“图形与几何”内容领域解答题特征分析及启示——以2023年9省市中考数学试卷为例

盛昊灿 张景斌 (首都师范大学 100048)

陈文俊 (浙江省杭州市十三中教育集团(总校) 310012)

1 问题提出

教育部于2019年发布了《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》(下称《意见》),提出了坚持正确导向、提高命题质量等一系列要求,明确了今后命题改革的基本方向．《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《11版课标》)与《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《22版课标》)中也均明确提出了试题命制需要设置合理问题的评价建议．中考作为学业质量的重要评价手段,其试题经多位数学教育领域专家命制和评审,不仅具有较强的内容效度,而且凸显了数学学科特征．故分析中考数学试题具有挖掘数学学科本质、指导数学课堂教学的重要意义．

“图形与几何”内容领域是初中数学教学极为重要的内容之一．目前教学使用的依然是依据《11版课标》编写的教材,分析《11版课标》中图形与几何内容领域的“内容要求”可以发现,图形的性质、图形的变化、图形与坐标这三部分知识点合计为126个,在《11版课标》内容要求中占比超过了40%．此外,图形与几何内容领域也是数学课堂教学的重点和难点,如圆和相似三角形等章节内容在初中数学教学中占据了重要位置．数学试题题型中解答题最能考查学生的几何推理能力,并能从书写过程中关注到学生对数学知识本质的理解和对数学思想的领悟．因此,对该内容领域中考数学解答题进行分析具有较强的现实意义．

本文以2023年山西省、安徽省、江西省、福建省、河北省、河南省6份省统一命题考试(下称省统考)试卷和北京市、天津市、上海市3份直辖市统一命题试卷中图形与几何内容领域解答题为主要分析对象,通过文本分析法、专家咨询法回答如下两个问题:(1)中考数学试卷图形与几何内容领域解答题具有哪些特征?(2)从学科特征中可得到哪些对数学课堂教学的启示?

2 图形与几何内容领域的分析

2.1 基于《11版课标》图形与几何内容的分析

图形与几何内容领域在《11版课标》中分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个主题,具体的内容要求如表1所示．

表1 《11版课标》图形与几何内容领域主题内容要求

《11版课标》对每个知识内容的要求有进一步的区分,主要利用行为动词作进一步分类,其中共有两种行为动词:一是描述结果目标,二是描述过程目标．中考数学试卷作为结果导向的评价工具,主要采用结果目标的四类行为动词增强分析的可行性和准确性．基于四类行为动词对图形与几何内容领域进行梳理,结果如表2所示．

表2 《11版课标》图形与几何内容领域主题认知要求

《11版课标》中明确提出了“依标命题”的要求,故在分析中考数学试卷前,对《11版课标》中图形与几何内容领域的内容和认知要求进行清晰的梳理是极为重要的．如表1、表2所示,内容要求中,对三角形、图形的相似、四边形内容要求的数量是最多的．认知要求中,对图形的性质主要集中在水平4,对图形的变化主要集中在水平1和水平2,对图形与坐标主要集中在水平3．在水平4的要求中,更是几乎完全以图形的性质主题为主．

2.2 基于已有研究的分析

中考数学关乎人才的选拔,是民生大计,故中考数学试题一直广受关注．已有的中考数学试题文献数量较多,以“中考数学”为主题在知网中进行查找,可以发现340篇文献,再以“中考数学”为篇关摘在知网中进行查找,共有793篇文献．分析这些文献,可以发现有以下几个研究方向:

一是各个地区的数学教育专家从命题的角度高屋建瓴地对中考数学试题进行评述．如文[1]提出当前命题中仍然存在一些不容忽视的问题,需要进一步地补短板和变革;文[2][3]对2016年、2017年北京市中考试卷的整体设计进行评析;文[4]提出全国各地的中考试题出现了许多格调清新、别具匠心的新题型．

二是数学教育实践者和研究者从省统一命题等相关政策的视角对连续几年或多个地区的中考数学试卷中一道试题或一类题型进行分析.如文[5]基于福建省全省统一命题的规划对福建九个地市的中考数学试卷进行了详细的分析．

三是基于数学课程标准“核心素养”“四基”和“四能”的视角对中考数学试题进行评析．如文[6]以数学中考试题为例,从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等角度出发,讨论数学核心素养在试题中的体现．

四是基于一些信度较高的理论框架,如SOLO理论、教育部“一体、四层、四翼”、PISA的测评框架,对中考数学试卷的内容或信度进行测评．如文[7]基于SOLO理论对2017—2019年南宁市中考数学试卷进行分析研究;文[8]分析PISA 2012数学测评题和2012年南京市中考题的异同;文[9]发现中考采用固定分数法进行标准设定的质量一般,对于学业水平考试这种高利害性考试来说需要进一步提高．

已有文献资料虽然研究分析各有不同,但最终目的仍是为了中考数学试卷内容的高信度、数学性和公平性．基于对文献资料的分析可以发现,虽然因为地区文化和资源不同,导致各省市的中考数学试卷有所区别,但由于数学学科具有鲜明的学科特征,提取9份试卷中试题的数学学科特征是可行且有现实意义的,并能为教师课堂教学提供一些建议．

