立足单元视角 强化代数推理——“二次函数的图象与性质”教学设计与思考*

钟珍玖 (江苏省江阴市第一初级中学 214400)

1 基本情况

1.1 学情分析

·知识技能分析

学生已经学习了二次函数的定义、形如y=ax2的函数图象及其性质、通过平移得出y=ax2+k的图象与性质.九年级学生具备较强的计算能力和逻辑推理能力．

·数学思想方法分析

九年级学生已经初步掌握数学思想方法,但是还没有达到运用自如的程度．对于函数问题中的数形结合思想虽有了比较深刻的理解,但还需要进一步深化认识、强化应用．

·学习方法、习惯分析

经过初中阶段的学习,学生已有类比学习的能力和一定的自学能力,对数学的学科特点有一些模糊的理解,但是自我探究的意识和能力还不强,需要在教学中进一步强化．

1.2 教材分析

本节课是在八年级学习了一次函数、反比例函数的图象与性质的基础上继续研究二次函数的图象和性质．在内容安排上,5.1节是二次函数的定义,5.2节是二次函数的图象与性质,共4个学时:第1学时画y=x2和y=-x2的图象,引入抛物线、顶点、对称轴等概念,第2学时归纳二次函数y=ax2的性质;第3学时通过图形运动(平移)归纳y=ax2+k和y=a(x-h)2两类函数的性质,第4学时探究y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c的图象与性质．

从教学实践来看,第1学时内容比较简单,学生已经有了画一次函数和反比例函数图象的经历,学习内容略显单薄;而第3学时图象的平移内容较多,难度增大,特别是图象的左右平移是学习的难点,学生较难掌握．鉴于此,实际教学中将 第3课时的内容进行分解,二次函数上下平移和左右平移各安排一个学时.这样的安排更符合学情,突出了教材的难点,便于进行单元整体教学．

·教学目标

(1)会用代数推理的方法探索二次函数y=a(x-h)2的性质;(2)会从平移的视角理解y=a(x-h)2的图象与y=ax2图象的位置关系,并能根据图象概括函数性质;(3)经历由特殊到一般的研究方法,体验数形结合的数学思想;(4)体验图象运动变化中“变”与“不变”的辩证关系及数学表达的内在一致性,体验数学之美．

·教学重点

探索y=a(x-h)2的图象位置及其性质．

·教学难点

从多个视角理解y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的位置关系．

2 教学设计

问题1我们是如何研究二次函数y=ax2+k的图象及其性质的?

设计意图函数有三种表示方法,即列表法、图象法、函数表达式法．这三种表达方式也是研究函数性质的三种方法,教材对函数y=ax2+k性质的研究采用列表法和图象法,实际教学中也可以通过函数表达式进行研究,为图象左右平移的代数推理方法提供可类比的“源”．问题的设置旨在引导学生从整体的视角,用一以贯之的方法来探究新的问题．

问题2二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象有怎么样的位置关系,你是如何发现的?

设计意图通过平移法或代数推理得出y=ax2与y=ax2+k的图象之间的位置关系,体现数学问题研究方法的一致性,为学生探索、发现、猜想二次函数y=a(x-h)2的性质提供方法上的类比源,自主建构知识之间的联系,形成整体化的知识体系和观念架构．

问题3不画图象你能研究二次函数y=(x+3)2的性质吗?

设计意图引导学生用代数推理的方法找到二次函数的最小值、顶点坐标、对称轴等性质,为探究函数y=(x+3)2与y=x2的图象间的位置关系打下基础,并且能够初步了解二次函数y=(x+3)2的性质．

问题4二次函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有怎样的位置关系?你是如何探究的?

设计意图让学生体会从特殊到一般的研究规律,如对这两个函数设y=4,求出对应自变量的值,写出抛物线y=x2与直线y=4的交点坐标A(2,4),B(-2,4),抛物线y=(x+3)2与直线y=4的交点坐标A′(-1,4)和B′(-5,4),直观感受图象上对应点的位置关系．这是本节课的难点,要让学生领会图象左右平移的数学本质就是当函数值确定时,对应自变量的值的变化规律.用代数推理的方法研究函数的性质,并深刻领悟数形结合的思想．

问题5在同一平面直角坐标系中画二次函数y=(x+3)2和y=x2的图象,并说出函数y=(x+3)2的性质．

设计意图通过画函数的图象,更加直观地感受二次函数y=(x+3)2和y=x2的图象位置的变化规律,从而深刻理解二次函数图象左右平移的规律,分散本节课的难点;进一步理解数形结合的思想,体会用三种方法表示函数和研究函数性质的统一性和内在一致性．

问题6归纳二次函数y=a(x-h)2(a>0)的性质．

设计意图遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律,将二次函数的表达式一般化,让学生归纳出函数的性质,为学习y=a(x-h)2+k的图象和性质打下坚实的基础．

3 教学设计思考

3.1 教学设计理念

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)指出:课程目标以学生发展为本,以核心素养为导向,进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验(简称“四基”),发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力(简称“四能”),形成正确的情感、态度和价值观．[1]2

