2022版新课标视角下“作一个角等于已知角”的解惑与教学建议*

高凯亮 (江苏省南京江北新区浦口外国语学校 210031)

1 新课标中尺规作图内容的变化

尺规作图是指有限次地使用无刻度的直尺和圆规作图的活动,也称为初等几何作图或欧几里得作图[1].2022版新课标对小学、初中的尺规作图内容有所调整,其中在小学阶段新增了用直尺和圆规“作一条线段等于已知线段”(下称“作等线段”)等3处内容,在初中阶段增加了2处尺规作图内容:①过直线外一点作这条直线的平行线;②将“过圆外一点作圆的切线”设置为选学内容.2022版新课标在“图形与几何”模块明确提出,要理解和掌握尺规作图的基本原理和方法;换而言之,要求学生不仅能用尺规把图作正确,还要能根据作出的图形进行说理,培养推理能力.

尺规作图是培养学生几何直观、推理意识与推理能力的有力载体;尺规“作等线段”“作一个角等于已知角”(下称“作等角”)是初中阶段2个最基本的尺规作图[2];小学阶段新增的尺规作等线段,在后续直观感受三角形的周长与探索三角形的三边关系时都有用及．由此可见,2022版新课标更希望将尺规作等线段辐射到整个“图形与几何”领域的学习中,体现数学课程内容的整体性与阶段性.尺规作等线段调整到小学后,尺规作等角将是学生初中阶段学习的第一个尺规作图内容,各版本教材对该内容的编排位置有所差异.下文先分析各版本教材尺规作等角编排的位置及特点,再基于2022版新课标定位尺规作等角在初中阶段的地位与作用,最后给出该内容的教学建议.

2 各版本教材尺规“作等角”编排位置及特点

现行不同版本教材中,部分教材将尺规作等角编排在三角形全等之前,也有部分教材将其编排在三角形全等之后(表1).

表1 不同版本教材尺规“作等角”编排的位置

(1)尺规“作等角”编排在三角形全等之前

苏科版、沪科版、北师大版、华师大版、冀教版教材将尺规作等角编排在三角形全等之前,但是5个版本教材的情境引入各有特点:苏科版教材用量角器画角进行引入,以便启发学生用尺规作等角;北师大版教材将该内容编排在相交线与平行线章节,情境中需要过直线外一点作已知直线的平行线,但教材后续没有启发学生如何作图,直接在“做一做”中给出尺规作等角的步骤;沪科版、华师大版、冀教版教材没有设计情境引入,直接给出尺规作等角的步骤.由于这5个版本教材将该内容编排在三角形全等之前,作图后自然就没有证明过程.学习三角形全等的判定后,华师大版、冀教版教材明确提出“回顾作一个角等于已知角的方法,并说说作法的依据”,但苏科版、沪科版、北师大版教材没有回顾尺规作等角的方法,也未讨论作图方法的依据.

(2)“作等角”编排在三角形全等之后

人教版、浙教版、北京版、青岛版教材均将尺规作等角编排在三角形全等之后,但是编排的具体位置略有不同．人教版教材在第1条三角形全等的判定(SSS)后,紧接着就安排尺规作等角,没有设计情境引入,直接给出尺规作等角的步骤．虽然教材没有给出证明过程,但是在对话框中提出“为什么这样作出的两个角相等”.显然,人教版教材希望学生能够自己证明.浙教版教材在三角形全等的4条判定后,再安排尺规作等角,同样没有设计情境引入,直接呈现尺规作等角的步骤,但给出了证明过程．青岛版教材也是在三角形全等的4条判定后,再研究尺规作等角,直接提出如何用尺规作等角的问题,引导学生先构造两个三角形全等,将作等角转化为作全等三角形,再呈现尺规作等角的步骤,并给出证明过程.北京版教材编排位置与浙教版教材一致,但没有给出证明,而是提出问题:“为什么作出的角与已知角相等?”综上所述,人教版、浙教版、北京版教材都没有设计情境引入,教材直接给出尺规作等角的步骤;青岛版教材在作图前有启发学生如何思考;值得注意的是,4个版本教材都注重尺规作图后进行说理,特别重视推理能力的培养.

3 “作等角”的地位与作用

“作等线段”“作等角”是尺规作图中最基本的两种作图.由上文分析可知,2022版新课标将尺规作图的内容调整后,尺规作等角是初中阶段学习的第一个尺规作图内容,是对小学阶段几何直观、推理意识的升华,也是初中阶段后续进行尺规作图的基础,是义务教育阶段核心素养整体性、一致性与阶段性的具体表现.例如,初中阶段后续还会学习用尺规作角平分线、线段垂直平分线,包括初中阶段新增的必学内容“过直线外一点作这条直线的平行线”,这些尺规作图都能够通过作等线段、作等角实现.因此,尺规作等角在初中阶段“图形与几何”领域有着举足轻重的作用.