3 图形与几何内容领域解答题内容分析

对2023年9省市中考数学试卷中图形与几何内容领域解答题部分的基本信息进行整理(表3),可以发现:该领域解答题分值在解答题总分中的占比都大于35%,江西省甚至高达54.76%;在试卷总分中,占比也都不低于21%,可见其重要性及代表性,其中尤以江西省最为重视,试卷总分占比为38.33%;安徽省的这两项分值占比虽然在9个省市中略低,分别为35.56%和21.33%,但与其他内容领域比较,仍占据重要地位．

表3 9份试卷图形与几何内容领域解答题基本信息

4 图形与几何内容领域解答题特征分析

对9份试卷图形与几何内容领域解答题部分进行多次思考和寻求多种解答方法的尝试,再结合北京市等地区多位具有数学教育经验的专家的建议,提炼出以下几个中考数学试卷中体现的数学学科特征,并结合具体案例进行详细说明,以此回答提出的问题(1)．

4.1 以核心概念为起点,重视数学思考的渐入佳境

数学内容广博而深入,试图掌握所有的数学知识是不可能且没必要的,而数学教育中存在一些核心概念,在众多数学知识中,它们起着推动数学发展的重要作用．在9份试卷中,可以明显察觉到核心概念起着重要的起点作用,从核心概念出发,以概念相关性质定理为脉络,呈现出循序渐进、“引人入胜”的数学思考路径．

例1(2023·北京23题)在△ABC中, ∠B=∠C=α(0°<α<45°),AM⊥BC于点M,D是线段MC上的动点(不与点M,C重合),将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．

(1)如图1,当点E在线段AC上时,求证:D是MC的中点;

图1

(2)如图2,若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连接AE,EF,直接写出∠AEF的大小,并证明．

对第(1)题,通过三角形外角定理、等角对等边的等腰三角形判定定理可以证明．重点是对第(2)题的讨论．审题可得,除了垂直之外,图形中没有明确已知的角度,欲求∠AEF必然需要借助特殊三角形的核心概念及其相关定理,可以得出∠AEF为90°的猜想．构建问题解决的逻辑图如图3所示,在提出特殊三角形的概念之后,经多次尝试,通过构建等腰三角形,利用三线合一定理可解决问题．但如何构建符合条件的三角形需要多次思考和尝试,并不能一蹴而就,其过程往往需要借助已有数学学习活动经验,通过类比或归纳找到问题解决的路径．

图3 问题解决逻辑图

4.2 以数学文化为背景,蕴含数学内容的人文价值

众多学者专家都意识到了数学文化在数学教育中的重要地位,最为典型的是数学史中重要数学问题的引用,数学史与数学教育(History and Pedagogy of Mathematics,HPM)成为极为重要的数学教育研究领域．在9份试卷中,包含数学史内容在内的数学文化几乎溢出纸面．

例2(2023·山西23题)阅读与思考:下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务．

瓦里尼翁平行四边形

我们知道,在如图4的四边形ABCD中,若点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形是平行四边形．我查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切:

图4

图5 瓦里尼翁(1654—1722)

①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形;

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系;

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．

结论③可借助图6证明如下:

图6

证明:如图6,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N．

∵H,G分别为AD,CD的中点,

∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,

∴HE∥GF,即HP∥GQ．

∵HG∥AC,即HG∥PQ,

∴四边形HPQG是平行四边形.(依据2)

∴S=HG··DM．

(1)填空:材料中的依据1是指;依据2是指．

(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为矩形;(要求同时画出四边形ABCD的对角线)

(3)在图4中,分别连接AC,BD得到图7,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系,并证明你的结论．

图7

对上题分析可知,题目以数学史中瓦里尼翁平行四边形的相关资料作为背景,设置层次递进且具有探究性的3个小题．意图让学生在阅读理解数学史料的基础上,通过类比的数学思想独立解决数学问题,既符合数学课程标准中“三会”的要求,也弘扬了数学文化,具备鲜明的数学特征．

4.3 以知识逻辑为纽带,凸显演绎几何的严谨规范

知识逻辑可以从两个方面进行探讨:一是体现在推理过程的逻辑推理中;二是体现在知识间的联系上.例如,圆和相似三角形内容的联系较高,在9份试卷的相关解答题中,这两部分内容几乎是“你中有我,我中有你”休戚与共的关系．

例3(2023·上海25题)如图8,在△ABC中,AB=AC,O在边AB上,点F为边OB的中点,以O为圆心、BO为半径的圆分别交CB,AC于点D,E,连接EF交OD于点G．

图8

(1)如果OG=DG,求证:四边形CEGD为平行四边形;

(2)如图9所示,连接OE,如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4,求边OB的长;

图9

分析第(1)题可知,利用等边对等角定理、中位线定理可以证得直线平行,据此再证得平行四边形．第(2)题可以利用相似三角形,进而列方程解决问题．由题目条件可以发现,其中应用的知识内容互有联系．第(3)题需要结合相似三角形和等腰三角形的性质,分类讨论解决问题．三个小题的知识逻辑图如图10所示．

