筹谋单元窥全局 优化结构突主线——对“幂函数”说课的思考

符强如 (新疆乌鲁木齐市实验学校 830026)

说课作为常用的教研形式之一,是课堂观摩这一传统教研活动形式的补充和发展．说课对教育观念的革新,对教育理论的理解和掌握,对教学的研究、反思、评价,无疑是一种可取的有效途径．笔者以为,数学说课须注重四个方面:首先,数学理解要深刻.好的教学效果源于教师对数学内容的深刻理解和把握.其次,教学价值要体现.数学教学是以数学的知识、方法和思想育人的教学,把数学内容的学术价值转化为教学价值是数学教师的专业责任.再次,学生基础要明确.高效益的数学教学建立在教师对学生知识经验的了解基础上.最后,活动设计要到位.教师关于数学内容的理解、教学价值的确定和学生基础的分析,需要反映在教学活动中．本文以“幂函数”说课为例,谈谈笔者的思考和实践,以期有悟道参玄之功,格物致知之效．

1 数学理解:动态理解和静态理解

数学有三种形态,其中教育形态的数学是基于育人的数学,介于学术形态和原始形态之间,要一定程度上还原知识创造的过程,给予学习者探索和发现新知识的方法启示,还要展现静态、稳定的性状,反映空间形式和数量关系的规律,提供学习者分析和解决数学问题的依据和模型．从动态理解的角度,围绕数学知识的产生过程,揭示逻辑背后的驱动力量;从静态理解的角度,围绕数学内容的形态结构,述说知识的意义价值．

·“幂函数”说课片断1

用数学的眼光观察现实世界．创设实际情境:2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．假设我们是乌鲁木齐某综合企业,要准备经济营销等活动,在准备中有如下问题需要思考:

(1)若某新疆特色小吃每分钟可以生产一袋,则它生产的袋数p(袋)和时间w(min)之间有何关系?这里p是w的函数吗?

(2)若新建的汽车生产基地为一个正方形,且边长为a,则该生产基地的占地面积S是多少?这里S是a的函数吗?

(3)若新建的汽车研发中心为一个正方体且棱长为b,则该汽车研发中心的体积V是多少?这里V是b的函数吗?

(4)若汽车生产基地正方形场地的面积为S,则正方形的边长c是多少?这里c是S的函数吗?

(5)若特色小吃运送车辆ts内行进1 km,则车辆的平均速度v是多少?这里v是t的函数吗?

静态理解改变教材上情境分布零散的现象,以地方经济发展为实际背景,得到整体连贯的5个具体实例的解析式,引导学生用x,y表示,概括解析式共性,获得幂函数定义．引导学生从实际背景中抽象出幂函数的概念,让学生经历并体会从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征,舍去非本质性特征,提升数学抽象素养．中学阶段学习的几种函数都有其实际背景,对实际问题进行抽象是许多数学概念和问题产生的方式．教学中有必要补充相关的数学史内容,比如中国很早就借用“幂”字表示面积,后来演变为表示平方或立方.清末大数学家李善兰把power这个词译为“幂”,这样“幂”就表示若干个相同数之积．

动态理解幂函数是在初中(八、九年级)学习正、反比例函数,二次函数y=x2的基础上,对形式上具有共同特征的一类函数的扩展和延伸．从函数主线来看,幂函数是高中阶段研究的第一类具体函数,通过本节课让学生了解一类具体函数的研究内容、过程和方法,为后续函数的研究提供系统的参考．值得一提的是,幂函数模型教法与指数函数、对数函数有所不同:幂函数可以看成代数函数,可以用代数运算研究幂函数单调性等性质,也可以从函数图象研究幂函数性质,而指数函数、对数函数一般仅从函数图象研究性质;幂函数通过5个具体函数类比迁移达到学生对其他幂函数的掌握,而指数函数、对数函数的性质则通过归纳概括掌握．

2 教学价值:即时价值和深远价值

教学价值就是基于前面的数学理解,对照数学教育目标,阐述教师对教材内容的教学意义的认识.即时价值表现在教学活动后,学生很快有哪些收获、能够解决哪些数学问题;长远价值体现对学生后续数学发展的推动作用,让学生获得超越教材知识的认识,重构原有认知,形成完善体系[1]．

