断深入,广大一线教师逐渐认识到培养学生思维能力的重要性．思维能力的培养需要用问题引领[1]．教师要在课堂教学中设计前后连贯、逻辑一致的问题链,给学生创设合理的问题情境,引导学生独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等,逐步激活学生的创新思维,在轻松和谐的环境中拓宽思维、提升能力．那么,应该怎样去设计“问题链”来提升学生的思维能力呢?下面以“定义法求圆锥曲线的轨迹方程”为例谈谈个人的一些看法,与各位同仁共享．

1 教学分析

内容分析 圆锥曲线是高中数学的重要内容.圆锥曲线的定义形式多样、内涵丰富,充分体现了解析几何的基本思想,是高考必考的内容．用定义法求圆锥曲线轨迹方程,就是直接利用圆锥曲线的定义探求动点运动的轨迹,从而得到轨迹方程的方法．利用定义法求圆锥曲线轨迹方程可以起到事半功倍的作用,能让学生加深对圆锥曲线定义的理解,为后续的学习夯实基础,同时教会学生从不同的角度和层面去思考问题,提高学生的思维水平和创新能力,培育数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．

学情分析 教学对象是高二物化生类创新班学生,基础扎实,有较强的逻辑推理、数学运算和综合运用知识解决问题的能力．本节课是学完《圆锥曲线与方程》后的数学探究课．

教学目标 (1)掌握运用圆锥曲线的定义求轨迹方程的方法;(2)通过探究活动提高灵活运用定义解题的能力;(3)提升数形结合和空间想象能力．

教学重点 根据定义求圆锥曲线轨迹方程的方法及其实施步骤．

教学难点 轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论．

2 教学过程

2.1 温故知新 自主研学

问题1我们已经学习了《圆锥曲线与方程》这一章,你能用表格的形式回顾圆锥曲线的类型及其定义吗?(生1口答,略)

设计意图通过对圆锥曲线定义的复习,比较椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线定义的异同,为本节课的探究任务“定义法求圆锥曲线的轨迹方程”打好基础．

2.2 例题讲解 情境活学

问题2已知圆F1:(x+1)2+y2=1,圆F2:(x-1)2+y2=9．若动圆C与圆F1外切,且与圆F2内切,求动圆的圆心C的轨迹方程．(苏教版(2019)选择性必修第一册第87页“思考·运用”第10题)

图1

师(追问):你运用的什么方法?

生1:我用的是椭圆的定义．

问题3你能给这里的“定义法求圆锥曲线的轨迹方程”下一个定义吗?

师生共同完成:所谓定义法求圆锥曲线的轨迹方程,就是利用所学的椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的定义,确定动点的运动轨迹是哪一种圆锥曲线,从而直接写出动点轨迹方程的方法．具体操作步骤是:一定曲线,二定方程,三定范围．

设计意图教材上的这道习题设计精妙(圆心用F1,F2表示,暗示学生考虑其可能是椭圆的焦点),能引导学生思考、研究、讨论,对不同的解法进行辨析,总结各自的优缺点．学生通过亲身实践,体验到用定义法求轨迹方程能促进对定义的理解,而且解决问题既准又快．

问题4请大家思考:能否适当变化上题的条件,使得点C的轨迹是椭圆的全部?

生2:只需要将圆F1与圆F2的位置关系由内切变为内含即可,比如已知圆F1的方程为(x+1)2+y2=1,圆F2的方程为(x-1)2+y2=16,这时动圆圆心C的轨迹是整个椭圆．

图2

师(用GGB展示动画,并追问):很好!如果要得到双曲线的另一支?题目条件该如何变化?

生3:根据图象,只需要将上题中“圆C与圆F1外切,且与圆F2内切”改为“圆C与圆F1内切,且与圆F2外切”即可．

设计意图问题4的切口很小,基于几何直观,学生很容易作答．接着追问,学生自然会想到调整动圆和两个定圆的位置关系,这样既训练了学生思维的缜密性,也启发了思维的广阔性,为接下来研究其他变化策略埋下伏笔．

2.3 合作探究 融通用学

问题5若综合考虑两定圆和动圆之间的位置关系,我们还能得到哪些新的问题?请大家分组讨论,选定其中一种情况进行研究、讨论、展示．

生4(代表第1组展示):我们组研究了圆F1和圆F2内含,且动圆C与圆F1和圆F2相切的情况．为了研究方便,且不失一般性,不妨设F1内含于F2,设圆F1和圆F2的半径分别为r1,r2．