图10 知识逻辑图

可以发现本题主要结合了等腰三角形和相似三角形的知识内容,层次递进地展开逻辑论证．图形与几何内容领域不同内容的互相结合是极为常见的,如圆、三角形和四边形等常常结合在一起,不同知识的结合在于考查学生的数学高阶思维以及在不同知识内容交织时对其中知识逻辑进行梳理的能力．

4.4 以课标“四基”为基石,避免数学问题的繁难偏杂

数学知识的学习具有层层而上的特点,有基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想(下称“四基”)作为基石,方能学得“平稳”,在数学学习上走得久远．有部分“人为”数学题具有繁难偏杂的特点,偏离了数学学习的常规轨迹,并以其较强的技巧性干扰了正常的数学学习,磨灭了学生的数学学习兴趣．在9份中考试卷中,对课标中提出的“四基”要求有较为明显的体现．

例4(2023·天津22题)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图11,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD= 6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．

图11

(1)求DE的长．

分析题目可知,该题以生活中常见的场景作为问题背景,重在考查特殊直角三角形和相似三角形的基础知识．“数学化”与“生活化”是数学学习过程中不可或缺的两个基点[10],数学化是一个过程,把变化、延拓和深化的现实问题,利用数学知识和数学能力进行解决．本题引导学生使用数学方法解决生活常见问题,不以繁难偏杂的难题为导向,重视体现数学问题解决中“四基”的基石作用．

4.5 以识图能力为基础,注重核心素养的基本要求

识图能力包含辨明图形结构的能力以及将图形与已有定理相结合构造图形解决问题的能力．图形与几何内容领域较为注重的素养是几何直观、空间观念和推理能力,其中推理能力主要指几何推理．三者与识图能力联系密切,且在9份试卷中,对顶角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形定理都是需要通过识图获得的“隐形条件”,也是数学学习的基本要求．故识图能力是考查核心素养基本要求的基本能力,以例5为例作具体说明．

例5(2023·安徽22题)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD．

(1)如图12,求∠ADB的大小;

图12

(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．

①如图13,连接CD,求证:BD=CD;

②如图14,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值．

分析第(1)题,可以直观地辨析出直角三角形斜边中线定理的应用．第(2)题也能较为直观地 发现菱形的存在,以此运用圆周角定理反推出其中的四点共圆,利用圆周角定理证明第①问．对第②问进行识图,也可以发现平行四边形EMBD的存在,可以通过构造直角三角形解决此问．识图能力是解决几何问题的基本能力,通过识图先得到直观的基本假设,再运用几何推理顺利解决问题,对培养空间观念、几何直观和几何推理具有重要价值．

5 对数学课堂教学的启示

数学课堂教学是落实数学核心素养的主战场,结合专家建议和课堂教学实际,从篇首问题(1)出发,对数学课堂教学给出四点启示．

5.1 开展具有层次性和关联性的变式教学,在循序渐进中启迪数学思维

我国传统数学教学离不开变式教学.顾泠沅曾在青浦实验中证实了变式教学在数学学习中的巨大作用,并提出了概念变式和过程变式的概念．此外,从9份试卷的分析中发现,试题离不开对教材的借鉴思考,数学课堂教学应当重视借鉴教材例题和重要数学史问题,进行具有层次性和互相关联的变式教学．由此循序渐进地引导学生进行数学思考,启迪其数学思维的同时,使得学生的数学学习渐入佳境．

5.2 引入具有典型性和育人性的数学史问题,在身临其境中体会数学之美

数学文化的重要性已经在第二点特征中作了具体说明,在课堂教学中要更为突出其典型性和育人性的特征,选取具有正能量和符合社会道德观念的数学史问题,使学生更为了解数学学科的来龙去脉,并改变对其枯燥难学的刻板印象．张奠宙先生曾言数学兼具“火热的思考”和“冰冷的美丽”[11]．正确认识数学的文化价值、体会数学之美,是极为重要的数学课堂教学目标．

5.3 结合具有创新性和时代性的教学范式,在深度学习中落实课堂目标

9份试卷中的试题极为注重创新性和探究性．在时代的不断变迁和社会发展中,涌现出许多促进数学深度学习的新概念,如项目式学习、大概念教学和跨学科学习．数学课堂教学要适应我国社会发展和人才培养的需要,必然要接受一些必要的变革和观念的转变．但在适应新教学范式带来的浪潮时,仍要重视落实基础知识和基础技能,变革并非“全盘推翻”,而是秉持着审慎的态度接受有助于改善数学课堂和学生学习的因素．

5.4 构建具有整体性和结构性的知识体系,在顾全大局中承载数学思想

中考数学试题重视数学知识体系的整体性和严谨的结构性．图形与几何内容领域中,不同的数学内容具有潜在的知识逻辑,在学习过程中能 进行类比或具有明显的逻辑链条．不论是教师或者学生,对数学知识结构有整体的理解和体会,都有助于有大局观地展开数学教学或者学习,从而有正确的数学学习观念,在顾全大局中承载数学思想．