·“幂函数”说课片断2

即时价值结合以往研究一次函数、二次函数和反比例函数的经验,调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法,梳理一个具体函数的研究内容:研究一类函数的内容(定义域、值域、单调性、奇偶性等),并用表格呈现出来;研究函数的路径(定义—表示—图象与性质—应用)．明确继承初中借助图象研究函数的方法,发展本章用严谨数学符号定义和研究函数性质的能力．

深远价值改编教材,以熟悉的地方经济发展为实际背景,建立幂函数模型,增强文化自信,培养爱国爱疆的情感．笔者认为本节课是研究一类函数的单元起始课和研究函数方法的单元起始课,要以知识为明线、思想为暗线、素养为眼线,按照函数主线大单元整体设计．让学生从实际进行抽象,经历概念学习一般过程.继承初中函数的学法教法,精选特例函数,借助图象研究性质,发展高中阶段通过代数运算研究性质的能力,并形成框架体系．随后要求学生用研究函数一般方法课后主动研究“对勾函数”,形成函数单元整体学习．对一般幂函数的性质进行猜想,通过信息技术软件Geogebra动态验证猜想．学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程,体验特殊到一般、观察、猜想、验证的科学研究过程,为后续的研究提供方向．

3 学生基础:知识经验和知识生长

美国著名教育心理学家奥苏泊尔指出:“影响学习最重要的因素是学习者已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学．”弄清学生基础,就是围绕教学的内容分析学生的知识状况:分析完成学习任务所需要的显性知识,学生原有的显性知识是否与此一致;分析完成学习任务所需要的数学经验,学生原有的数学经验是否与此有差距．

·“幂函数”说课片断3

知识经验基础初中学习正比例函数、反比例函数和二次函数的学法教法,是通过选特例函数,采用列表、描点、连线画函数图象的方式研究函数的性质;高中通过奇偶性定义、单调性定义研究函数的性质,这与学生原有的显性知识是一致的．需要的数学经验有:从实际问题中抽象概括;及时反思自己的数学活动经验;在观察和分析的基础上尝试;用数学概念驱动思维．从学生的原有经验来看,学生具备一定的抽象概括能力,但是停留在结构形式层面;学生缺乏反思自己思维过程的自觉,会研究一个具体函数,但对一类具体函数缺乏研究框架和系统,习惯于单一地用函数图象或代数运算研究函数性质[2]．

4 活动设计:实践和思维

数学活动包括显性的实践活动和隐性的思维活动,它们往往交织在一块,相辅相承,互为促进．设计合理的数学活动能优化课程结构,突出内容主线,使学生在教师的引导下积累数学实践和思维的宝贵经验,把握知识的本质,学会数学的方法,领悟数学的思想．本节课基于学生认知水平的分析和对教学内容蕴含的教学价值的理解,设计了如下5个活动环节．

实践活动

环节1 情景建模,定义模型

通过创设的情境提问:观察这些函数的解析式,它们在结构上有什么共同特征?追问:5个函数解析式是否可以统一改成以x为自变量、y为因变量的形式?追问:(强调)这几个函数是研究幂xα随x的变化而变化的规律,但是名称却不同,我们能否给它们起一个统一的名称?

环节2 合作探究图象性质

思维活动

环节3 梳理路径,明确方向

问题:结合以往学习函数的经验,我们应该如何研究幂函数?追问:如何作出幂函数y=xα的图象?追问:作出函数图象后可以研究哪些内容?追问:在研究它们的图象和性质之前,我们应该先明确什么?

环节4 典例分析,多重感悟

环节5 课堂小结,形成结构

优化课程结构,突出函数主线,形成函数的单元整体学习(提示语:知识、方法、思想).追问:用图形框架如何体现?追问:研究函数的套路是什么?形成函数的单元整体学习．

5 结语

弦歌不辍,芳华待灼;砥砺深耕,履践致远．以深遂的目光洞察数学,以全面的眼光分析价值,从学生的角度审视内容,用有效的数字化赋能教学．从数学到数学教育,再到课堂,三者水乳交融、浑然一体地展现出来时,让人感受到的不仅是数学学科的内在规律,更有数学教育与课堂艺术的勃勃生机．