4 教学建议

(1)挖掘各版本教材的编排优势,设计具有启发性的情境

2022版新课标在教学建议中指出,要强化情境设计,注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用[3].根据各版本教材尺规作等角情境引入的特点,结合学生的认知基础,可以设计不同的尺规作等角的情境,以便引发学生思考．

首先,对于将尺规作等角编排在三角形全等之前的情境引入,由于2022版新课标将尺规作图内容调整后,学生在小学第三学段(5～6年级)已经历过基于给定线段用尺规画三角形,并且已经具备了用量角器画角的活动经验,笔者建议,不妨用量角器画等角进行引入,再思考如何用尺规实现(图1)．换而言之,就是引导学生思考如何从量角器画等角转化为尺规作等角．这种情境引入的方式符合现阶段学生的认知基础,学生也易于接受,有助于启发学生思考,提高课堂参与度．

图1

其次,对于将尺规作等角编排在三角形全等之后的情境引入,由于4个版本教材都没有设计问题情境,且学生此时已经是八年级,他们的逻辑思维能力正由经验型向理论型转化,对“图形与几何”模块的学习也积累了一定经验,笔者建议:直接提出问题“如何用尺规作一个角等于已知角”,引导学生先画出目标图形,再思考如何用尺规将已知角进行“复制”,或用尺规模拟量角器画等角的过程(图1),或构造全等三角形,将尺规作等角的问题转化为作全等三角形解决.显然,直接构造全等三角形对学生的要求更高,需要学生有建模意识．教师无论采用哪种方法引导学生思考,课堂上都需要把如何思考作等角的过程“放大”,教会学生是如何想问题的,不要让学生误认为尺规作图仅是一种操作技能．

(2)处理好合情推理与演绎推理的关系

史宁中教授在“2022版义务教育数学课程标准解读”的讲座中指出,初中需要进一步强调尺规作图的道理,在过程中发展推理能力[4].将尺规作等角编排在三角形全等之前的部分版本教材,在后续学习三角形全等后并没有让学生回头思考作图方法的依据,这会给学生造成尺规具有证明功能的“错觉”.实际上,尺规作图是合情推理的手段[5].若将尺规作等角编排在三角形全等之前,此时学生还不具备演绎推理的条件,教师可以让学生在透明纸上作等角,将作出的角裁剪下来,用叠合法判断两个角是否相等,感受作图方法的正确性,并明确告知学生,本节课用尺规模拟量角器画等角仅是验证了这种作图方法是正确的,后续学习中将给出证明过程,不要让学生误认为尺规具有证明功能.若将尺规作等角编排在三角形全等之后,课堂上需要让学生厘清作图过程中每一条弧的作用,为学生进行证明奠定基础.无论是将尺规作等角编排在三角形全等之前还是之后,教师都需要让学生经历从合情推理到演绎推理的闭环[6].

(3)挖掘尺规作图的价值

尺规作图有助于从感性到理性、直观操作到逻辑推理中培养学生的几何直观、推理意识与推理能力,教学中尽可能让尺规作图辐射到整个“图形与几何”领域,感受尺规作图是合情推理的重要手段之一.《几何原本》第一卷给出了三角形全等所需条件及证明过程,欧几里得运用叠合法证明命题4(SAS),运用反证法证明命题8(SSS)与命题26(ASA)[7].综观各版本教材,这3条三角形全等的判定都没有给出严格的证明过程.由于学生学力原因,部分教材将这3条判定称为基本事实,3条基本事实之间没有递推关系.既然称为基本事实,那必定需要让学生感受到基本事实的正确性．现行各版本教材在“探索三角形全等的条件”的引入方式上存在差异,主要有两种引入方式:第1种有如北师大版教材,在探索“SAS”能否判定三角形全等时,提出问题“已知一个三角形的两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,它们所夹的角为40°,你能画出这个三角形吗?你画的三角形与同伴画的三角形一定全等吗?”第2种有如人教版教材,在探索“SAS”能否判定三角形全等时,让学生先任意画一个三角形,再画一个三角形使得两边和它们的夹角分别相等,最后把画好的三角形裁剪下来,判断它们是否全等．由于不同学生第1次画出的三角形形态各异,人教版的引入方式更能够让学生感受到命题的一般性与正确性.由于用量角器画等角会存在误差,所以可以借助尺规作等角完成,但是学生需要有尺规作等角的知识储备.那么,如何解决这个问题呢?不妨按照人教版教材“探索三角形全等的条件”的情境进行引入,将尺规作等角、作角平分线单独用1个课时安排在基本事实“SSS”后进行探究(表2).从构造全等三角形的视角引发学生思考,既是对三角形全等的判定“SSS”的应用,也为后续用尺规作图感悟基本事实“SAS”“ASA”的合理性埋下伏笔.这样一来,能够将尺规作等角的价值在本章的学习中凸显出来.学生后续探索“两边一角”能否判定三角形全等时,借助尺规能够直观感受到满足“SSA”的两个三角形不一定全等,能借助尺规画出反例(图2).让学生体会到尺规作图能发现一些结论,从不同视角感受尺规作图的价值所在,让尺规作图为几何教学发挥更好的作用.

图2

表2 “探索三角形全等的条件”的课时安排、研究内容及情境引入