随着《课标2022》的颁布和实施,素养导向的课程育人目标将成为教学的主旋律,所以教学设计和实施要立意高远,要把培养学生的核心素养作为教学的根本任务．本节课不仅让学生通过描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,由图象说出函数的性质,而且要求学生通过已知自变量的值计算函数值、已知函数值求自变量的值,培养计算的速度和准确性．还要用代数推理的方法探索函数y=(x+3)2和y=x2的图象的位置关系,培养代数推理意识和能力．这些数学核心素养的习得,都要落实到课堂教学的每一个问题、每一个教学环节．

另外,本节课从三个不同的视角探索、发现、归纳二次函数y=a(x-h)2的性质,体现数形结合的数学思想方法及图象直观意识的形成和应用．

3.2 教学目标的确定

在教学设计的相关因素中,教学目标的确定是非常重要的环节,决定了教学内容和教学方法的选择,也决定了教学实施中教学过程的走向．素养视域下教学目标的确定一定是指向人的发展,指向学生数学核心素养的形成和发展,实现数学学科的育人价值和育人功能．

一节课的教学目标的确定依赖于学情和教学内容.本节课以前学生已经学习过一次函数的平移和y=ax2与y=ax2+k的图象之间的平移规律,学生可以类比学习,教师可从单元整体视角设计和实施教学．问题1和问题2的提出就遵循这样的原则,让学生在类比的基础上自主建构知识体系,自主探索y=a(x-h)2的性质．而本节课的教学内容是图象的左右平移,学生较难自己想到探究方法.为了突破难点,设置问题3～5,让学生从不同视角研究二次函数性质,把数学思想方法融入到教学内容中,实现素养导向的课堂教学目标．

3.3 教学内容的整合

根据教学目标和教学内容的特点,对教学内容进行整合,把三类函数图象及性质分3个课时,都通过图象的运动(平移)来研究,体现了单元整体的研究视角.这样的整体性包括知识呈现的网络化、思维集成化、方法统一化,从单元教学的整体目标出发,统揽全局,将教学活动的每一步、每一个环节都放到教学活动的大系统中考量,而不是片面地突出或者强调某一点[2]．

本节课教材并没有要求学生画y=(x+3)2和y=x2的函数图象,笔者设计问题5的目的同样体现了整体的思想.一次函数、反比例函数、二次函数都通过图象来直观阐述函数的性质,而且通过列表(表1)可以深化学生对图象左右平移的理解,分散本节课的教学难点．

表1

通过对教学内容的整合,实现了本节课的教学目标,让学生体验数形结合的数学思想,感悟图象运动变化中“变”与“不变”的辩证关系及数学表达的内在一致性,体验数学之美,实现学科育人．

3.4 教学设计的再思考

(1)教学设计应有对教材“设计”的意识

对教材的理解和分析是教学设计中非常重要的环节,对教材内容的灵活处理是教师必备的基本功.分析教材可以帮助教者从整体上把握教学的内容,厘清知识的来龙去脉,这些知识之间是如何联系的?教材先教什么?后教什么?知识和方法应该教到怎样的深度和广度?这些问题就要求教师要深刻理解教材和教材体系,才能在教学设计时做到有的放矢．教师的教学设计首先是要对教材内容进行增加或删减,可以根据教学的需要调整例题和习题;其次是对教材内容的整合,可以是一节课内容顺序的调整,甚至是一章或者整个学段内容的整合;最后,对教材的设计可以是跨学科内容的整合．

(2)代数推理应适度,不必矫枉过正

《课标2022》在7～9年级的内容要求中指出,了解代数推理[1]56,在课程内容组织上强调代数推理和几何直观[1]93;《课标2022》也只有这两个地方提到了代数推理．长期以来,广大一线教师对在平面几何教学中培养学生的逻辑推理能力非常重视,以至于逐步形成了平面几何就是逻辑推理的代名词、忽视或者淡化代数教学中培养学生推理能力的现象．在初中代数教学中适当加强代数推理教学是必要的,但也不必矫枉过正.有的地区就堂而皇之地把高中内容下放到中考试卷中,如带参数的二次函数的根的分布问题,这种下放值得商榷.笔者认为,教学中适度强化代数推理教学,让学生能更好地适应高中的数学学习,是应该且必要的．如本节课,若将问题一般化,当y=y0时,求出y=a(x-h)2和y=ax2对应自变量的值,然后得出平移的规律,这样处理需要解含有字母系数的一元二次方程.这是明确超纲的内容,但代数推理在义务教育阶段确实需要强化,只不过应该把握适当的度．

(3)教学设计要挖掘学科特点,实现学科育人

要实现学科育人,在课堂教学中落实学生的核心素养,就必须要深刻理解和认识学科特点与学科内容的特点,在教学中设计出符合学生认知规律、提高核心素养的问题．数学中的具体与抽象、类比与猜想、特殊性与一般性、多样性与统一性在这节课中就有很好的体现:二次函数y=a(x-h)2的图象与性质的得出就遵循了从具体到抽象、从特殊到一般的探究规律和认识规律;把函数的三种表示方法的内在统一性有机融入课堂教学的各个问题中,体现了数学表达的多样性,借助多种语言表达的相互转化,促进对数学思想方法和数学本质的深刻理解．