图3

生5(代表第6组展示):我们组重点研究了圆F1和圆F2相离,且动圆C与圆F1和圆F2相切的情况．如果圆F1和圆F2相离．

图5

师:若按照两个定圆的位置关系来分类,共有相离、外切、相交、内切、内含五种情况,再考虑动圆与它们是外切还是内切,同时考虑两个定圆的圆心是否重合、半径是否相等诸多因素,可以得到一系列问题和结论.这个问题正是2011年北京大学自主招生考试的第6题:设C1和C2是平面上两个不重合的固定圆,C是平面上的一个动圆．若C和C1,C2都相切,则C的圆心轨迹是何种曲线?请证明你的结论．这个问题比较繁琐,我们之前的探究,已经将两个定圆相离、外切、内切、内含这4种情况初步解决．接下来我们来看最后一种情况:两定圆相交．

设计意图将这道比较复杂的自招试题拆解为若干个简单问题,部分问题已经被很好地解决,初步收到化繁为简的效果．此时课堂氛围渐入佳境,及时抛出北大自招原题,激发学生的成就感和探究欲,引导学生进行合作探究,作出阶段性总结,鼓励主动展示、及时补充,培养学生善用数学的语言表达问题,发扬协作精神深入探究,同时培养了思维的缜密性和广阔性．

问题6已知圆F1和圆F2相交,且动圆C与圆F1和圆F2相切,求动圆的圆心C的轨迹方程．

图7

设计意图两个定圆相交的情况貌似复杂,实际上解决办法与前面的问题相同．此种情形下,动圆与两个定圆的位置关系可以是都外切,都内切,一个外切、一个内切(两种情形),而这些问题,学生之前全都成功探究到位了,所以只要细致分析、推理、运算,完全可以解决．将这个问题破解之后,学生深切体会到复杂的问题往往就是简单问题不断迭代而来,只要不断拆分,逐个击破,一定能将其解决．解决问题的过程能培养学生坚韧不拔的意志和不厌其烦的耐心,同时让学生体会到化繁为简的思维方式威力巨大,这也拓展了思维的深度和宽度．

2.4 巩固练习 反思评学

问题7以上两个定圆、一个动圆位置关系带来的动圆圆心轨迹问题,我们已经全面、彻底地解决了．我们能否对题目条件进行大胆的、更有创意的变化,从而提出新的问题呢?

生7:可以考虑将圆F1变为一个点,动圆经过C这个点,且与圆F2相外切．

师:很好!可以这样改,不过这样提出的一系列问题和我们之前研究的问题差别不大.除了把圆变化成点,还可以变化成什么呢?

生7:可以将圆F1变成一条直线,不过这条直线要特殊一点,比如就是y轴．

问题8动圆C与直线l:x=0和圆F:(x-1)2+y2=1相切,求动圆圆心C的轨迹．

师:这个变化很有创意,请大家尝试解决．

生7(作图、讲解):设圆C的半径为r,则CF=r+1,C到直线l:x=0的距离为r,则C到直线l:x=-1的距离为r+1,C的轨迹是以点F为焦点、x=-1为准线的抛物线(不含原点),方程为y2=4x(x≠0)(图9)．

图9

生8:少考虑了一种情况,就是圆C与直线l和圆F都相切于原点,即点C在x轴上的时候,C的轨迹方程为y=0(x≠0)．

生9:还得再挖掉一个点(1,0),因为此时圆C与圆F重合,应舍去．

师:非常好!经过共同努力,得出正确答案:C的轨迹方程为y2=4x(x≠0)或y=0(x≠0,1)．

这道题也提醒我们,思考要细致、全面,确保轨迹方程的纯粹性和完备性,通俗地讲,就是不多不少．至此,我们圆满完成了既定的任务,大家的表现非常棒．再给大家留一个开放性的问题,课后继续思考、研究、讨论．

问题9继续对以上的问题条件进行调整,你还能得到哪些有趣的问题和结论?

设计意图问题1～6形成了一个闭环的问题链,且已经全部解决．接下来,要突破这个问题链,需要对问题的条件进行全新的变化.此时学生的思路已经打开,想到把其中一个定圆变为直线,在教师提出的问题7基础上主动提出问题8并顺利解决,把圆锥曲线的最后一种类型——抛物线,囊括在内了．问题8的彻底解决,需要细致观察、缜密思考．学生经过协作可以完成任务,再辅之以动画演示,能使其印象深刻．这道题是训练思维缜密性的好素材．课堂上的这个问题远没有结束,研究之路仍然漫长,需要继续探索.最后给出开放性的问题和任务,激励学生课后继续思考、探究,让他们在讨论的过程中感受研究的乐趣,朝着梳理研究成果、尝试写出小论文的目标努力．

3 学生反馈

课后经过对全体学生的问卷调查,收集到以下一些反馈意见:

很喜欢串题成链的教学方式,课堂上的问题由浅入深、层层递进,大家一直都在紧张地观察、思考、尝试、讨论、调整;整堂课思维含量大,思维冲击力强;感觉问题6和问题8的环节节奏稍快,建议今后在突破难点的时候要慢一点、细一点．

印象深刻之处有以下几点:一是可以自己编题自己做,有挑战更有吸引力,同时因为问题的开放性,可以按照学习小组展示研究成果,有竞争性更强调团队协作．二是感叹于对一道自招难题的解决方案竟然是如此朴素,分解成更小的问题,逐个击破,层层递进,不断螺旋上升,最终完美解决．感慨成大事者都需要愚公移山的决心和求实较真的态度．三是课堂上用GGB辅助学习,有视觉冲击力,能激发兴趣,建议可以开设GGB的拓展课,进一步提升学习的效果．

也有一小部分学生表示,由于这堂课的知识容量和思维容量较大,且采用开放性问题引领学习,感觉有点吃力;但是课后认真整理、反思后,也能很好地消化吸收,甚至还有的学生课堂上反应稍慢,但课后深入研究,也能给出很有创意的自编问题．

4 教学启示

4.1 串题成链,引领学生深入思考和探究

问题是数学的心脏,问题也是数学教学的载体和驱动器．知识蕴含在问题之中,思维和能力在解决问题的历程中不断得到淬炼和发展,所以“知识的问题化”应当是数学教师的基本功．同时要注意到,碎片化的问题对发展学生思维效果不佳．只有让问题序列化、逻辑化,才能“串题成链”,让问题更有意义．

本堂课把教学重点和难点拆分、重组,形成一个个互相关联、层层递进的问题,让问题成为知识的载体、思维的阶梯．问题的设计立足学情,贴合实际,总是从学生的认知起点出发,围绕教学重难点层层递进、持续追问,做到了浅入深出．

问题串的预设在课堂现场教学中往往需要灵活调整．上课时如果感觉到子问题低于学生的认知水平,可以直接跨过去或者提高其难度,同时给跨度太大的问题增加子问题,作为学生解决问题的台阶[2],或者调整子问题的顺序,让问题的顺序与学生的认知顺序契合,增加问题的趣味性,从而激发学生的探究欲和好奇心．

4.2 拓宽思维,激励学生持续思考和探讨

知识是思考的结果,而思考的开端是问题．好的问题链引领学生思考,也能激发学生探究,进而能自主提问．在问题链的引领下,学生主动寻找并提出问题,正是数学思维的体现．

寻找问题链是数学发现的一种基本方法,它的目的则是希望寻找到的问题尽量多地转化为真命题(定理)[3]．在解决问题的过程中,未解决的“问题”被论证为“真命题”,学生的思考会逐渐更广阔、更深入、更细致、更合理、更有效．最关键的,学生在课上的收获能支撑其不断提出新问题,课后依然还能保有充分的好奇心和探究欲,支撑学生的持续思考和相互探讨．

之前一系列思考的方式和探究的过程在解决新问题时依然可以使用,在不断复制、迭代的过程中,思维的宽度不断提升,复杂的问题逐渐被拆分、解决.学生经历了探究成功的过程,收获了喜悦,充分体验到“化繁为简”思维的威力,体会到数学的简洁美,为后续的学习提供了强大的动力．

4.3 开放设问,培育学生数学学科核心素养

开放性问题通常是指“条件”“解法”“答案”具有多样性和不确定性的问题．课堂上的开放性问题一般较少,因为开放性问题的不确定因素较多,往往会使得课堂不可控．若能设置适当的问题链,在保持开放性的同时,确保开放度在可控范围内,就可以放手让学生提问．

让学生学会提问是高中数学教师的巨大成功,因为当学生能提出有效的问题,并能尝试自主解决时,意味着其思维层次已经得到提升,相应的数学学科核心素养得到了发展．再进一步,师生能继续深入思考,持续研究,大胆求同,不断求变,必然能让学生的数学思维愈发深刻,数学视野愈发广阔,数学学科核心素养得到更好的培育．